1、条件异方差模型,1,2,自回归条件异方差模型自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异
2、方差呢？会是怎样出现的？,3,恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。,4,从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。
3、从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= t2 )依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 t2- 1 。,5,6.1.1 ARCH模型 为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型： (6.1.1) 如果 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：(6.1.2) 由于 yt 的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（6.1.1）也称为均值方程。,6,假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条
4、件分布是： (6.1.7) 也就是，ut 遵循以0为均值，(0+1u2t-1 )为方差的正态分布。,7,由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：通常用极大似然估计得到参数0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估计。 容易加以推广，ARCH (p)过程可以写为：(6.1.8) 这时方差方程中的(p+1)个参数0, 1, 2, , p也要和回归模型中的参数0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进行估计。,8,如果扰动项方差中没有自相关，就会有H0 ： 这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟
5、假设：其中，t 表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残差。,9,在 ARCH(p) 过程中，由于 ut 是随机的，ut2 不可能为负，所以对于 ut 的所有实现值，只有是正的，才是合理的。为使 ut2 协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程（6.1.9） 的根全部位于单位圆外。如果 i（i = 1, 2, , p）都非负，式（6.1.9）等价于 1 + 2 + + p 1。,10,6.1.2 ARCH的检验,下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。1. ARCH LM检验Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在AR
6、CH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。,11,ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：式中 t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：（1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；（2）TR2 统计量是Eng
7、les LM检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；,12,2. 残差平方相关图显示直到所定义的滞后阶数的残差平方t2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。,13,6.1.3 GARCH模型扰动项 ut 的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。因此 必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是 t2 的分布滞后模
8、型，我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heterosce- dasticity model，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。,14,在标准化的GARCH(1,1)模型中： 均值方程： (6.1.17) 方差方程： (6.1.18) 其中：xt 是 (k+1)1维外生变量向量， 是(k+1)1维系数向量。 (6.1.17)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为
9、基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差，式（6.1.18）也被称作条件方差方程 。,15,(6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：2用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。3上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。,16,在EViews
10、中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t 时期的对数似然函数为： (6.1.19) 其中 (6.1.20) 这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。,17,有两个可供选择的方差方程的描述可以
11、帮助解释这个模型：1如果我们用条件方差的滞后递归地替代（6.1.18）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：（6.1.21）我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。,18,2设 vt = ut2 t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：（6.1.22） 因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1, 1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是 加 的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。,19,方差方程的回归因子方程(6.1.18)可以扩展成包含外生的
12、或前定回归因子 z 的方差方程：（6.1.23）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：,20,高阶GARCH(p, q)模型高阶GARCH模型可以通过选择大于1的 p 或 q 得到估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为： （6.1.24）t,21,6.1.4 IGARCH模型如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项：（6.1.27） 其中（6.1.28）这就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的单整GARCH模型（Intergra
13、ted GARCH Model，IGARCH）。,22,6.1.5 约束及回推1约束在估计一个GARCH模型时，有两种方式对GARCH模型的参数进行约束（restrictions）。一个选择是IGARCH方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就是方差目标（variance target）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：（6.1.29） 这里的是残差的无条件方差。,23,2回推在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子（6.1.30） 其中：是来自均值方程的残差
14、，是无条件方差的估计：（6.1.31） 平滑参数为0.1至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化GARCH过程：（6.1.32）,24,6.1.6 GARCH模型的残差分布假设在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项ut的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般会有3个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分布（GED）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的 代表参数向量。1对于扰动项服从正态分布的GAR
15、CH(1, 1)模型，它的对数似然函数为（6.1.33） 这里的t2是ut的条件方差。,25,2如果扰动项服从学生t分布，GARCH(1, 1)模型的对数似然函数的形式就是（6.1.34）这样，参数的估计就变成了在自由度k2的约束下使对数似然函数（6.1.34）最大化的问题。当k时，学生t-分布接近于正态分布。,26,3扰动项的分布为广义误差分布（GED）时，GARCH(1, 1)模型的对数似然函数的形式为（6.1.35） 这里的参数r 0。如果r = 2，那么GED就是一个正态分布。,27,6.1.7 ARCH-M模型金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人
16、们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中:（6.1.38）GARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差： （6.1.41） 或取对数 （6.1.42）,28,GARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差(风险)：这种类型的模型（其
17、中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。,29,6.2 非对称ARCH模型,在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现象，Engle和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线，波动性0 信息,30,资本市场中的冲击常常表现出一种非对称效应。这种非对称性是十分有用的，因为它允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速，因此被称为“杠杆效应”，是许多金融资产的一个重要事实特征。例如，许多研究人员发现了股票价格行为的非对称实例负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了股东权益，股价的大幅下降增加
18、了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。因此介绍2种能够描述这种非对称冲击的模型：TARCH模型和EGARCH模型。,31,6.2.1 TARCH模型TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为： (6.2.1)其中，dt-1是虚拟变量：当ut-10)和坏消息(ut 0 ，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。,32,6.2.2 EGARCH模型,EGARCH或指数（Exponential）GARCH
19、模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：(6.2.3) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过 0)和坏消息(ut 0)对条件方差有不同的影响：好消息有一个 + 的冲击；坏消息有一个对- 的冲击。如果 0，则信息是非对称的。,33,6.3 成分ARCH模型(Component ARCH Model),GARCH (1,1) 模型将条件方差设定为： (6.3.1) 令 其中 是非条件方差或长期波动率， (6.3.1)变为： (6.3.2) 表示了均值趋近于 ，这个 在所有时期都为常数。,34
20、,成分ARCH模型允许均值趋近于一个变动的水平qt： 暂时成分: (6.3.3) 长期成分: (6.3.4) 此处t 仍然是波动率，而qt 代替了 ，它是随时间变化的长期变动。 (6.3.3)描述了暂时成分 t2 - qt ，它将随+ 的作用收敛到零。 (6.3.4)描述了长期成分qt 它将在 的作用下收敛到 。典型的 在0.99和1之间，所以qt 缓慢的接近 。,35,把暂时方程和长期方程联合起来：(6.3.5)该方程表明了成分ARCH模型是一个非线性的严格的GARCH(2,2)模型。在成分ARCH模型的条件方差方程中，可以包含进外生变量，它可以在长期方程中，也可以在暂时方程中（或者两者均可）。暂时方程中的变量将对变化率的短期移动产生影响，而长期方程中的变量将影响变动率的长期水平。,36,在暂时方程中还可以引入非对称影响，称为非对称的成分ARCH模型。它的条件方差方程的形式为： (6.3.6)(6.3.7) 其中 z 是外生变量，d 是虚拟变量，表示负的冲击，当 ut-10时，dt = 1；否则，dt = 0。只要 0，冲击就会对变动率的短期波动产生非对称的影响； 0 意味着条件方差中的暂时杠杆效应。需要注意，这种非对称效应只出现在短期波动中，对长期波动率的影响则主要体现在系数 的变化上。,
