1、1,上一节的小结：,分离变量法基本步骤,1.令,将其代入方程分离变量得两个常微分方程,2.,利用边界条件求,3.,所对应的施图姆-刘,维尔问题(即求非0解)，得到相应的特征值,和特征函数,将所求的特征值,4.,代入,所满足的方程，,从而求得其通解,写出定解问题的级数解的表达式,5.,并利用初值条件和傅里叶正弦或余弦级数,所对应的系数公式求出:,2,本节预备知识：,一阶线性常微分方程,的通解公式。其中,为已知函数。,(*),设,的原函数为,为任意常数。,其中,则(*)的通解公式为,则通解简化为,特别的,若,3,2.2 有界长杆的热传导问题,一、考察齐次热传导方程的混合问题(边界条件,(17),其
2、中,为给定的已知函数。,下面用分离变量法(或称驻波法)来求解定解问题(17)。,都是第一类的情形）,4,首先令,将其代入方程,由边界条件,并分离变量得两个常微分方程,可得,5,(1)当,时，该问题没有非平凡解。,(2)当,时，该问题也没有非平凡解。,求边值问题,的非0解。,(3)当,时，该问题有非平凡解。,此时,6,现在考虑,将特征值,代入上方程得,其通解为,于是可得定解问题(17)中的一维热传导方程且,且满足齐次边界条件的具有变量分离形式的特解,7,其中,是任意常数。,(18),再利用初值条件,可得,(19),8,(17),(18),(19),(18)(19)合在一起就是所求定解问题(17)
3、的特解。,若问题中的边界条件出现第二类或第三类齐次边界条件，解法类似。,9,二、考察齐次热传导方程的混合问题(边界条件,(21),其中,为给定的已知函数。,都是第二类的情形）,(20),(22),该定解问题在物理上表示：杆的两段,处绝热、初始温度分布为,并且无热源的有,限长杆上的热传导问题。,10,解,令,将(23)代入方程(20)分离变量得两个常微分,由边界条件(21)得,(21),(20),(22),(23),方程,(24),(25),(26),11,(1)当,时，方程通解为,的非0解。,下面求常微分方程的初值问题,(27),由边界条件得,因此(27)没有非0解。,12,(2)当,时，方程
4、通解为,则有,由边界条件得,再将,代入方程,解得,这样就得到了传导方程(20)满足边界条件(21),的一个非平凡解,其中,为任意常数。,(27),13,(3)当,时，方程的通解具有如下形式,由边界条件得,假设,不恒等于0，,则,于是得,从而找到一族非零解,(27),14,现在考虑,将特征值,代入方程得,其通解为,于是得满足方程(20)和边界条件(21)的非零解为,其中,是任意常数。,(24),(28),15,为此，在(28)式中令,且结合初值条件,可得,(28),(29),16,这样，定解问题(20)-(22)的解由级数,(21),(20),(22),给出，其中系数,由(29)式确定,(28),(29),17,利用公式,解,其中,(28),(29),例,求下列问题的解,18,例,求下列问题的解,由于,解,则有,19,例,求下列问题的解,然后将,解,(28),以及,代入公式,得所求问题的解为,
