1、1一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 2、等比数列求和公式： )1(11 )1( )1(11 1 qq qaaqqa qnaS nnn3、)1(211 nnkS nkn 4、)12)(1(611 2 nnnkS nkn5、21 3 )1(21 nnkS nkn例1已知3log1log 23 x，求 nxxxx 32的前n项和.解：由212loglog3log1log 3323 xxx由等比数列求和公式得nn xxxxS 32（利用常用公式）xxx n1 )1(211 )211(
2、21 n1n21例2设Sn1+2+3+n，nN*,求1)32()( nn Sn Snf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21 nnSn，)2)(1(21 nnSn（利用常用公式）1)32()( nn Sn Snf64342 nn nnn 6434150)8( 1 2 nn 501当88n，即n8时，501)( max nf题 1.等 比 数 列 的 前 项 和 S 2 ， 则 2题 2 若 12+22+ +(n-1)2=an3+bn2+cn， 则 a= ,b= ,c=.解 ： 原 式 = 答 案 ：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数
3、列anbn的前n项和，其中an 、bn 分别是等差数列和等比数列.例3求和：132 )12(7531 nn xnxxxS 解：由题可知， 1)12( nxn 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 1nx 的通项之积设nn xnxxxxxS )12(7531 432 .（设制错位）得nnn xnxxxxxSx )12(222221)1( 1432 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnn xnxxxSx )12(1121)1( 1 21 )1( )1()12()12( x xxnxnS nnn 例4求数列 ,22,26,24,22 32 nn前n项的和.解：由题可知， nn22 的通项是
4、等差数列2n的通项与等比数列 n21 的通项之积设nn nS 22262422 32 1432 2226242221 nn nS （设制错位）得1432 222222222222)211( nnn nS（错位相减）11 22212 nn n12 24 nn nS练 习 题 1 已 知 ， 求 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn.答 案 ：练 习 题 2 的 前 n 项 和 为 _3答 案 ：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)( 1 naa .例5求证：nnnnnn nCnCCC 2)1()12
5、(53 210 证明：设nnnnnn CnCCCS )12(53 210 把式右边倒转过来得011 3)12()12(nnnnnnn CCCnCnS （反序）又由mnnmn CC 可得nnnnnnn CCCnCnS 110 3)12()12( +得nnnnnnnn nCCCCnS 2)1(2)(22(2 110 （反序相加）nn nS 2)1( 例6求 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 的值解：设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S .将式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S （反序）又因为1cossin),
6、90cos(sin 22 xxxx +得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 S89S44.5题 1 已 知 函 数（ 1） 证 明 ： ；（ 2） 求 的 值 .解 ： （ 1） 先 利 用 指 数 的 相 关 性 质 对 函 数 化 简 ， 后 证 明 左 边 =右 边4（ 2） 利 用 第 （ 1） 小 题 已 经 证 明 的 结 论 可 知 ，两 式 相 加 得 ：所 以 .练 习 、 求 值 ：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合
7、并即可.例7求数列的前n项和：231,71,41,11 12 naaa n，解：设)231()71()41()11( 12 naaaS nn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111( 12 naaaS nn（分组）当a1时，2 )13( nnnSn 2 )13( nn（分组求和）当1a时，2 )13(11 11 nnaaS nn 2 )13(11 nna aa n 例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设kkkkkkak 23 32)12)(1( nkn kkkS 1 )12)(1()32( 231 kkknk 将其每一项拆开再重新组合得Snkkk nknknk 1213
8、1 32（分组）5)21()21(3)21(2 222333 nnn 2 )1(2 )12)(1(2 )1( 22 nnnnnnn（分组求和）2 )2()1( 2 nnn五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1( nfnfan （2） nnnn tan)1tan()1cos(cos 1sin （3）111)1( 1 nnnnan（4）)12 112 1(211)12)(12( )2( 2 nnnn nan（5）)2)(1( 1)1( 121)2)(1(
9、 1 nnnnnnnan(6) nnnnnnn nSnnnn nnnnna 2)1( 11,2)1( 12121)1( )1(221)1( 2 1 则（7）)11(1)( 1 CAnBAnBCCAnBAnan （8）1 11na n nn n 例9求数列 ,11,321,21 1 nn的前n项和.解：设nnnnan 111（裂项）则1132121 1 nnSn（裂项求和）)1()23()12( nn 11n6例10在数列an中，11211 nnnnan，又12 nnn aab，求数列bn的前n项的和.解：211211 nnnnnan )111(8212 2 nnnnbn（裂项）数列bn的前n项
10、和)111()4131()3121()211(8 nnSn（裂项求和）)111(8 n18n n例11求证： 1sin 1cos89cos88cos 12cos1cos 11cos0cos 1 2解：设 89cos88cos 12cos1cos 11cos0cos 1 S nnnn tan)1tan()1cos(cos 1sin （裂项） 89cos88cos 12cos1cos 11cos0cos 1 S（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1 )0tan89(tan1sin1 1cot1sin1 1sin 1cos2原等式成立练
11、习题 1.答 案 ： .练 习 题 2。 =答 案 ：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这7些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设Sncos1+cos2+cos3+cos178+cos179)180cos(cos nn （找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90（合并求和）0例13数列an：nnn aaaaaa 12321 ,2,3,1，求S20
12、02.解：设S20022002321 aaaa 由nnn aaaaaa 12321 ,2,3,1可得,2,3,1 654 aaa ,2,3,1,2,3,1 121110987 aaaaaa2,3,1,2,3,1 665646362616 kkkkkk aaaaaa0665646362616 kkkkkk aaaaaa（找特殊性质项）S20022002321 aaaa （合并求和）)()()( 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )( aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 46362616 k
13、kkk aaaa5例14在各项均为正数的等比数列中，若103231365 logloglog,9 aaaaa 求的值.解：设1032313 logloglog aaaSn 由等比数列的性质qpnm aaaaqpnm （找特殊性质项）和对数的运算性质NMNM aaa logloglog得)log(log)log(log)log(log 6353932310313 aaaaaaSn （合并求和）)(log)(log)(log 6539231013 aaaaaa 89log9log9log 333 10练 习 、 求 和 ：练 习 题 1 设 ， 则 _答 案 ： 2 .练 习 题 2 若 Sn=1
14、-2+3-4+ +(-1)n-1 n， 则 S17+S33 50等 于 ( )A.1 B.-1 C.0 D .2解 ： 对 前 n项 和 要 分 奇 偶 分 别 解 决 ， 即 ： Sn= 答 案 ： A练 习 题 3 1002-992+982-972+ +22-12的 值 是A.5000 B.5050 C.10100 D.20200解 ： 并 项 求 和 ， 每 两 项 合 并 ， 原 式 =(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答 案 ： B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，
15、是一个重要的方法.例15求 1 1111111111个n 之和.解：由于)110(919999911111 11 kkk 个个（找通项及特征） 1 1111111111个n )110(91)110(91)110(91)110(91 321 n（分组求和）)1111(91)10101010(91 1321 个nn 9110 )110(1091 nn 9)91010(811 1 nn 例16已知数列an： 1 1)(1(,)3)(1( 8 n nnn aannna求的值.解：)4)(2( 1)3)(1( 1)1(8)(1( 1 nnnnnaan nn（找通项及特征）)4)(3( 1)4)(2( 1
16、8 nnnn（设制分组）)4131(8)4121(4 nnnn（裂项） 111 1 )4131(8)4121(4)(1( nnn nn nnnnaan（分组、裂项求和）418)4131(4 313提 高 练 习：1已知数列 na中，nS是其前n项和，并且1 14 2( 1,2, ), 1n nS a n a ，设数列),2,1(21 naab nnn，求证：数列 nb是等比数列；设数列),2,1(,2 nac nnn，求证：数列 nc是等差数列；2设二次方程na x2 - na +1x+1=0(nN)有两根和，且满足6-2+6=3(1)试用na表示a 1n；3数列 na中，2,8 41 aa且满足nnn aaa 12 2 *Nn求数列 na的通项公式；10设| 21 nn aaaS ，求nS；说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
