1、试验设计与分析,目录,因子设计的一般概念2k因子设计22设计,2.1 因子设计的一般概念,复因子试验是指在一个试验中研究两个或两个以上因子的试验。因子设计目的：通过对各因子及其交互作用效果来进行方差分析，从而判断各因子及其交互作用对实验指标的影响。很多试验包含着两个、三个或更多的因子，对这些因子产生的效果都要进行研究。对这种类型的试验，最有效的是因子设计方法。,2.1 因子设计的一般概念,复因子试验具有如下几个主要特点：（1）复因子试验可同时估计单因子作用及多因子之间的相互作用。（2）复因子试验扩大了试验研究的范围。由于复因子试验可考虑多因子间各种水平组合，从而在较大试验范围内选择出多因子不同
2、水平的最佳组合处理。（3）复因子试验由于增加各因子重复数，从而降低试验误差而提高试验精度。（4）复因子试验的主要缺点是：当因子数目增加时，试验规模随之急剧增加。,2.1 因子设计的一般概念,使用因子设计方法，在每一个完全的试验或试验的多次重复中，各个因子的各个水平的所有可能的组合都要考虑。主要效果：一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的反应的变化，经常称为主要效果。,2.1 因子设计的一般概念,例：设某一试验有两个因子A和B，因子A有两个水平A1，A2，因子B有两个水平B1，B2，试验所得结果数据如表所示：,因子B,因子A,因子B,因子A,试考察因子A，B的效果。,表2.1.1 两因子实验数
3、据,表2.1.2 两因子实验数据,因子A,因子B,因子A,因子B,解:先考虑表2.1.1的情形：因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均反应与在第二个水平下的平均反应之差,记为A,即A=(40+52)/2 (20+30)/2=21因子B的主要效果是B=(30+52)/2 (20+40)/2=11再考虑表2.1.2的情况因子A的主要效果是A=(50+12)/2 (20+40)/2=1因子B的主要效果是 B=(40+12)/2 (20+50)/2=-9,2.1 因子设计的一般概念,分别画出这两种情况的图形：,2.1 因子设计的一般概念,第一种情况下，因子A、B之间没有交互作用。第二种情况下
4、,因子A、B之间有交互作用。交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还大, 因子设计方法是不会漏掉交互作用的。因此,因子设计是有效的设计方法,特别是当交互作用存在的时候。,2.2 2k因子设计,假设试验中共有k个因子，每个因子都只有两个水平。这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若每种组合下取一个观察值，总观察值共有2k个，因此叫2k因子设计。对2k设计作如下假设：（1）因子是固定的（2）设计是完全随机的（3）一般都满足正态性 （4）反应近似于线性,2.2.1 22设计,假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值。为分析问题的方便, 引进下列记号：A表示因子A的效果，B表示因子B的效
5、果，AB表示交互作AB的效果。a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和；b表示因子A在低水平，因子B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A，B都在高水平情况下观察值之和，l表示因子A，B都在低水平情况下观察值之和。,2.2.1 22设计,因子A的平均效果:在B的低水平下为在B的高水平下为总平均效果是这两个数的平均值,即,2.2.1 22设计,因子B的平均效果：在A的低水平下为在A的高水平下为总平均效果是这两个数的平均值，即,2.2.1 22设计,交互作用AB的平均效果AB定义如下：它是在B的高水平下与在B的低水平下，A的平均效果之差的平均值，即：,也可以看作在A的高水平下与在A的
6、低水平下，B的平均效果之差的平均值，即：,2.2.1 22设计,1. 因子A的效果A是右边（高水平）两项之和减去右边（低水平）两项之和，再被2n除2. 因子B的效果B是上边（高水平）两项之和减去下边（低水平）两项之和，再被2n除3. 交互作用AB的效果AB是右上方两高水平）与左下方（两低水平）两项之和减去左上方（A低B高）与右下方（A高B低）两项之和，再被2n除,方差分析,定义2.2.1 若有线性组合 满足约束条件 ， 则称这样的线性组合为对照（contrast），并记为,则C的离差平方和为：,方差分析,根据式（2.2.4）和式（2.2.5），从式（2.2.1），式（2.2.2）和式（2.2.
7、3），可以定义因子A，B，交互作用AB的总效果分别为：,。,它们都是ab，a，b和l的线性组合，组合的系数只有1和（-1），满足 。同时有 。,方差分析,因此，A，B，AB 的离差平方和分别为,例2.2.1 考虑一个化学反应过程，这里有两个因素：因素A为反应物的浓度，它有两个水平，15%，25%；因素B为催化剂的是否使用，有两个水平：不用、用。每种组合作3次试验。因素各水平的组合情况为：A(low) 15% B(low) 不用催化剂A(hight) 25% B(low) 不用催化剂A(low) 15% B(hight) 用催化剂A(hight) 25% B(hight) 用催化剂全部试验得出的
8、观察值如表2.2.1,试分析因子A，B和交互作用AB对化学反应的影响。,解 由表2.2.1，求出,l=28+25+27=80,a=36+32+32=100,b=18+19+23=60,ab=31+30+29=90.,由此得,因子A、B和交互作用AB的平均效果分别为（注意：n=3）,再由式（2.2.9）、式（2.2.10）和式（2.2.11），得离差平方和分别为,参照第1章方差分析中式,求总离差平方和 ST 和误差平方和SE,列方差分析表，如表2.2.2所示,对A,B给出=0.01，对AB给出=0.05，查出 F0.01（1，8）=11.26，F0.05(1，8)=5.23，FA=53.1511.26，FB=19.1311.26，FAB=2.135.23. 所以，因子A，B对化学反应均有显著影响，A的影响更显著，交互作用AB无显著影响。,谢谢,
