1、最短路问题简介,主讲:wangfangbob Email:,最短路问题,单源最短路 所有点对最短路单位权值 非负权值 负权值,单源最短路径,SSSP问题 Single Source Shortest Path 求给定点到其他所有点的最短路径 与SSSP有关的算法有Dijkstra、Bellman-Ford（提高篇讲过）等,单源最短路,图论的一个经典问题也是基本问题: 求两个点之间的最短路径. 目前没有专门针对这个问题的算法 必须通过求所有点到一个固定的点,即单源,的最短路,来解决这个问题. 经典算法:dijkstra算法(有向图),“松驰”操作,单源最短路算法都是基于“松驰”操作 什么是“松驰
2、”操作: 有一条边从i指向j那么: 松驰(relax)操作: If (dj di + costij) dj = di + costij; 数组d是表示所有点到源点的距离 其实就是更新操作,Dijkstra,Dijkstra Edsger Wybe Dijkstra这个Dijkstra，就是那个提出“goto有害论”的Dijkstra，就是那个提出信号量和PV原语，解决了有趣的“哲学家聚餐”问题的 Dijkstra，那个Dijkstra最短路径算法的创造者，第一个Algol 60编译器的设计者和实现者，THE操作系统的设计者和开发者，那个与D. E. Knuth并称为我们这个时代最伟大的计算机科
3、学家的人。在与癌症进行了多年的斗争之后，伟大的荷兰计算机科学家Edsger Wybe Dijkstra已经于2002年8月6日在荷兰Nuenen自己的家中与世长辞！终年72岁。,第七届(1972年)图灵奖得主,Dijkstra伪代码,int dijkstra(int s,int t) 初始化S=空集ds = 0; 其余d值为正无穷大while (NOT t in S)取出不在S中的最小的di;for (所有不在S中且与i相邻的点j)if (dj di + costij) dj = di + costij; ( “松弛”操作” )S = S + i; /把i点添加到集合S里return dt;
4、,关于算法的说明,每次选取的j使d 最小，这样可以保证它的路径已经是最短路。因为如果经过某个未标记点p到达j会产生更短的路，那么到达j的最短路长度必然要加上一个更大的d p，矛盾 d k=mind k,d j+costjk的作用是在标记j以后更新d数组（松弛操作）,关于算法的说明,每次循环会对1个点进行标记，所以n-1次循环后所有点都做标记，d的含义变成可以经过所有点的最短距离，就是我们要的最短距离 如果找到的d最小的一个是d=无穷大，则可以提前结束循环，未做标记的点都是不可到达的,Dijkstra只能针对正权,所有边权非负 单源最短路 反例: Dijkstra的本质是基于贪心的思想,1,2,
5、3,10,20,-15,4,1,Dijkstra演示,Dijkstra复杂度,复杂度分析: 最朴素的实现O(V2) 堆实现O(ElogV),Floyd-warshell,求所有点对的最短路径 DP 设optijk表示从i到j的路径中，经过的点的编号不超过k的最短路。 边界条件optij0 = disij 转移方程: optijk = Min(optijk-1 , optikk-1 + optkjk-1) (k 0 , 0 = i , j = n) 则optijn即为所求,for(k=0;kcostik+costkj) costij=costik+costkj ,Floyd-warshell,算法时间复杂度为O(n3) 原程序实际上是这个DP的一个精巧的实现，省略了最后一维数组,练习题目,Toj 2870 The K-th City 单纯的Dijkstra Toj 2878 Internet is Faulty 先Floyed再Dijkstra, 而且路径权值是用乘法 计算,可以直接把算法中的+变成*来解决,或者取对数,变成+计算亦可.http:/,
