1、2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=x|x2，B=y|y=2 x1，x A，则 AB=（ ）A （ ，3 ） B2，3） C （ ，2） D （1，2）2 （5 分）已知复数 z=1i（i 为虚数单位） ，则 的共轭复数是（ ）A1 3i B1+3i C1+3i D 13i3 （5 分）有一长、宽分别为 50m、30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心（对角线交点）处呼唤
2、工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）A B C D4 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D55 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=1+2an（n2） ，且 a1=2，则S20（ ）A2 191B2 212C2 19+1 D2 21+26 （5 分）已知圆 C：x 2+y2=4，点 P 为直线 x+2y9=0 上一动点，过点 P 向圆 C
3、引两条切线 PA、PB ，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ）A B C （2，0） D （9，0）7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D8 （5 分）设函数 ， ，若不论 x2取何值，f（x 1）g （x 2）对任意 总是恒成立，则 a 的取值范围为（ ）A B C D9 （5 分）如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3 上有 10 个不同的点 P1，P 2，P 10，记 mi= （i=1 ，2，10） ，则m1+m2+m10 的值为（ ）A180 B C45 D10 （5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上
4、的单调函数，且对任意的 x，yR 都有 f（x+y）=f（x）+f（y） ，若动点 P（x，y ）满足等式 f（x 2+2x+2）+f（ y2+8y+3） =0，则 x+y 的最大值为（ ）A2 5 B5 C2 +5 D511 （5 分）数列a n满足 a1= ，a n+11=an（a n1） （ nN*）且Sn= + + ，则 Sn 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A0 ，1 ，2 B0，1，2，3 C1，2 D0，212 （5 分）等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p 0 ） ，O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛
5、物线上的动点，则 的最大值为（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该学校今年计划招聘教师最多 人14 （5 分）已知函数 的两个零点分别为 m、n（mn ） ，则 = 15 （5 分）已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD 底面 ABC，G 为ABC 的重心，且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为 ，则球 O 的表面积为 16 （5 分）已知是定义在 R 上的函数，且满足f （4）=0；曲线 y=f（x+1）关于点
6、（1，0）对称； 当 x（4，0）时， ，若y=f（x）在 x4，4上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知向量 ， ，设函数f（x）= +b（1）若函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，且 0，3时，求函数 f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当 时，函数 f（x ）有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围18 （12 分）如图，已知四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABC=BCD=90，且 SA=AB=BC=2CD=2，E 是边 SB 的中点（1）求证：
7、CE 平面 SAD；（2）求二面角 DECB 的余弦值大小19 （12 分）某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为 1（万元）的概率分布列如表所示：1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1 的期望 E（ 1）=120 ；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0 p1 ）和 1p，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与 2 的关系如表所示：X（次） 0
8、1 2 2 41.2 117.6 204.0 （1）求 m，n 的值；（2）求 2 的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额100%）20 （12 分）如图，曲线 由曲线 C1： 和曲线 C2：组成，其中点 F1，F 2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点，点F3，F 4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点，（1）若 F2（2，0） ，F 3（6，0） ，求曲线 的方程；（2）如图，作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线，交曲线 C1 于点 A、B，求证：弦AB 的中点 M 必在
9、曲线 C2 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线 ，若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D，求CDF 1面积的最大值21 （12 分）设 f（x）= ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 x+y+1=0 垂直（）求 a 的值；（）若对于任意的 x1，+） ，f（x）m（x 1）恒成立，求 m 的取值范围；（）求证：ln（4n+1）16 （ nN*） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的
10、参数方程为 （ab 0， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：= 与 C1，C 2 各有一个交点，当 =0时，这两个交点间的距离为 2，当 = 时，这两个交点重合（）分别说明 C1，C 2 是什么曲线，并求 a 与 b 的值；（）设当 = 时，l 与 C1，C 2 的交点分别为 A1，B 1，当 = 时，l 与C1，C 2 的交点分别为 A2， B2，求直线 A1 A2、B 1B2 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）=|xa|，a0（）证明 f（x）+f（ ）2；（）若不等式 f（x）+f（2x） 的解集非空，求 a 的取值范围20
11、16-2017 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=x|x2，B=y|y=2 x1，x A，则 AB=（ ）A （ ，3 ） B2，3） C （ ，2） D （1，2）【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合 B，再由交集的定义，即可得到所求【解答】解：集合 A=x|x2=（，2） ，B=y|y=2 x1，x A，由 x2，可得 y=2x1（1，3） ，即 B=y|1y3= （1 ， 3） ，则 AB=（1，2） 故选：
12、D【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查指数函数的性质，考查运算能力，属于基础题2 （5 分）已知复数 z=1i（i 为虚数单位） ，则 的共轭复数是（ ）A1 3i B1+3i C1+3i D 13i【分析】把 z 代入 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=1 i， = ， 的共轭复数为 13i故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）有一长、宽分别为 50m、30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到呼唤（
13、出现在声音可传到区域）的概率是（ ）A B C D【分析】由题意可知所有可能结果用周长 160 表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和 60 表示，即可求得【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传 ，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，所有可能结果用周长 160 表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和 60 表示，故选 B【点评】本题考查几何概型，根据题意绘制出图形，利用数形结合，求得结果，属于中档题4 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图
14、，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 n=1 时，a= ，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2 时，a= ，b=8 满足进行循环的条件，当 n=3 时，a= ，b=16 满足进行循环的条件，当 n=4 时，a= ，b=32 不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5 （5 分）已知数列a n的前
15、 n 项和为 Sn，若 Sn=1+2an（n2） ，且 a1=2，则S20（ ）A2 191B2 212C2 19+1 D2 21+2【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出【解答】解：S n=1+2an（ n2） ，且 a1=2，n=2 时，a 1+a2=1+2a2，解得a2=1n3 时，a n=SnSn1=1+2an（1+2a n1） ，化为：a n=2an1，数列a n从第二项开始是等比数列，公比与首项都为 2S 20=2+ =219+1故选：C【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）已知圆 C：x 2+y
16、2=4，点 P 为直线 x+2y9=0 上一动点，过点 P 向圆 C引两条切线 PA、PB ，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ）A B C （2，0） D （9，0）【分析】根据题意设 P 的坐标为 P（9 2m，m） ，由切线的性质得点 A、B 在以OP 为直径的圆 C 上，求出圆 C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦 AB 所在的直线方程，再求出直线 AB 过的定点坐标【解答】解：因为 P 是直线 x+2y9=0 的任一点，所以设 P（9 2m，m ） ，因为圆 x2+y2=4 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，所以 OAPA，OBPB ，则点 A、B 在以 OP
17、为直径的圆上，即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦，则圆心 C 的坐标是（ ， ） ，且半径的平方是 r2= ，所以圆 C 的方程是（ x ） 2+（y ） 2= ，又 x2+y2=4， ，得， （2m9）xmy+4=0，即公共弦 AB 所在的直线方程是：（ 2m9）xmy+4=0，即 m（2x y） +（9x+4）=0，由 得 x= ，y= ，所以直线 AB 恒过定点（ ， ） ，故选 A【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】由已知中的三视图，
18、可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，棱锥和棱柱的底面面积均为：S= = ，高均为 h=3，故组合体的体积 V=Sh+ Sh=4 ，故选：A【点评】本题考查的知识点棱锥的体积和表面积，棱柱的体积和表面积，空间几何体的三视图8 （5 分）设函数 ， ，若不论 x2取何值，f（x 1）g （x 2）对任意 总是恒成立，则 a 的取值范围为（ ）A B C
19、 D【分析】利用三角恒等变换化简得 g（x）=2sin（x+ ）2，依题意可得f（x 1） ming （x 2） max=2，即当 x 时，0 ax2+2x1 恒成立，通过分类讨论，即可求得 a 的取值范围【解答】解：函数 ， = = =2sin（x+ ）2，即 g（x ） max=2，因为不论 x2 取何值，f（x 1）g（x 2）对任意 总是恒成立，所以 f（ x1） ming （x 2） max，即对任意 ， 2 恒成立，即当 x 时，0ax 2+2x1 恒成立，1由 ax2+2x1 得：ax 2 2x，即 a = （ ） 2 ，令 h（x）= （ ） 2 ，因为 ，所以，当 = 时，h
20、（x） min= ，故 a ；2由 0ax 2+2x1 得：a ，令 t（x）= =（ 1） 21，因为 ，所以，当 x= 即 = 时，t（ ）= （ 1） 21= ；当 x= ，即 = 时，t（ ）= （ 1） 21= ，显然， ，即t（x） max= ，故 a ；综合 12知， a ，故选：D【点评】本题考查函数恒成立问题，求得 g（x） max=2 是关键，考查等价转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查推理运算能力，属于难题9 （5 分）如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3 上有 10 个不同的点 P1，P 2，P 10，记 mi= （i=
21、1 ，2，10） ，则m1+m2+m10 的值为（ ）A180 B C45 D【分析】由题意可得 ，然后把 mi= 转化为 求得答案【解答】解：由图可知，B 2AC3=30，又AC 3B3=60， ，即 则 ，m 1+m2+m10=1810=180故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形中边角关系的运用，考查了数学转化思想方法，是中档题10 （5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的单调函数，且对任意的 x，yR 都有 f（x+y）=f（x）+f（y） ，若动点 P（x，y ）满足等式 f（x 2+2x+2）+f（ y2+8y+3） =0，则 x+y 的最大值为（ ）A
22、2 5 B5 C2 +5 D5【分析】由条件可令 x=y=0，求得 f（0）=0 ，再由 f（x）为单调函数且满足的条件，将 f（x 2+2x+2）+f （y 2+8y+3）=0 化为 f（x 2+y2+2x+8y+5）=0=f（0） ，可得x2+y2+2x+8y+5=0，配方后，再令 x=1+2 cos，y=4+2 sin（ （0，2） ） ，运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值【解答】解：对任意的 x，y R 都有 f（x+y ）=f（x）+f （y ） ，令 x=0，y =0，都有 f（0+0）=f （0）+f（0） f（0）=0，动点 P（x，y）满足等式 f（x
23、2+2x+2）+f（y 2+8y+3）=0 ，即有 f（ x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0 ） ，由函数 f（x ）是定义在 R 上的单调函数，可得 x2+y2+2x+8y+5=0，化为（x+1） 2+（y+4） 2=12，可令 x=1+2 cos，y= 4+2 sin（ （0，2） ） ，则 x+y=2 （cos +sin） 5=2 cos（ ）5，当 cos（ ）=1 即 = 时，x+y 取得最大值 2 5，故选：A【点评】本题考查抽象函数的运用，注意赋值法的运用，考查转化思想，以及三角换元法，两角差的余弦公式和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题11 （5 分）数列a n满足
24、 a1= ，a n+11=an（a n1） （ nN*）且Sn= + + ，则 Sn 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A0 ，1 ，2 B0，1，2，3 C1，2 D0，2【分析】数列a n满足 a1= ，a n+11=an（a n1） （n N*） 可得：an+1an= 0，可得：数列a n单调递增可得 a2= ，a 3= ，a 4=. = 1， = 1另一方面： = ，可得Sn= + + =3 ，对n=1，2，3，n4，分类讨论即可得出【解答】解：数列a n满足 a1= ，a n+11=an（a n1） （nN *） 可得：a n+1an= 0，a n+1a n，因此数列a n单调
25、递增则 a21= ，可得 a2= ，同理可得：a 3= ，a 4= = 1， = 1，另一方面： = ，S n= + + = + + = =3 ，当 n=1 时，S 1= = ，其整数部分为 0；当 n=2 时，S 2= + =1+ ，其整数部分为 1；当 n=3 时，S 3= + + =2+ ，其整数部分为 2；当 n4 时，S n=2+1 （2，3） ，其整数部分为 2综上可得：S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是0，1，2故选：A【点评】本题考查了数列的单调性、递推关系、 “裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题12 （5 分）等腰直角三角形 AOB 内接
26、于抛物线 y2=2px（p 0 ） ，O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则 的最大值为（ ）A B C D【分析】设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用 OA=OB可求得 x1=x2，进而可求得 AB=4p，从而可得 SOAB 设过点 N 的直线方程为y=k（x+1 ） ，代入 y2=4x，过 M 作准线的垂线，垂足为 A，则|MF |=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为 0，即可得出 p设 M 到准线的距离等于 d，由抛物线的定义，化简为 = = ，换元，利用基本不等式求得
27、最大值【解答】解：设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则y12=2px1，y 22=2px2由 OA=OB 得：x 12+y12=x22+y22，x 12x22+2px12px2=0，即（x 1x2） （x 1+x2+2p）=0 ，x 10，x 20，2p0，x 1=x2，即 A，B 关于 x 轴对称直线 OA 的方程为：y=xtan45=x ，与抛物线联立，解得 或 ，故 AB=4p，S OAB = 2p4p=4p2AOB 的面积为 16，p=2 ；焦点 F（1，0） ，设 M（m，n） ，则 n2=4m，m0 ，设 M 到准线 x=1 的距离等
28、于 d，则 = = 令 m+1=t，t1，则 = （当且仅当 t=3 时，等号成立） 故 的最大值为 ，故选 C【点评】本题考查抛物线的简单性质，求得 A，B 关于 x 轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该学校今年计划招聘教师最多 10 人【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为 z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：设 z=x+y，作出不等式组对应的平面区
29、域如图：由 z=x+y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大但此时 z 最大值取不到，由图象当直线经过整点 E（5，5）时，z=x+y 取得最大值，代入目标函数 z=x+y 得 z=5+5=10即目标函数 z=x+y 的最大值为 10故答案为：10【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，根据图象确定最优解，要根据整点问题进行调整，有一定的难度14 （5 分）已知函数 的两个零点分别为 m、n（mn ） ，则 = 【分析】先求出 m，n，再利用几何意义求出定积分【解答】解：函数 的两个零点分别为 m、n（
30、mn ） ，m=1，n=1 ， = = = 故答案为 【点评】本题考查函数的零点，考查定积分知识的运用，求出 m，n 是关键15 （5 分）已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD 底面 ABC，G 为ABC 的重心，且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为 ，则球 O 的表面积为 【分析】求出ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球 O 的半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cosBAC= = ，sinBAC= ，ABC 外接圆的直径为 2r= = ，设球 O 的半径为 R，R= =球 O 的表面积为 ，故答
31、案为 【点评】本题考查球 O 的表面积，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题16 （5 分）已知是定义在 R 上的函数，且满足f （4）=0；曲线 y=f（x+1）关于点（1，0）对称； 当 x（4，0）时， ，若y=f（x）在 x4，4上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为 3e 4，1）e 2 【分析】可判断 f（x）在 R 上是奇函数，从而可化为当 x（ 4，0）时，有 1 个零点，从而转化为 xex+exm=0 在（4，0）上有 1 个不同的解，再令 g（x）=xe x+exm，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得【解答】3e 4，1）e 2解：曲线 y=f（x+1）关
32、于点（ 1，0）对称；曲线 y=f（x）关于点（0，0）对称；f（x ）在 R 上是奇函数，f（ 0）=0，又f （4）=0，f（4）=0，而 y=f（x）在 x4，4上恰有 5 个零点，故 x（4，0）时， 有 1 个零点，x（4，0）时 f（x）=log 2（xe x+exm+1） ，故 xex+exm=0 在（4，0）上有 1 个不同的解，令 g（ x）=xe x+exm，g（x ）=e x+xex+ex=ex（x+2） ，故 g（ x）在（4，2）上是减函数，在（2，0）上是增函数；而 g（ 4）=4e 4+e4m，g（0）=1m= m，g（ 2）= 2e2+e2m，而 g（ 4）g
33、（0） ，故2e 2+e2m104e 4+e4m1，故3e 4m 1 或 m=e2故答案为：3e 4，1）e 2【点评】题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知向量 ， ，设函数f（x）= +b（1）若函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，且 0，3时，求函数 f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当 时，函数 f（x ）有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围【分析】 （1）根据平面向量数量积运算求解出函数 +b，
34、利用函数f（x）的图象关于直线 对称，且 0，3时，求解 ，可求函数 f（x）的单调增区间（2）当 时，求出函数 f（x ）的单调性，函数 f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数 b 的取值范围【解答】解：向量 ， ，函数+b则 = =（1）函数 f（x）图象关于直线 对称， （kZ ） ，解得：=3k+1 （k Z） ，0，3 ，=1， ，由 ，解得： （kZ ） ，所以函数 f（x）的单调增区间为 （kZ ） （2）由（1）知 ， ， ， ，即 时，函数 f（x ）单调递增；，即 时，函数 f（x ）单调递减又 ，当 或 时函数 f（x ）有且只有一个零点即 sin b sin
35、或 ，所以满足条件的 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题18 （12 分）如图，已知四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABC=BCD=90，且 SA=AB=BC=2CD=2，E 是边 SB 的中点（1）求证：CE 平面 SAD；（2）求二面角 DECB 的余弦值大小【分析】 （1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD ，推导出四边形 EFDC 是平行四边形，由此能证明 CE面 SAD（2）在底面内过点 A 作直线 AMBC ，则 ABAM，以 AB，AM，AS 所在直线分别为 x，y ，z 轴
36、，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DECB 的余弦值【解答】证明：（1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD ，E 是边 SB 的中点，EF AB，且 EF= AB，又ABC=BCD=90，ABCD，又AB=2CD，且 EF=CD，四边形 EFDC 是平行四边形，FDEC，又 FD平面 SAD，CE 平面 SAD，CE面 SAD解：（2）在底面内过点 A 作直线 AMBC ，则 ABAM，又 SA平面 ABCD，以 AB，AM， AS 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0 ， 0） ，B（2 ，0，0） ，C（2，2，0） ，D（1，2，0 ） ，D
37、 （1，2，0） ，E（ 1，0 ，1） ，则 =（ 0，2，0） ， =（ 1，0，1） ， =（ 1，0， ） ， =（ 1，2，1） ，设面 BCE 的一个法向量为 =（x，y，z ） ，则 ，取 x=1，得 =（1，0，1） ，同理求得面 DEC 的一个法向量为 =（0，1，2） ，cos = = ，由图可知二面角 DECB 是钝二面角，二面角 DECB 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19 （12 分）某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目
38、一年后可获得的利润为 1（万元）的概率分布列如表所示：1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1 的期望 E（ 1）=120 ；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0 p1 ）和 1p，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与 2 的关系如表所示：X（次） 0 1 2 2 41.2 117.6 204.0 （1）求 m，n 的值；（2）求 2 的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项目，并
39、预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额100%）【分析】 （1）利用概率和为 1，期望值列出方程组求解即可（2） 2 的可能取值为 41.2，117.6 ，204.0，求出概率，得到 2 的分布列；（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可【解答】解：（1）由题意得： ，得：m=0.5，n=0.1 （2） 2 的可能取值为 41.2，117.6 ，204.0，P（ 2=41.2）=（1p）1（1p）=p（1 p）P（ 2=204.0）=p（1p）所以 2 的分布列为2 41.2 117.6 204.0P p（1p） p2+（1p） 2 p（1p）（3）由（2）
40、可得：=10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需 E（ 1）E（ 2） ，即 12010p 2+10p+117.6，得 0.4p 0.6因为 ，所以当 时，E（ 2）取到最大值为 120.1，所以预测投资回报率的最大值为 12.01%【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查概率的求法，是中档题20 （12 分）如图，曲线 由曲线 C1： 和曲线 C2：组成，其中点 F1，F 2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点，点F3，F 4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点，（1）若 F2（2，0） ，F 3（6，0） ，求曲线 的方程；（2）如图，作
41、直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线，交曲线 C1 于点 A、B，求证：弦AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线 ，若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D，求CDF 1面积的最大值【分析】 （1）由 F2（2，0） ，F 3（6，0） ，可得 ，解出即可；（2）曲线 C2 的渐近线为 ，如图，设点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，M（x 0，y 0） ，设直线 l：y= ，与椭圆方程联立化为 2x22mx+（m 2a2）=0，利用0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明 ，即可（3）由（1）知，曲线 C1： ，点 F4（6
42、，0） 设直线 l1 的方程为 x=ny+6（n0） 与椭圆方程联立可得（5+4n 2）y 2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】 （1）解：F 2（2，0） ，F 3（6，0） ， ，解得 ，则曲线 的方程为 和 （2）证明：曲线 C2 的渐近线为 ，如图，设直线 l：y= ，则 ，化为 2x22mx+（m 2a2）=0 ，=4m 28（m 2a2）0，解得 又由数形结合知 设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，M（x 0，y 0） ，则 x1+x2=m，x 1x2= ， = ， ，即点 M 在直线 y=
43、上（3）由（1）知，曲线 C1： ，点 F4（6，0） 设直线 l1 的方程为 x=ny+6（n 0） ，化为（5+4n 2）y 2+48ny+64=0，= （48n） 2464（5+4n 2）0，化为 n21设 C（ x3，y 3） ，D （x 4，y 4） ， ， |y 3y4|= = ，= = = ，令 t= 0，n 2=t2+1， = = = ，当且仅当 t= ，即 n= 时等号成立n= 时， = 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21
44、 （12 分）设 f（x）= ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 x+y+1=0 垂直（）求 a 的值；（）若对于任意的 x1，+） ，f（x）m（x 1）恒成立，求 m 的取值范围；（）求证：ln（4n+1）16 （ nN*） 【分析】 （）求出原函数的导函数，结合 f（1）=1 列式求得 a 值；（）把（）中求得的 a 值代入函数解析式，由 f（x）m（x 1）得到，构造函数 ，即x 1，+） ，g（ x）0 然后对 m 分类讨论求导求得 m 的取值范围；（）由（）知，当 x1 时，m=1 时， 成立令，然后分别取 i=1，2，n，利用累加法即可证明结论【解答】 （）
45、解： （1 分）由题设 f（1） =1， ，即 a=0；（2 分）（）解： ，x 1，+） ，f（x）m（x1） ，即，设 ，即x 1，+） ，g （x）0，g（1）=44m（3 分）若 m0，g（x ）0，g（x）g（1）=0，这与题设 g（x）0 矛盾；若 m（0， 1） ，当 ，g（x）单调递增，g（ x）g（1）=0 ，与题设矛盾；若 m1，当 x（1，+ ） ，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（1）=0，即不等式成立；综上所述，m1（7 分）（）证明：由（）知，当 x1 时，m=1 时， 成立（9 分）不妨令 ， ，即 ， ， 累加可得：ln（4n+1）16 （nN *） 【点评】本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，是压轴题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为 （ab 0， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：= 与 C1，C 2 各有一个交点，当 =
