1、扬州市 20182019 学年度第一学期期末检测试题高三数学201901第一部分一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上 ）1已知集合 M2，1，0，N ，则 M N1()2x2若 i 是虚数单位，且复数 z 满足 ，则 izz3底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥的体积是4某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有 50 名、40 名、40 名现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了 8 名，则在高一年级学生中应抽取的人数为5根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为
2、 3，则输入值 x 为6甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字 1、2、3，乙的卡片分别标有数字 0、1、3两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为 a，乙抽出卡片的数字记为 b，则 a与 b 的积为奇数的概率为7若直线 l1： 与 l2： 平行，则两24xy430mxy平行直线 l1，l 2间的距离为8已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 anS376S1a9已知双曲线 (a0，b0) 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离2xy20xy心率为10已知直线 l： 与圆 C： 相交于 P，Q 两点，则4yx22()(1)xyCPQ11已知正实数 x，y 满足 ，若 恒成立，则实数
3、 m 的取值范围为0yxy12设 a，b 是非零实数，且满足 ，则 sincos107tan2iabb13已知函数 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，4()3fxaxa则实数 a 的值为14若存在正实数 x，y ，z 满足 ，且 ，则 的最小值为210yzylneyxzx二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）15 （本题满分 14 分）已知函数 ， 2 2()cos3sincosifxxxR（1）求函数 的单调增区间；（2）求方程 在(0， 内的所有解()0fx16 （本题满分 14 分）如图所示，在三棱柱
4、 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B平面ABC，点 E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB 1C1C 对角线的交点（1）求证：EF平面 ABC；（2）BB 1AC17 （本题满分 14 分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD其中 AB 3 百米，AD 百米，且 BCD 是以 D 为直角顶点的等腰5直角三角形拟修建两条小路 AC，BD（路的宽度忽略不计） ，设BAD ， ( ，2)（1）当 cos 时，求小路 AC 的长度；5（2）当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度18 （本题满分
5、 16 分）在平面直角坐标系中，椭圆 M： (ab0) 的离心率为 ，左右顶点分別21xy12为 A，B ，线段 AB 的长为 4P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点 A，B 分别作l1PA ，l 2PB，直线 l1，l 2交于点 C（1）若点 C 的横坐标为 1，求 P 点的坐标；（2）直线 l1与椭圆 M 的另一交点为 Q，且 ，求 的取值范围AC19 （本题满分 16 分）已知函数 ， （e 是自然对数的底数，()3xfxe()(R)gae2.718）（1）求函数 的极值；()f（2）若函数 在区间1，2 上单调递增，求 a 的取值范围；yxg（3）若函数 在区间(0， )上既存在极大
6、值又存在极小值，并且()fh的极大值小于整数 b，求 b 的最小值()hx20 （本题满分 16 分）记无穷数列 的前 n 项中最大值为 ，最小值为 ，令 ，数列anMnm2nMb的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 anAbnB（1）若数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求 ；a n（2）若数列 是等差数列，试问数列 是否也一定是等差数列？若是，请证明；n na若不是，请举例说明；（3）若 ，求 10nbnA第一部分（附加题）21 （本题满分 10 分）已知矩阵 A ，满足 A ，求矩阵 A 的特征值ab1236822 （本题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l
7、的参数方程为 （ t 为参数） 在极坐标系中2xy（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，极轴与 x 轴的非负半轴重合），圆 C 的方程为 ，求直线 l 被圆 C 截得的弦长42cos()23 （本题满分 10 分）将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD平面 CBD，又 AE平面 ABD（1）若 AE ，求直线 DE 与直线 BC 所成角；（2）若二面角 ABED 的大小为 ，求 AE 的长度324 （本题满分 10 分）已知直线 x2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l，垂直于 y 轴，动点 P 在 l1上，且满足 (O 为坐标原点
8、 )，记点 P 的轨迹为 COPQ0（1）求曲线 C 的方程；（2）已知定点 M( ，0)，N( ，0) ，点 A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于12另一点 B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求MBD 的内切圆半径 r 的取值范围扬州市 20182019 学年度第一学期期末检测试题高三数学参考答案20191第一部分1 22 3 24105 26 497 5281 9 5210 011 9m12 13 1或 314 e15解： 2 2()cos3sincosisincosin()6fxxxx4分（1 ）由 ,262kkZ，解得： ,3kkZ函数
9、 ()fx的单调增区间为 ,36k8 分（2 ）由 0f得 sin()0x，解得： 2x，即 ,12kxZ (0,x 512x或 14 分16证明：（1）三棱柱 1ABC四边形 1AB，四边形 1C均为平行四边形 ,EF分别是侧面 1， 对角线的交点 ,EF分别是 AB， 1的中点 /4 分 平面 ABC， 平面 ABC /平面 C8 分（2 ） 四边形 1为矩形 1平面 1平面 ， 平面 1，平面 1AB平面 CAB B平面 AC12 分 平面 1BA14 分17解：（1）在 AD 中，由 22cosDAB，得 2465cosBD，又 5s=， 52 分 (,) 22in11()由 sins
10、iBADB得： 53sinADB，解得： 3sin5ADB， C 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 且2C2 3coscs()sin25ABAB5 分在 D 中，22 223cos()()7CDC，解得： 37A7 分（2 ）由（1 ）得： 21465cosB， 21353in7sin35cosABCDCDSSBD:3557(sin2cos)7si()2，此时 1si,，且 (0,)210 分当 时，四边形 ABCD的面积最大，即 2，此时 12sin,cos55 2 21465cos1465()6BD，即 6BD13 分答：当 时，小路 的长度为 37百米；草坪 AC的面积最大时，小路s=的
11、长度为 26百米14 分18解：由题意得124ca，解得 12ca， 223bac椭圆 M 的方程是 3xy且 3 分(,0)(,AB（1 ）方法一：设 0(,)P， 02PAkx， 直线 AC 的方程为 02()xy，1lP同理：直线 BC 的方程为 0()yx联立方程002()xy，解得0204xy，又2200 043yxyy，点 C 的坐标为 04(,)3xy，6 分点 的横坐标为 1，又P 为椭圆 上第一象限内一点 032yM P点的坐标为 8 分(,)2（2 ）设 ，解得：(,)QxyAC02()43Qxy 0043Qxy点 在椭圆 上 又M220011()()14x2200()x整
12、理得： ，解得： 或 14 分200736)7xx657P 为椭圆 上第一象限内一点 ，解得： 16 分M36502751689方法二：（1）设 AP的斜率为 k， 0(,)Pxy，P 为椭圆 M上第一象限内一点302k20034APByyxx BP的斜率为 34k联立方程()324kyx，解得2268314ky，即2681(,)3k 1lPA， 1Ck，则 AC 的方程为 (2)x 2lB， 3，则 BC 的方程为 3yk由()423yxk，得2286413kxy，即 6 分22861(,)4Ck点 C的横坐标为 864k，解得： 12 P点的坐标为 8 分0k(1,)2（2 ）设 ， ，又
13、直线 AC 的方程为： 1(2)yxk(,)Qxy(,)Cxy联立方程 ，得 ，解得：2143kxy2 2(34)160kx 26134Qk268Qk ，14 分AC2222861(34)74319CQkxkk 516(,)8916 分302k19解：（1） xfxe， ()2)xfe，令 ()0f，解得 2x，列表：,2(,)()fx:极大值 :当 2x时，函数 ()fx取得极大值 2()fe，无极小值3 分（2 ）由 3xyfga，得2 2()2()(1)3x xeaxeax ，令 13ma，0x函数 ()yfgx在区间 ,2上单调递增等价于对任意的 1,2x，函数 ()0mx恒成立 10
14、(2)，解得 8 分3a（3 ） ()()xfxgeah，2(3)xeah令 2()3)xrea， h在 0,上既存在极大值又存在极小值， ()0hx在 (,)上有两个不等实根，即 2()3)0xrea在 (,)上有两个不等实根 12,x10 分 2 3)()x x xee当 (0,1)时， ()0r， (r单调递增，当 1,时， ()0r， ()rx单调递减则 1x， ()r，解得 3ae，3322()4reae 在 上连续且()r0,(0)1,()02r 在 和 上各有一个实根x(,1)3,2函数 h在 0,上既存在极大值又存在极小值时，有 3ae，并且在区间 (0,1)上存在极小值 ，在
15、区间 3(1,)2上存在极大值 1()fx 2()fx223()eah，且223() 0xeah22()xae，22 222(3)()()1xxxx e13分令 ，当 (1,)x时， ， 单调递减(),(1)xxHee()0Hx()x 23(1,)x， ，即 ，则2()(1)hxh3221(),)xe3214e 的极大值小于整数 ，满足题意的整数 b的最小值为 416 分hb20解：（1）数列 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2na， 2nm，2nnMa则 1nb， 121nnnB4 分（2 ）方法（一）若数列 b是等差数列，设其公差为 d 112nnMm112nnnmb根据 ,M
16、的定义，有以下结论：1n， 1n，且两个不等式中至少有一个取等号，6 分若 0d，则必有 1nM， 1nnaa，即对 2,*nN，都有1na nM， 1ma， 112nnnmb11122nnnaad 12ad，即 为等差数列；当 0时，则必有 1n，所以 1nnaa，即对 ,*nN，都有1na M， nma， 112nnnMmb11122nnnad所以 12nad，即 为等差数列；当 0， 112nnnb1102nnm 1nM， m中必有一个为 0，根据上式，一个为 0，则另一个亦为 0，即 ， 1n， na为常数数列，所以 na为等差数列，综上，数列 a也一定是等差数列10 分方法（二）若数
17、列 nb是等差数列，设通项公式为 (,)nbpqR，则 1nbp对于数列 na： 12,na ，增加 1n时，有下列情况：若 1M时，则 1,m，此时 1nnaMa， 1na对*N恒成立则 na， 11nma， 111222nnnnaab p 即 nap为常数，则数列 n是等差数列7 分若 1nmM时，则 11,nm， 1nb数列 b是等差数列且 nbpq 0， q 111111,nn nnamaq 1nq，即aq，即 为常数数列数列 是公差为 0 的等差数列若 1nm时，则 11,nnMma，此时 1nna， 1na对*N恒成立则 11na， n， 111222nnnnnaab p即 1na
18、p为常数，则数列 n是等差数列10 分（3 ） 10()100n nb，当 7n时， 1n，即 1267bb ，当 时， 10nb，即789b以下证明： 1267aa ， 89a当 时，n若 ，则 ， ，所以 ，不合题意；1nmM1n1nm1nb若 ，则 ， ，则 ，得： ，与naa 12nMm1nb矛盾，不合题意；1b ，即 1267aa ；nnam同理可证： 789a ，即 7,*nN时， 1na当 n时， 1nM， nma 12nb b， 198ab 20nb 2098 224(1)()104n nA n13 分当 7时， 1267aa ，且 789a 87098104nm，则 为 或
19、若 为 ，则 为常数，与题意nM1nn1anb不符 nMa 72nab 172046nnba 979789 ()(8)74021046(7)1nnn nA n221046 16 分22,7*9408n nNn，第二部分（加试部分）21 （ B）解： 136328aAb 32ab5 分矩阵 A 的特征多项式为 ，21()()40f令 ()0f，解得矩阵 的特征值为 或 410 分21 （ C）解：将直线 的参数方程为 化为方程： 2 分l 2xty240xy圆 的方程为 化为直角坐标系方程： ，42cos()2(cosin)即 ， ，其圆心 ，半径20xy22()8xy(,)为 5 分圆心 到直
20、线 的距离为Cl|24|5d直线 l被圆 截得的弦长为 2215()(10 分22解：正方形 ABD边长为 2 ABD， C， 2ABDCB又 AE平面以点 A为原点， ,BADE所在直线为 ,xyz轴建立空间直角坐标系作 CF，垂足为 F平面 平面 C， 平面 CB，平面 AD平面 CBD 平面 AB 2D点 F为 的中点， 2F2 分（1 ） E (0,2)， (,0)B， (,20)， (1,)， (,2)C ,1,DC 0DEB E直线 E与直线 所成角为 2；5 分（2 ）设 A的长度为 (0)a，则 (,)a 平面 平面 的一个法向量为 6 分DBA1(0,)n设平面 E的法向量为
21、 21(,)nxyz，又 2,(2,0)BEaD 22,nB 120EaBD，解得： 1xzy，取 1，则 1xya平面 DE的一个法向量为 (,2)n8 分 121222cos,|414aan二面角 的大小为 3 ，解得：ABED2a2 的长度为 10 分223解：（1）设点 (,)Pxy，则 (2,)Qy (,)(2,)OPxyQy 0OPQ 0O，即 22 分（2 ）设 123(,)(,)(,)AxyBDxy，直线 B与 x轴交点为 E，内切圆与 AB的切点为 T设直线 M的方程为： 1()2k，则联立方程 21()ykx，得：zyxFB DCEA222()04kkxx 12且 12x直
22、线 AN的方程为： 1()2yx，12与方程 2yx联立得： 22 21111(+)04yxxy，化简得：11()0x解得： 14或 1x 3214x BD轴设 MBD 的内切圆圆心为 H，则 在 轴上且 HTAB5 分方法（一） ，且 的周长为：22()|MBDSxy M 221()|xy 222211()|()|2BD rxy 8 分2222222()| 1111| ()()xyryyxxxx方法（二）设 2(,0)Hxr，直线 BD的方程为： 2，其中 2y直线 AM的方程为： 21()yx，即 221()0yx，且点 与点 在直HO线 的同侧B ，解得：22211|()|()xryxry8 分22 2211()()xyrxx方法（三） MTHEB: HT，即 221|()ryx，解得：2222 2222111()| 1| ()()()xyxxry xxy8 分令 21tx，则 t 21rtt在 (1,)上单调增，则 12r，即 r的取值范围为 (,)10 分
