1、1 2 0 1 4 年考 研数 学 三 真题 与解 析 一、 选择 题 1 8 小题 每 小题 4 分， 共 3 2 分 1 设 0 a a n n l i m ，则 当 n 充分 大时 ，下 列正 确的 有（ ） （ A ） 2 a a n （ B ） 2 a a n （ C ） n a a n 1 ( D ) n a a n 1 【 详 解 】 因 为 0 a a n n l i m ， 所 以 0 ， N ， 当 N n 时 ， 有 a a n ， 即 a a a n ， a a a n ，取 2 a ，则 知 2 a a n ，所 以选 择（ A ） 2 下 列曲 线有 渐近 线的 是
2、 （ A ） x x y s i n （ B ） x x y s i n 2 （C ） x x y 1 s i n （D ） x x y 1 2 s i n 【分 析】 只需 要判 断哪 个曲 线有 斜渐 近线 就可 以 【 详 解 】 对 于 x x y 1 s i n ， 可 知 1 x y x l i m 且 0 1 x x y x x s i n l i m ) ( l i m ， 所 以有 斜渐 近线 x y 应该 选（ C ） 3 设 3 2 dx c x bx a x P ) ( ， 则 当 0 x 时 ， 若 x x P t an ) ( 是 比 3 x 高 阶的 无穷 小 ，
3、 则下 列选 项中 错误 的是 （ ） （ A ） 0 a （B ） 1 b （ C ） 0 c （ D ） 6 1 d 【 详 解 】 只 要 熟 练 记 忆 当 0 x 时 ) ( t an 3 3 3 1 x o x x x ， 显 然2 3 1 0 1 0 d c b a , , , ，应 该选 （ D ） 4 设 函数 ) ( x f 具有 二阶 导数 ， x f x f x g ) ( ) ) ( ( ) ( 1 1 0 ，则 在 , 1 0 上（ ） （ A ）当 0 ) ( x f 时， ) ( ) ( x g x f （ B ）当 0 ) ( x f 时， ) ( ) ( x
4、 g x f （ C ）当 0 ) ( x f 时， ) ( ) ( x g x f （ D ）当 0 ) ( x f 时， ) ( ) ( x g x f 【分 析】 此题 考查 的曲 线的 凹凸 性的 定义 及判 断方 法 【 详解 1 】如 果对 曲线 在区 间 , b a 上凹 凸的 定义 比较 熟悉 的话 ，可 以直 接 做出 判断 如 果对 区间 上任 意两 点 2 1 x x , 及常 数 1 0 ，恒 有 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 1 x f x f x x f ，则 曲线 是凸 的 显然 此题 中 x x x , , 1 0 2 1 ，则 ) ( )
5、 ( ) ( 2 1 1 x f x f ) ( ) ( ) ) ( ( x g x f x f 1 1 0 ， 而 ) ( ) ( x f x x f 2 1 1 ， 故当 0 ) ( x f 时， 曲线 是凹 的 ， 即 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 1 x f x f x x f ， 也就 是 ) ( ) ( x g x f ，应该 选（ D ） 【 详解 2 】如 果对 曲线 在区 间 , b a 上凹 凸的 定义 不熟 悉的 话， 可令 x f x f x f x g x f x F ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 ，则 0
6、1 0 ) ( ) ( F F ，且 ) ( “ ) ( “ x f x F ， 故当 0 ) ( x f 时，曲线 是凹 的， 从而 0 1 0 ) ( ) ( ) ( F F x F ，即 0 ) ( ) ( ) ( x g x f x F ，也 就是 ) ( ) ( x g x f ， 应该 选（ D ） 行列 式 d c d c b a b a 0 0 0 0 0 0 0 0 等于 （ A ） 2 ) ( bc ad （ B ） 2 ) ( bc ad （C ） 2 2 2 2 c b d a （D ） 2 2 2 2 c b d a 【 详解 】3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
7、 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( bc ad bc ad bc bc ad ad d c b a bc d c b a ad d c c b a b d c d b a a d c d c b a b a 应该 选（ B ） 6 设 3 2 1 , , 是 三维 向量 ， 则 对任 意的 常 数 l k , ， 向 量 3 1 k ， 3 2 l 线 性 无关 是向 量 3 2 1 , , 线性 无关 的 （A ）必 要而 非充 分条 件 （ B ）充 分而 非必 要条 件 （C ）充 分必 要条 件 （D ） 非充 分非 必要 条件 【 详解 】若 向量 3 2 1
8、, , 线性 无关 ，则 （ 3 1 k ， 3 2 l ） K l k ) , , ( ) , , ( 3 2 1 3 2 1 1 0 0 1 ， 对 任意 的常 数 l k , ， 矩 阵 K 的秩 都等 于 2 ，所 以向 量 3 1 k ， 3 2 l 一定 线性 无关 而 当 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 , , 时， 对 任意 的常 数 l k , ， 向 量 3 1 k ， 3 2 l 线 性 无关 ，但 3 2 1 , , 线性 相关 ；故 选择 （ A ） 7 设 事件 A ， B 想到 独立 ， 3 0 5 0 . ) ( , . ) ( B A P B
9、P 则 ) ( A B P （ ） （A ） 0 . 1 （B ）0 . 2 （ C ） 0 . 3 （ D ） 0 . 4 【 详解 】 ) ( . ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( A P A P A P B P A P A P A B P A P B A P 5 0 5 0 3 0 所以 6 0. ) ( A P ， ) ( A B P 2 0 5 0 5 0 . ) ( . . ) ( ) ( A P A B P B P 故选 择（ B ） 8 设 3 2 1 X X X , , 为 来 自 正 态 总 体 ) , ( 2 0 N 的 简 单 随
10、机 样 本 ， 则 统 计 量 3 2 1 2 X X X S 服从 的分 布是4 （ A ） ) , ( 1 1 F （ B ） ) , ( 1 2 F （ C ） ) ( 1 t （ D ） ) ( 2 t 【 详 解 】 2 3 2 1 3 2 1 2 2 X X X X X X S ， 显 然 ) , ( 1 0 2 2 1 N X X ， ) ( 1 2 2 2 3 X ， 且 ) , ( 1 0 2 2 1 N X X 与 ) ( 1 2 2 2 3 X 相互 独立 ，从 而 ) ( 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 t X X X X X X X X
11、 X S 故应 该选 择（ C ） 二 、 填 空题 （ 本 题共 6 小 题 ， 每 小题 4 分， 满 分 2 4 分. 把 答案 填 在题 中横 线上 ） 9 设 某 商 品 的 需 求 函 数 为 p Q 2 40 （ p 为 商 品 的 价 格 ） ， 则 该 商 品 的 边 际 收益 为 【 详解 】 2 2 40 p p p Q p R ) ( ，边 际收 益 p p R 4 40 ) ( 1 0 设 D 是 由 曲 线 0 1 xy 与 直 线 0 y x 及 2 y 所 围 成 的 有 界 区 域 ， 则 D 的面 积为 【 详解 】 2 2 1 0 1 2 1 0 1 0
12、l n y y dx dy dx dy S 1 1 设 4 1 0 2 a x dx xe ，则 a 【 详解 】 4 1 1 2 4 1 2 4 4 1 2 0 2 0 2 ) ( | ) ( a e x e dx xe a a x a x 所 以 . 2 1 a 1 2 二 次积 分 dx e x e dy y y x 1 1 0 2 2 5 【 详解 】 ) ( ) ( 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e dy y e dy y e dy e e dy y e dy x e x
13、 d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dx x x y x x y y x y y x 1 3 设 二 次 型 3 2 3 1 2 2 2 1 3 2 1 4 2 x x x ax x x x x x f ) , , ( 的 负 惯 性 指 数 是 1 ， 则 a 的 取 值范 围是 【 详解 】由 配方 法可 知 2 3 2 2 3 2 2 3 1 3 2 3 1 2 2 2 1 3 2 1 4 2 4 2 x a x x ax x x x x ax x x x x x f ) ( ) ( ) ( ) , , ( 由于 负惯 性指 数为 1 ，故 必须
14、 要求 0 4 2 a ，所 以 a 的取 值范 围是 2 2 , 1 4 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 其 它 , , ) , ( 0 2 3 2 2 x x x f ， 其 中 是 未 知 参 数 ， n X X X , , , 2 1 是 来 自 总 体 的 简 单 样 本 ， 若 n i i X C 1 2 是 2 的 无 偏 估 计 ， 则 常 数 C = 【 详 解 】 2 2 2 2 2 5 3 2 dx x x X E ) ( ， 所 以 2 1 2 2 5 C n X C E n i i ， 由 于 n i i X C 1 2 是 2 的无 偏估 计， 故 1 2
15、5 C n ， n C 5 2 三、 解答 题 1 5 （本 题满 分 1 0 分） 求极 限 ) l n ( ) ) ( ( l i m x x dt t e t x t x 1 1 1 2 1 1 2 【 分析 】 先 用等 价无 穷 小代 换简 化 分母 ， 然 后利 用洛 必 达法 则求 未 定型 极 限6 【 详解 】 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 x x o x x x x e x x dt t e t x x dt t e t x x x x t x x t x ) ( ( l i m ) ) ( ( l i m )
16、) ( ( l i m ) l n ( ) ) ( ( l i m 1 6 （本 题满 分 1 0 分） 设平 面区 域 0 0 4 1 2 2 y x y x y x D . , | ) , ( 计 算 D dxdy y x y x x ) s i n ( 2 2 【 详 解 】 由 对 称 性 可 得 4 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 D D D D dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x s i n ) s i n ( ) s i n ( ) ( ) s
17、i n ( ) s i n ( 1 7 （本 题满 分 1 0 分） 设 函数 ) ( u f 具 有二 阶连 续 导数 ， ) c os ( y e f z x 满 足 x x e y e z y z x z 2 2 2 2 2 4 ) c os ( 若 0 0 0 0 ) ( , ) ( f f ，求 ) ( u f 的表 达式 【 详解 】 设 y e u x c os ，则 ) c os ( ) ( y e f u f z x ， y e u f y e u f x z e u f x z x x y x c os ) ( c os ) ( “ , ) ( c os 2 2 2 2 ;
18、 y e u f y e u f y z y e u f y z x x x c os ) ( s i n ) ( “ , s i n ) ( 2 2 2 2 ； x x x e y e f e u f y z x z 2 2 2 2 2 2 ) c os ( “ ) ( “ 由条 件 x x e y e z y z x z 2 2 2 2 2 4 ) c os ( ，7 可知 u u f u f ) ( ) ( “ 4 这是 一个 二阶 常用 系数 线性 非齐 次方 程 对应 齐次 方程 的通 解为 ： u u e C e C u f 2 2 2 1 ) ( 其中 2 1 C C , 为任
19、意常 数 对应 非齐 次方 程特 解可 求得 为 u y 4 1 * 故非 齐次 方程 通解 为 u e C e C u f u u 4 1 2 2 2 1 ) ( 将初 始条 件 0 0 0 0 ) ( , ) ( f f 代入 ，可 得 16 1 16 1 2 1 C C , 所以 ) ( u f 的表 达式 为 u e e u f u u 4 1 16 1 16 1 2 2 ) ( 1 8 （本 题满 分 1 0 分） 求幂 级数 0 3 1 n n x n n ) ) ( ( 的收 敛域 、和 函数 【 详解 】 由于 1 1 n n n a a l i m ，所 以得 到收 敛半 径
20、 1 R 当 1 x 时， 级数 的一 般项 不趋 于零 ，是 发散 的， 所以 收敛 域为 1 1 , 令和 函数 ) ( x S 0 3 1 n n x n n ) ) ( ( ，则 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 3 4 ) ( “ “ ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( x x x x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n n n n n n 1 9 （本 题满 分 1 0 分） 设函 数 ) ( ) , ( x g x f 在区 间 b a . 上连 续， 且 ) ( x f 单调 增加 ， 1 0 ) (
21、 x g ，证 明：8 （ 1 ） b a x a x dt t g x a , , ) ( 0 ； （ 2 ） b a dt t g a a dx x g x f dx x f b a ) ( ) ( ) ( ) ( 【 详解 】 （ 1 ）证 明： 因为 1 0 ) ( x g ，所 以 b a x dt dt t g dx x a x a x a , ) ( 1 0 即 b a x a x dt t g x a , , ) ( 0 （ 2 ）令 x a dt t g a a x a du u f du u g u f x F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ， 则可 知 0 )
22、( a F ，且 x a dt t g a f x g x g x f x F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ， 因为 , ) ( a x dt t g x a 0 且 ) ( x f 单调 增加 ， 所以 ) ( ) ( ) ( x f a x a f dt t g a f x a 从 而 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x a ， b a x , 也是 ) ( x F 在 b a , 单调 增加 ，则 0 ) ( ) ( a F b F ，即 得到 b
23、 a dt t g a a dx x g x f dx x f b a ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 （本 题满 分 1 1 分） 设 3 0 2 1 1 1 1 0 4 3 2 1 A ， E 为三 阶单 位矩 阵 （ 1 ） 求方 程组 0 A X 的一 个基 础解 系； （ 2 ） 求满 足 E A B 的所 有矩 阵 【 详解 】 （1 ）对 系数 矩阵 A 进行 初等 行变 换如 下： 3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 3 1 0 0 1 1 1 0 4 3 2 1 1 3 4 0 1 1 1 0 4 3 2 1 3 0 2 1 1 1 1 0 4 3 2 1
24、 A ， 得到 方程 组 0 A X 同解 方程 组9 4 3 4 2 4 1 3 2 x x x x x x 得到 0 A X 的一 个基 础解 系 1 3 2 1 1 （ 2 ）显 然 B 矩阵 是一 个 3 4 矩阵 ，设 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x z y x B 对矩 阵 ) ( A E 进行 进行 初等 行变 换如 下： 1 4 1 3 1 0 0 1 3 1 2 0 1 0 1 6 2 1 0 0 1 1 4 1 3 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 4 3 2 1 1 0 1 1 3 4 0 0 1 0
25、1 1 1 0 0 0 1 4 3 2 1 1 0 0 3 0 2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 4 3 2 1 ) ( A E 由方 程组 可得 矩阵 B 对应 的三 列分 别为 1 3 2 1 0 1 1 2 1 4 3 2 1 c x x x x ， 1 3 2 1 0 4 3 6 2 4 3 2 1 c y y y y ， 1 3 2 1 0 1 1 1 3 4 3 2 1 c z z z z ， 即满 足 E A B 的所 有矩 阵为 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 1 3 4 3 1 2 1 2 3 2 1 1 6 2 c c c c c c c
26、c c c c c B 其中 3 2 1 c c c , , 为任 意常 数 2 1 （本 题满 分 1 1 分）1 0 证明 n 阶矩 阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 与 n 0 0 2 0 0 1 0 0 相似 【 详解 】证 明： 设 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， B n 0 0 2 0 0 1 0 0 分别 求两 个矩 阵的 特征 值和 特征 向量 如下 ： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n A E ) ( ， 所以 A 的 n 个特 征值 为 0 3 2 1 n n , ； 而且 A 是实 对称 矩阵 ，所 以一 定可 以对 角化 且 0 0 A
27、； 1 0 0 2 0 1 0 n n n B E ) ( 所以 B 的 n 个特 征值 也为 0 3 2 1 n n , ； 对 于 1 n 重 特 征 值 0 ， 由 于 矩 阵 B B E ) ( 0 的 秩 显 然 为 1 ， 所 以 矩 阵 B 对 应 1 n 重 特 征 值 0 的 特 征 向 量 应 该 有 1 n 个 线 性 无 关 ， 进 一 步 矩 阵 B 存 在 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 即 矩 阵 B 一 定 可 以 对 角 化 ， 且 0 0 B1 1 从而 可知 n 阶矩 阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 与 n 0 0 2 0 0 1
28、0 0 相似 2 2 （本 题满 分 1 1 分） 设 随 机 变 量 X 的 分 布 为 2 1 2 1 ) ( ) ( X P X P ， 在 给 定 i X 的 条 件 下 ， 随 机 变量 Y 服从 均匀 分布 2 1 0 , ) , , ( i i U （ 1 ） 求 Y 的分 布函 数； （ 2 ） 求期 望 ) . ( Y E 【 详解 】 （1 ）分 布函 数 ) / ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y
29、P X y Y P X y Y P y Y P y F 当 0 y 时， 0 ) ( y F ； 当 1 0 y 时， y y y y F 4 3 2 2 1 2 1 ) ( ； 当 2 1 y 时， 2 1 4 1 2 2 1 2 1 y y y F ) ( ； 当 2 y 时， 1 ) ( y F 所以 分布 函数 为 2 1 2 1 4 2 1 1 0 4 3 0 0 y y y y y y y F , , , , ) (1 2 （ 2 ）概 率密 度函 数为 其 它 , , , ) ( ) ( 0 2 1 4 1 1 0 4 3 y y y F y f ， 4 3 4 4 3 2 1
30、1 0 dy y y dy Y E ) ( 2 3 （本 题满 分 1 1 分） 设 随机 变量 X ， Y 的 概率 分布 相 同 ， X 的 概率 分布 为 3 2 1 3 1 0 ) ( , ) ( X P X P ， 且 X ， Y 的相 关系 数 2 1 X Y （ 1 ） 求二 维随 机变 量 ) , ( Y X 的联 合概 率分 布； （ 2 ） 求概 率 ) ( 1 Y X P 详 解 由 于 X ， Y 的 概 率 分 布 相 同 ， 故 3 2 1 3 1 0 ) ( , ) ( X P X P ， 3 2 1 3 1 0 ) ( , ) ( Y P Y P ， 显然 3
31、2 E Y E X ， 9 2 D Y D X 相关 系数 9 2 9 4 2 1 X Y E D Y D X E X E Y X Y E D Y D X Y X C O V X Y ) ( ) , ( ， 所以 9 5 ) ( X Y E 而 ) , ( ) ( 1 1 1 1 Y X P X Y E ， 所 以 9 5 1 1 ) , ( Y X P ， 从 而 得 到 ) , ( Y X 的 联 合 概 率分 布： 9 5 1 1 ) , ( Y X P ， 9 1 1 0 ) , ( Y X P ， 9 1 0 1 ) , ( Y X P ， 9 2 0 0 ) , ( Y X P1 3 （ 2 ） . ) , ( ) ( ) ( 9 4 1 1 1 1 1 1 Y X P Y X P Y X P
