1、第十一节 平面曲线的曲率,一、弧微分 二、曲率及计算公式 三、曲率半径与曲率圆 四、小结 五、作业,一、弧微分,规定：,单调增函数,如图，,弧微分公式,用 除不等式得,取极限得,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,2.曲率的计算公式,注意:,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,曲线由参数方程,曲线由极坐标方程,例1,解,显然,【例2】求立方抛 物线 上任一点的曲率。
2、,例,三、曲率圆与曲率半径,定义,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,例3,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,四、小结,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,作业： P-167 4 ，补充 P-175 1，4，5 P-180 1，2，4，8，9，10（2）（3） （4），11（2），14，17，2019可用来证明思考题（凸）,思考题,椭圆 上哪些点处曲率最大？,思考题解答,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,练 习 题,练习题答案,
