1、第二章二 体 问 题,天体力学基础,Kepler三大定律的数学化： 1st 行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上以太阳为一个焦点，用极坐标表示的椭圆轨道可以表示为,2nd 行星向径在相等时间内扫过的面积相等,3rd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比,k对所有的行星而言是同一常数,2.1.1万有引力定律,万有引力定律的推导,极坐标中加速度可以写成径向和横向分量：,(Binet公式),将第一定律的数学表达式代入上式：,由此可知力的大小与行星和太阳之间距离的平方成反比,2.1.1万有引力定律,引力的大小与太阳质量成正比，因此上式该记成,面积常数h可以通过计算行星运动一
2、周来计算：,因此,由Kepler第三定律，G对所有行星而言是同一常数，称为万有引力常数。,G的数值与单位有关，以太阳质量、平太阳日、天文单位分别作为质量、时间、长度单位时，相应的万有引力常数记为k2，k称为Gauss常数，1976年定义为：,2.1.1万有引力定律,Kepler第三定律在太阳系内的体现.,2.1.1万有引力定律,牛顿引力作用下的两个质点的运动,惯性坐标系下,2.1.2 二体运动方程及经典积分,两式相加并积分,质心坐标可以写出：,所以由常向量a,b得到质心运动：,2.1.2 二体运动方程及经典积分,两式相减：,得到相对运动方程：,2.1.2 二体运动方程及经典积分,得到此式无需力
3、的平方反比关系,h 定义了二体问题中的不变平面,2.1.2 二体运动方程及经典积分,运动发生在不变平面上，因此可以定义极坐标：,在极坐标系中，角动量积分表现为：,常数,2.1.2 二体运动方程及经典积分,极坐标系下的Kepler第二定律：,由此可以理解二体运动近日点和远日点速度的情况,2.1.2 二体运动方程及经典积分,积分上式，得到：,活力积分，代表能量守恒,又得到1个积分常数,但后面将看到它不是独立的积分,2.1.2 二体运动方程及经典积分,最后两个积分常数,由相对运动方程及极坐标下的加速度表示,得到：,为了解此方程，我们作变换,方程最终变成:,2.1.2 二体运动方程及经典积分,最终的解:,更加常见的形式:,对椭圆：,2.1.2 二体运动方程及经典积分,2.1.2 二体运动方程及经典积分,
