1、 1【 【编者注 编者注编者注编者注】 】 】 本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的 考研数学题源探析 考研数学题源探析考研数学题源探析考研数学题源探析 1000 1000 题题题 题 的 的的 的赠送资料赠送资料赠送资料赠送资料， ， ，对 对对 对 10001 00 题题题 题 中没有给出详解的题目做出解析 中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析， ， ，供同学 供同学供同学供同学们复习时参考们复习时参考们复习时参考们复习时参考。 。 。 第一篇第一篇第一篇第一篇 高等数学高等
2、数学高等数学高等数学 第一章第一章第一章第一章 函数函数函数 函数、 、 、极限与连续 极限与连续极限与连续极限与连续 【 【经典题答案与解析 经典题答案与解析经典题答案与解析经典题答案与解析】 】 】 一一一 一 选择题 选择题选择题选择题 1. 【答案】（ C） 【解】当 x充分大时，有重要关系： lnxe x x ，其中 , , 0 . 选（ C） . 2. 【答案】（ D） 【解】 ( ) ( )( ) ( )2 222, 0 0,0 0,x x xxf xx xx xx x = = ， ( )( )( ) ( )1 1f f f x f= = . 4. 【答案】（ D） 【解】 (
3、)( )( )( )( )( )( )222 , 0 0 2 , 02 ,2, 0 0 2 , 02,f x f x x x xxg f xf x f x x x xx + = = = + |)(| 0 ，则称函数 )(xf 是区间 , ba 上的无界函数 （ 2）无穷大量是指在自变量的某个趋限的全过程中（例 0xx ），其逻辑含义在于“任意性”若对于任意正数 M ，总存在 0 ，对一切满足 |)(| ，则称函数 )(xf 是 0xx 时的无穷大量无穷大量必是无界量，无界量未必是无穷大量 312. 【答案】（ C） 【解】 sin x 是有界量， ( )x f x x . 13. 【答案】（
4、D） 【解】 112 2nxn pi = + ，则 ( )22122nf x n pi = + ，当 n 时， ( )nf x . 14. 【答案】（ D） 【解】 取 21,n nx n y n= = ，排除（ A）；取 ( ) ( )1 1 , 1 1n nn nx n y n = + = ，排除（ B）；取 21 ,n nx y nn= = ，排除（ C） . 15. 【答案】（ A） 【解】无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量 . 16. 【答案】 (B) 【解】0 02 3 2 2 1 3 1lim lim ln 2 ln3 1x x x xx xx x x + = + = + .
5、 17. 【答案】（ B） 【解】( )( )( ) ( )sin 2 2 203 4 2 3 2 30 0 0 0 0sin sin sin cos 1 1lim lim lim lim lim3 4 3 4 3 4 3xx x x x xt dt x xf x xg x x x x x x x x = = = = =+ + + +. 18. 【答案】（ C） 【解】( )( )( ) ( )3 33 3 33 3 33tan 3 3 30 0 0 0 011lim lim lim lim lim 0x o xxx x xx o x o x o xx x xn n n n nx x x x
6、xe ee e e e e Cx x x x x+ + + + = = = = = . 19. 【答案】（ B） 【解】 31sin 6x x x . 20. 【答案】（ A） 【解】 ( )( ) ( )2 2 222 20 01 11 2lim limxx xxx o x ax bxe ax bxx x + + + + + + += ( ) ( )2 2201 12lim 0xa x b x o xx + + = = 1 02 a = ， 1 0b = . 421. 【答案】（ B） 【解】由 ( ) ( )222 41 10 0 01 cos ln 1 12lim lim lim 0si
7、n 2n n nx x xx xx x xx x x x+ + += = = ， 2120 0sinlim lim 01n nxx xx x xxe+ = =， 可得出 2 1 4n 在 ( ), + 内 连 续 ， 故 0a ； 又 ( )lim 0xf x= ， 故lim bxxe= + ，从而 0b k 31. 【答案】（ C） 【解】取 ，其中 , , 0 ，故本题填21100xe . 34. 【答案】 65 【解】2 23 5 2 3 5 2 3lim sin lim5 3 5 3 5x xx xx x x x + += =+ + . 35. 【答案】 3e 【解】3lim312 3
8、lim lim 11 1nn n nnn nn e en n + = + = = + + 36. 【答案】 1 【解】00 0 01 lnlimtan 1 1 sin ln 1 12lim tan ln lim lim ln02 cos 201lim 1xx x xxx x xx x xxx xxe e e e ex+ + + + = = = = = = 37. 【答案】 12 【解】0 0 0 0cos2 cos2 1 2 1lim cot 2 lim lim limsin 2 sin 2 2 sin 2 2x x x xx x xx x x xx x x = = = = 38. 【答案】
9、1 【解】 61101 1lim lim 11txtx txe eex e t+ + = = +39. 【答案】 0 【解】220 0 011 1 2lim lim lim 0cos cos sinx x xx x xxx xe x e x e x = = = + 40. 【答案】 0 【解】 ( )0 0 0 021lnlim ln lim lim lim 01 1x x x xx xx x xx x+ + + + = = = =41. 【答案】 16 【解】 30 0 01 1 cos sin sin 1limcot lim limsin sin sin 6x x xx x x x xxx
10、 x x x x x = = = 42. 【答案】 6e 【解】 ( ) ( )2 3sin02 2 lim 6sin sin0 0lim 1 3 lim 1 3xxxx xx xx x e e + = + = = 43. 【答案】 32 【解】 ( ) ( )2 20 0 01 13sin cos 3sin cos1 1 3sin 1 3lim lim lim cos1 cos ln 1 2 2 2x x xx x x x xx xxx x x x x + + = = + = + + 44. 【答案】 14 【解】 20 0 01 11 1 2 1 12 1 2 1lim lim lim2
11、2 2 1 1x x xx x x xx xx x x x x + + + = = + 01 1 1 1lim4 4xx xx += = 45. 【答案】 13 【解】32 2 3 30 0 0 011 1 tan tan 13lim lim lim limtan tan 3x x x xxx x x xx x x x x x x = = = = 746. 【答案】 16 【解】 ( )33 330 0 01arctan arctan 13lim lim lim2 2 6ln 1 2x x xxx x x xx xx = = = + 47. 【答案】 26 【解】 ( )( )( )( )(
12、)( )( )21 1 13 1 3 1 2 13 1 1 2lim lim lim2 1 66 22 1 3 1x x xx x x x xx xx x xx x x x + + + += = = + + + +48. 【答案】 16 【解】 ( ) ( ) ( )2320 01sin 16lim lim61 ln 1xx xxx xx xe x = = 49. 【答案】 6e 【解】( )2 1 2 1 3 2 1lim621 3lim lim 12 2xx x xxx xx e ex x + = + = = 50. 【答案】 2 【解】 ( )( )( )( )3 3lim 3 lim3
13、n nn n n n n n n nn n n nn n n n + + + + =+ + ( )4lim 23nnn n n n= =+ + . 51. 【答案】 22 【解】 ( )lim 1 2 1 2 1n n n + + + + + + L L 8( )( ) ( )( )( )( )1 2 1 2 1 1 2 1 2 1lim1 2 1 2 1nn n n nn n+ + + + + + + + + + + + + =+ + + + + + + L L L LL L( ) ( )lim 1 12 2nnn n n n= + + 22= 52. 【答案】 12 【解】 ( )( )
14、( )( )2 2 22 21 11 2 .1 22 2 1n n n nnn n n n n n nn n n n n+ + + + + + + + + + + + + + ， ( )( ) ( )( )2 21 1 1lim lim 22 1 2n nn n n nn n n n n + += =+ + + + ，故，原式 =12 . 53. 【答案】 ln 2 3 3lim lim32 3lim lim 1 8x xx x a axxax a x ax xx a a e e ex a x a + = + = = = = 54. 【答案】 -3 【解】 0x 时， 222222221212
15、1ln11ln axaxaxaxaxaxax +=+ ， 2224 6)6(sin)6(sin100001 xxxx + ，故 3=a 55. 【答案】 2,92 = kA 【解】 220 0 0 0 022 2 2 3ln cos ln 1 cos 1 cos 123 3 3 2lim lim lim lim lim 19k k k k kx x x x xxx x xxAx Ax Ax Ax Ax + = = = = =56. 【答案】 31=A ， 1=k 【解】 3 131)11(111 3313 +=+=+ += xtttx xt 故31=A ， 1=k 57. 【答案】 2,321
16、 = kA 9【解】 1122cos1122cos12sin 444 += = xxx pipi 122cos41 xpi22)(32122141 pipi = xx 故， 2,321 = kA 58. 【答案】 1 【解】 ( )0lim sin cos 1xxe x x+ = ， ( )0lim 2xx a a+ = . ( )f x 在零点处连续，可得 ( ) ( )0 0lim 1 lim 1x xf x f x+ = = = 59. 【答案】 a=b 【解】 ( )0 0sinlim limx xbxf x bx+ + = = ， ( ) ( )20 0lim limx xf x a
17、 bx a = + = ( )f x 在零点处连续，可得 ( ) ( )0 0lim limx xf x b f x a+ = = = 60. 【答案】 2 【解】 ( ) ( )220 0 0sin 2 1lim lim lim 2cos2 2 2 2ax axx x xx ef x x ae a ax + = = + = + = 61. 【答案】12e 【解】 ( ) ( ) ( )2cos 1 22 22 2 0 011 1 lim lim20 0 0lim lim cos lim 1 cos 1xxx xx xx xx x xf x x x e e e = = + = = = 62. 【答案】 2 【解】 ( )tan0 0 01 tanlim lim lim 2arcsin 2 2xx x xe xf xx x+ + + = = = ， ( ) ( )20 0lim lim xx xf x ae a = = ( )f x 在零点处连续，可得 ( ) ( )0 0lim 2 limx xf x f x a+ = = = 1063. 【答案】 ( )32ab 【解】 ( )03 32 3 3lim2 20 02lim lim 1 .2 2x xxa bx x x xx xxx xa b a b e ab + + + = + = =
