1、椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的21,F21F点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) . 2.椭圆的标准方程：（ 0） （ 0）12byaxab12bxayab yOF1F2xMcxF2F1OyMc焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为 不必考虑焦点位置，求出方程。21(0,)mxnyn3.范围. 椭圆位于直线 x a 和 yb 围成的矩形里 |x|a，|y|b4.椭圆的对称性椭圆是关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心5.顶
2、点椭圆有四个顶点：A 1(a , 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, b)、B 2(0, b)线段 A1A2、B 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.。长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b. |B1F1|B 1F2|B 2F1|B 2F2|a在 RtOB2F2 中，|OF 2|2 |B2F2|2| OB2|2，即 c2a 2b 2 aA1yOF2xB2B1Acb6.离心率 )0(ea7.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点21xy，则椭圆的焦点角形的面积为 .12FP12tanPSb8.椭圆 （ab0）的焦半径公式 , (21xy10|Mex20|ae
3、x, ).1(0)Fc2()0,)Mxy9.AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则21ab),(0yx，即 。2OMABk02yaxKAB考点一 定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆 相内切，且过点 ，求这个动圆2:(4)10Cxy(4,0)A圆心 的轨迹方程； M例 2.如果方程 表示椭圆，则 的取值范围2222()()xymmm是 例 3.过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆相交于 两点，则 两29411F,AB,点与椭圆的另一个焦点 构成的 的周长等于 ；22AB例 4.设圆 的圆心为 ， 是圆内一定点， 为圆周上任意一2()5xyC(,0)Q点，线段 的垂直平分线与
4、的连线交于点 ，则点 的轨迹方程为 AQQM；考点二 椭圆的方程 例 1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 ，求椭(3,0)P圆的方程；例 2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 、1(6,)P，求椭圆的方程；2(3,)P例 3.求经过点 且与椭圆 有共同焦点的椭圆方程；(2,3)29436xy注：与椭圆 共焦点的椭圆可设其方程为 ；21xyab2221()xykbakb例 1.在 中， 所对的三边分别为 ，且 ，求满足ABC, ,c(,0),BC且 成等差数列时顶点 的轨迹；bc, A例 2.已知 轴上一定点 ， 为椭圆 上任一点，求 的中点x(1,
5、0)AQ214xyAQ的轨迹方程； M例 3.设动直线 垂直于 轴，且与椭圆 交于 两点，点 是直线 上lx24xy,ABPl满足 的点，求点 的轨迹方程； 1PABP例 4.中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的(0,5)F32yx横坐标为 ，求此椭圆的方程； 12考点三 焦点三角形问题例 1. 已知椭圆 上一点 的纵坐标为 ，椭圆的上下两个焦点分别为2165xyP53、 ，求 、 及 ；2F112F12cos考点四 椭圆的几何性质例 1.已知 是椭圆 上的点，的纵坐标为 ， 、 分别为椭圆的两个P21xyab531F2焦点，椭圆的半焦距为 ，则 的最大值与最小值之差为 c12
6、PFA例 2.椭圆 的四个顶点为 ，若四边形 的内切21xyab(0),BCDABCD圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例 3.若椭圆 的离心率为 ，则 ；214xyk12k例 4.若 为椭圆 上一点， 、 为其两个焦点，且P2(0)ab1F2， ，则椭圆的离心率为 0125F2175F考点五 求范围例 1.方程 表示准线平行于 轴的椭圆，求实数 的取值范围；221()xymxm考点六 .椭圆的第二定义的应用例 1. 方程 所表示的曲线是 22(1)()xyxy例 2.求经过点 ，以 轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程；,M12例 3.椭圆 上有一点 ，它到左准线的距离等于 ，那么
7、到右焦点的2159xyP5P距离为 例 4已知椭圆 ，能否在此椭圆位于 轴左侧的部分上找到一点 ，1342yxyM使它到左准线的距离为它到两焦点 距离的等比中项，若能找到，求出该点的12,F坐标，若不能找到，请说明理由。例 5已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，1592yx)1,(AF2点 是椭圆上一点求 的最小值及对应的点 的坐标P23PP考点七 求离心率例 1. 椭圆 的左焦点为 ， ， 是两个顶21xyab(0)1(,0)Fc(,)Aa(0,)Bb点，如果 到直线 的距离为 ，则椭圆的离心率 1FAB7be例 2.若 为椭圆 上一点， 、 为其两个焦点，且P21(0)xy
8、ab1F2， ，则椭圆的离心率为 12F21F例 3. 、 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点， ，且2,PQ1FP，则椭圆的离心率为 ；1PQ考点八 椭圆参数方程的应用例 1.椭圆 上的点 到直线 的距离最大时，点 的坐标 2143xyP270xyP例 2.方程 ( )表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值22sincos0y范围；yxOABP考点九 直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例 1. 当 为何值时，直线 与椭圆 相切、相交、相离？m:lyxm29164xy例 2.曲线 （ ）与连结 ， 的线段没有公共点，求22xya0(1,)A(2,3)B的取值范围。a例 3.过点 作
9、直线 与椭圆 相交于 两点， 为坐标原)0 ,3(Pl2341xy,AB点，求 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。OAB例 4.求直线 和椭圆 有公共点时， 的取值范围cosin2xy236xy。 (0)（二）弦长问题例 1.已知椭圆 ， 是 轴正方向上的一定点，若过点 ，斜率为 121xyAxA的直线被椭圆截得的弦长为 ，求点 的坐标。34例 2.椭圆 与直线 相交于 两点， 是 的中点，21axby1xy,ABCAB若 ， 为坐标原点， 的斜率为 ，求 的值。|ABOC2,ab例 3.椭圆 的焦点分别是 和 ，过中心 作直线与椭圆交于 两12045yx1F2O,AB点，若 的面积是 2
10、0，求直线方程。ABF（三）弦所在直线方程例 1.已知椭圆 ，过点 能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰2164xy(2,0)Pl好是 ；P例 2. 椭圆 中心在原点 ，焦点在 轴上，其离心率 ,过点 的直线EOx32e(1,0)C与椭圆 相交于 两点，且 C 分有向线段 的比为 2.l,ABAB（1）用直线 的斜率 表示 的面积；l(0)k（2）当 的面积最大时，求椭圆 E 的方程O例 4.已知 是椭圆 上的三点， 为椭圆的左焦102(,)(,)AxyBCxy2143xyF点，且 成等差数列，则 的垂直平分线是否过定点？请证明你的,FA结论。（四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆 ，试确定
11、的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关2143xym于直线 对称； ym例 2.已知中心在原点，焦点在 轴上，长轴长等于 6，离心率 ，试问是y 32e否存在直线 ，使 与椭圆交于不同两点 ，且线段 恰被直线 平分？l ,AB1x若存在，求出直线 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。l考点十 .最值问题例 1若 ， 为椭圆 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求(2,3)P2F1652yx的最大值和最小值。2M分析：欲求 的最大值和最小值2可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点。21FaF例 2 , 为椭圆 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求(6)P2F1652yx的最大值
12、和最小值。2MF2F1M1M2o例 3求定点 到椭圆 上的点之间的最短距离。(,0)Aa12byx3.三角函数法例 4求椭圆 上的点 到直线 的距离的最值；12yx(,)Mxy:24lxy4.判别式法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。例 5.已知定点 ，点 为椭圆 的右焦点，点 在该椭圆上移(2,3)AF216xyM动时，求 的最小值，并求此时点 的坐标；（第二定义的应用）M例 6已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆内一点 的坐标1F221064xyM为 ， 为椭圆上的一个动点，试分别求：(2,)P（1） 的最小值； （2） 的取值范围253M 2PMF考点十一 . 轨迹问题例 1到两定点 ， 的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 ( )(2,1),) A 椭圆 双曲线 直线 线段例 2已知点 ，点 在圆 的上半圆周上(即 y0)，AOP 的平分(3,0)P21xy线交 于 Q，求点 Q 的轨迹方程。P例 3.已知圆 及点 ， 是圆 C 上任一点，线段 的垂2:(3)10Cxy(3,0)APPA直平分线 l 与 PC 相交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程。题型十二.椭圆与数形结合例 1 关于 的方程 有两个不相等的实数解，求实数 的取x20xkk值范围.
