1、欧几里得的证法设 ABC 为一直角三角形，其中 A 为直角。从 A 点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中需要如下四个辅助定理： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS。 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理 3）。证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。其证明如下：1. ALDE，分别与 BC 和 DE 直角相交于 K、L
2、。2. 分别连接 CF、AD，形成两个三角形 BCF、BDA。3. ABFB,BCBD, ABC+ABF ABF+CBD4. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于 FBC。5. 因为 A 与 K 和 L 在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于ABD。同理正方形 BAGF 必须二倍面积于FBC。6. 正方形面积 BAGF = AB，面积 ACIH = AC。7. 把这两个结果相加， AB+ AC = BDBK + KLKC8. 由于 BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC= BC9. 由于 CBDE 是个正方形，因此 AB + AC = BC。
