1、模板 2 立体几何问题(满分 15 分) 如图， 已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD 的中点.(1)证明：CE 平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.满分解答 得分说明 解题模板(1)证明 如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 EF AD， (1 分)12又因为 BCAD，BC AD，12(2 分)所以 EFBC 且 EFBC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以CEBF. (5分)又因为 CE平面 PAB，BF
2、平面 PAB，能指出EFAD，BCAD 各得 1 分；能得到CEBF，得 3分；条件 CE平面PAB 与 BF平面PAB 错 1 个扣 1分；第一步 由线线平行得平行四边形；第二步 由线线平行得线面平行；第三步 由线线垂直得线面垂直；因此 CE平面 PAB. (6 分)第四步 得出线面角；第五步 在三角形中计算各个边，求值.(2)解 分别取 BC，AD 的中点为 M，N ，连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F ，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE. (7 分)由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCA
3、D，BCAD，BC AD，N 是 AD12的中点得 BNAD.因为 PNBNN，所以 AD平面 PBN.(9 分)由 BCAD 得 BC平面 PBN，因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面PBN. (11 分)过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，则 QH平面 PBC.连接 MH，则 MH 是 MQ 在平面 PBC上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面PBC 所成的角设 CD1. (12 分)在PCD 中，由 PC2，CD1，PD得 CE ，2 2在PBN 中，由 PNBN1，PB 得3QH ，14在 Rt MQH 中，QH ，MQ ，所以14 2sinQMH ，28所以，直线 C
4、E 与平面 PBC 所成角的正弦值是 . (15 分)28指出 MQCE得 1 分；指出PNAD，BNAD，PN BNN，得 2 分，缺 1个条件扣 1 分；得出 BC平面 PBN 得 2 分；指出QMH是所求角，得到1 分；计算正确得 3分错误一个量扣 1 分.【训练 2】 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长均为2，A 1B ，A 1BAC.6(1)求证：A 1C1B 1C；(2)求直线 AC 和平面 ABB1A1 所成角的余弦值(1)证明 法一 取 AC 的中点 O，连接 A1O，BO ，BO AC.A 1BAC，A 1BBOB，A1B 平面 A1BO，BO 平面 A1BO，A
5、C平面 A1BO.连接 AB1 交 A1B 于点 M，连接 OM，则 B1COM，又OM 平面 A1BO，ACOM ，ACB 1C.A 1C1AC，A 1C1B 1C.法二 连接 AB1，BC 1，四边形 A1ABB1 是菱形，A 1BAB 1，又A 1BAC，AB 1ACA ，A 1B平面 AB1C，A 1BB 1C，又四边形 B1BCC1 是菱形，BC 1B 1C，又A 1BBC 1B ，B 1C平面 A1BC1，B 1CA 1C1.(2)解 由法二知 A1B平面 AB1C，又A 1B 平面 ABB1A1，平面 AB1C平面 ABB1A1.平面 AB1C平面 ABB1A1AB 1，AC 在平面 ABB1A1 内的射影为 AB1，B 1AC 为直线 AC 和平面 ABB1A1 所成的角AB 12AM2 ，AB2 BM2 10在 RtACB 1 中，cosB 1AC ，ACAB1 210 105直线 AC 和平面 ABB1A1 所成角的余弦值为 .105
