1、1,第 2 章 线性规划的对偶理论,2.1 对偶问题的提出2.2 原问题与对偶问题的关系2.3 对偶问题的性质2.4 影子价格2.5 对偶单纯形法2.6 灵敏度分析2.7 参数线性规划,2,对偶：Duality 对偶问题： Dual Problem 对偶线性规划： Dual Linear Programming 对偶理论： Dual Theory,3,2.1 对偶问题的提出,例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需要A、B、C、D 四种不同的材料，按工艺资料规定，生产一单位甲乙产品需要各种材料数量及单位产品利润如表中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利最大?,4,解：设企业
2、生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则max z= 2 X1 +3 X2 s.t . 2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12X1 0 , X2 0,5,如果另外一企业想将上述企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使第一个企业愿意放弃生产活动，出售资源？,我出让资源的代价不应低于我自己组织生产时的产值!,我要用最小的代价购买资源!,注: 关键是确定转让价格,6,设第i种资源单位增值价（售价成本增值），为yi,（ i=1, 2, 3, 4）, 则有,min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4,s.t. 2y1 + y2 +
3、4y3 +0 y4 2,2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3,yi 0, (i=1, 2, 3, 4 ),7,1.最大生产利润模型,设 企业生产甲产品为X1件,乙产品为X2件，则 max z= 2 X1 +3 X2 s.t 2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12X1 0 , X2 0,2.资源最低售价模型,原问题 对偶问题,设第i种资源价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有,min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4,s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2,2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4
4、3,yi 0, (i=1, 2, 3, 4 ),y1,y2,y3,y4,注：考虑角度不同，模型中的系数有对应关系。,8,对偶问题： min w = b1 y1 + b2 y2 + + bm yma11 y1 + a21 y2 + + am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + + am2 ym c2 a1n y1 + a2n y2 + + amn ym cn yi 0，(i=1,2,m ),2.2 原问题与对偶问题的关系,原问题： max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xna11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2
5、 + + a2n xn b2 am1x1 + am2 x2 + + amn xn bmxj 0，j=1,2,n,一般形式：,目标函数系数: C=c1 c2 cn系数矩阵: A=aijmn约束右端项: b=,b1 b2 : bm,目标函数系数: b系数矩阵: A约束右端项: C,9,（1） max z = C X s.t AX b X 0,典式模型的对偶结构的矩阵表示,min w = Y bs.t YA CY 0,对偶问题,原问题,Y=(y1,ym),10,(2) max z = C X s.t AX b X 0,max z = CX s.t - AX -b X 0,变形,min w = Y b
6、s.t YA CY 0,min w=Y (-b)st. Y (-A) C Y 0,令 Y=- Y ,对偶问题,对偶变量Y,其它模型的对偶结构的矩阵表示,11,（3）max z = C X s.t. AX b X 0,变形,设X= -X,max z= (-C)X s.t. (-A)X b X 0,min w = Y bs.t. YA CY 0,min w = Y bs.t. Y(-A) - CY 0,对偶变量Y,12,原问题与对偶问题的对应关系,用矩阵形式表示：（1） max z = C X min w = Y bs.t AX b s.t YA CX 0 Y 0 （2） max z = C X
7、min w = Y bs.t AX b s.t YA CX 0 Y 0 （3）max z = C X min w = Y bs.t AX b s.t YA CX 0 Y 0,13,原问题(对偶问题) 对偶问题(原问题)目标函数系数 约束右端项 约束右端项 目标函数系数约束条件系数列向量 A 约束条件系数行向量 A变量个数 约束条件个数max min变量 x j : 第j个约束方程 :x j 0 x j 无约束 =x j 0 第i各约束方程: 变量 y i : y i 0 = y i 无约束 y i 0,原问题与对偶问题的对应关系表,14,例 写出下列线性规划问题的对偶问题.,解：原问题的对偶问
8、题为,对偶问题的对偶还是原问题,15,练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.,16,2.3 对偶问题的基本性质,原问题 对偶问题 Max z = CX Min w = Y bs. t . AX b s. t . YA CX 0 Y 0,(1) 弱对偶性 (2) 最优性 (3) 强对偶性(或称对偶定理) (4) 互补松弛性 (5) 单纯形表上的对应关系,17,弱对偶性：若X0是原问题可行解，Y0是对偶问题可行解，则CX0 Y0 b,证明： Y0 0， AX0 b， Y0 AX0 Y0 b，而 Y0 A C ， CX0 Y0AX0 ， CX0 Y0 AX0 Y0 b,由弱对偶性，可得以下结论： 原
9、问题(对偶问题)任一可行解的目标函数值是其对偶问题(原问题)目标函数值的下(上)界； 若原问题(或对偶问题)具有无界解，则对偶问题(或原问题)无可行解。其逆定理不成立，即如果原问题（对偶问题）无可行解，那么对偶问题（或原问题）无可行解，或者有可行解（此时有无界解）。证明：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 时，则不可能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。 (3) 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题(原问题)无可行解，则原问题(对偶问题)具有无界解。,19,(2) 最优性： 若X0是原问题可行解，Y0是对偶问题可行解，且CX0 = Y0b，则X0是原问题最优解，Y0是对偶问题最优解
10、。,证明：设X* 是原问题最优解，Y* 是对偶问题最优解，则 CX0 CX* Y* b Y0 b但CX0 = Y0 b， CX0 = CX* = Y* b = Y0 b即 X0是原问题最优解， Y0是对偶问题最优解。,20,(3) 强对偶性（对偶定理）： 若原(对偶)问题有最优解,则对偶(原)问题一定有最优解，且有 z max = w min.,证： 由 = C- CB B-1 A 0， s = 0- CB B-1 I 0，令 CBB-1 = Y* ，得 Y* A C，-Y * = -CBB-1 0， Y* 0，因此， Y*是对偶问题的可行解，又 CX* = CB (B-1 b) = CB B
11、-1b = Y* b， 由性质2，Y*是对偶问题的最优解。,21,一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优解,且最优值相等); 两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有无界解。,22,（4）互补松弛性：在线性规划问题的最优解中， n若 y i * 0, 则 aij xj * = bi ； j=1n若 a ij xj * bi , 则 y i* = 0 j=1,(4) 互补松弛性：在线性规划问题的最优解中， m若 x j * 0, 则 aij yi * = cj ； i=1m若 a ij y
12、i* cj , 则 xj* = 0 i=1,23,n n m m证： cj x j* = ( a ij y i* ) xj* = bi y i* j=1 j=1 i =1 i =1,n m m ( a ij y i* ) xj* - bi y I* =0 j=1 i =1 i =1,m n ( a ij xj* - bi ）y i* =0 i =1 j=1, 当 y i*0时, a ij xj* - bi =0, 即 a ij xj* = bi,当 a ij xj* - bi 0, y i*=0,j=1,j=1,j=1,n,n,n,24,性质(4)的应用: 已知原问题(对偶问题)的最优解,求对
13、偶问题(原问题)的最优解.,25,例 已知线性规划的最优解是X=(6,2,0),求其对偶问题的最优解Y.,26,解：写出原问题的对偶问题，即,因为X=(6,2,0), 所以,y1+2y2=3 2y1+2y2=4,解得y1=1,y2=1。,所以对偶问题的最优解为Y*=(1,1), 最优值为w=26.,27,例 已知线性规划 max z=2x1+x2+5x3+6x42x1+x3+x482x1+2x2+x3+2x412xj0,j=1,2,3,4, 其对偶问题的最优解是y1*=4,y2*=1，求原问题的最 优解X.,28,解：写出原问题的对偶问题，即,因为y1*=4,y2*=1，所以,2x1+x3+x
14、4=8 2x1+2x2+x3+2x4=12,又因为2y1*+2y2*22y2*1,所以x1*=0,x2*=0。求得原问题的最优解为X*=(0,0,4,4), 最优值为z=44.,min w=8y1+12y22y1+2y222y21y1+y25y1+2y26y1,y20, j=1,2,3,4,29,（5）单纯形表中的对应关系,原问题 对偶问题max z= 2 x1 +3 x2 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4s.t 2 x1 +2 x2 12 s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 x1 +2 x2 8 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 4
15、 x1 16 yi 0, i=1, 2, 3, 44 x2 12x1 0 , x2 0,-y1 - y2 - y3 - y4,-y5 -y6,用单纯形法对原问题求解,30,原问题 对偶问题max z= 2 x1 +3 x2 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4s.t 2 x1 +2 x2 12 s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 x1 +2 x2 8 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 4 x1 16 yi 0, i=1, 2, 3, 44 x2 12x1 0 , x2 0,-y1 - y2 - y3 - y4,Cj ,x1,x2,x3,x
16、4,XB,b,CB,2 3 0 0 0 0,22 8 3,x3 x1 x5 x2,02 0 3,cj - zj,x5,x6,01 0 0,00 0 1,10 0 0,-2 1 -4 0,00 1 0,0.5 -0.5 2 0.25,0 0 0 -2 0 0.25,-y5 -y6,用单纯形法对原问题求解,31,2.4 影子价格(Shadow price),约束条件右侧（即资源）改变1个单位时，目标函数（即利润）的变化量，它度量了约束条件对应的那种资源的价值，经济学上称为影子价格。,z=c1x1*+cnxn*=b1y1*+bmym*,注：(y1*, , ym*)=CBB-1，其中B是原问题的最优解
17、的基变量在初始 表里对应的矩阵。,*,32,影子价格与市场价格的比较,33,(1) 决定买进或卖出某种资源的参考依据 (2) 对资源使用状况的估算（互补松弛性） (3) 机会成本： j = cj- CB B-1pj = cj- Ypj= cj- aijyi，其中 aijyi 为隐含成本。 (4) 制定内部结算价格的参考。,影子价格的作用,注:(1)影子价格在一定范围内有效的;(2)最优状态;(3)一个变。,34,产品,原材料,A B C,甲 乙 丙,单位利润（元）,2 1 3,1 2 3,2 2 1,4 1 3,原材料总量（kg）,200 500 600,例 某工厂利用原材料生产A，B，C三种
18、产品，有关资料如上表示。 怎么安排生产使利润最大？ 如果增加1kg的原材料甲，总利润增加多少？ 设原材料乙的市场价格为1.2元/kg，若要转让乙，工厂至少要叫价多少？为什么？,(4) 单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变？ (5) 原材料分别单独在什么范围波动时，仍只生产A和C两种产品？ (6) 由于市场的变化，产品B和C的利润分别变为3元和2元时，应如何调整生产计划？ (7) 工厂计划生产新产品D，每件产品D消耗原材料甲乙丙分别为2kg，2kg，1kg，每件产品D应获利多少才有利于生产？,36,2.5 对偶单纯形法,对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和
19、单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。,单纯形法的基本思想：保持原问题为可行解(这时对偶问题一般不可行)的基础上，通过迭代，使目标函数向最优方向靠近，当对偶问题也达到可行解时，即得到了目标函数的最优值。,对偶单纯形法的基本思想：保持对偶问题为可行解(这时原问题一般不可行)的基础上，通过迭代，使目标函数向最优方向靠近，当原问题也达到可行解时，即得到了目标函数的最优值。,37,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,-1 -1 1 0 -1 -2 0 1,-2 -3 0 0,x3 x4,00,cj - zj,保证此行为负,保证此列非负,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,C
20、B,-1 -1 1 0 -1 -2 0 1,-2 -3 0 0,x3x4,0 0,cj - zj,单纯形法,对偶单纯形法,38,对偶单纯形法步骤：,1.将min化成max形式，约束条件中出现单位矩阵； 2.列初始单纯形表，使得所有检验数j 0 ； 3.出基变量：取min bi0 = bl x(l) ； 4.入基变量：min |alk0= xk； 5.主元素： alk； 6.迭代：同单纯形法，新单纯表中pk化为单位向量。,cj-zj,alj,说明： 10 使用对偶单纯形法时，初始表中检验数必须全部为j 0，即使得其对偶问题为可行解， 20 为便于说明，这里采取从原问题角度叙述迭代步骤。,保证z不
21、断变优,保证对偶问题新的基解是可行的，即检验数行为负,39,例：,min z=2x1+3x2 max z=-2x1-3x2+0x3 +0x4 s.t x1+x23 标准化 s.t x1+x2-x3=3 x1+2x2 4 x1+2x2-x4=4 x10, x20 xj 0, (j=1,2,3,4),max z=-2x1-3x2+0x3 +0x4 s.t - x1-x2+x3=-3 - x1-2x2+x4=-4 xj 0, (j=1,2,3,4),(1)目标函数：max (2)约束条件：单位矩阵 (3) 约束条件右端可以为负,40,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,-1 -1 1 0
22、 -1 -2 0 1,-2 -3 0 0,-3 -4,x3 x4,00,cj - zj,-2,-3,0,0,-1/2 0 1 -1/2 1/2 1 0 -1/2,x3 x2,-1 2,cj - zj,-1/2 0 0 -3/2,0 -3,1 0 -2 1 0 1 1 -1,x1 x2,21,cj - zj,0 0 -1 -1,-2 -3,列单纯形表计算：,41,注：对偶单纯形法的优点：不需要引入人工变量，缺点：不容易找到对偶问题的初始基可行解。,对偶单纯形法与普通单纯形法的比较,42,2 -6,-2 -2,例：,max z=-7x1-3x2 s.t 2x1-x2+x3=-2 -x1+2x2+x
23、4=-2 xj 0, (j=1,2,3,4),Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,2 -1 1 0 -1 2 0 1,-7 -3 0 0,x3 x4,00,cj - zj,-7,-3,0,0,-2 1 -1 0 3 0 2 1,x2 x4,cj - zj,-13 0 -3 0,0 -3,没有负数,则原问题无可行解，对偶问题解无界,43,总结,普通单纯形法 人工变量法（大M法，两阶段法） 改进单纯形法 对偶单纯形法 所有约束条件全为时，用普通单纯形法； 存在约束条件为时，用人工变量法或对偶单纯形法； 上述两种情况，均可用改进单纯形法。,例(生产计划问题) 某企业计划生产甲、乙两种产品
24、，该两种产品均需经A、B、C、D四种不同设备加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及设备加工能力、单位产品利润如表中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利最大?,2.6 灵敏度分析(Sensitivity Analysis),最优生产计划：x1=4,x2=2, max z=14,45,在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大利润由线性规划的最优解和最优值决定。在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计划实施前或实施中上
25、述状况发生了改变，则决策者所关心的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如变化快”，企业应当预先了解，当各 项因素变化时，应当作出什么样的反应。,46,线性规划的数学模型：,max z=c1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxnb1a21x1+a22x2+a2nxn b2 s.t. am1x1+am2x2+amnxn bm x1 ,x2, ,xn0,max z=CXAXbX0,价值系数,工艺系数,资源限量,47,灵敏度分析的概念灵敏度分析是指对系统或事物因周围条件变化
26、显示出来的敏感程度的分析（灵敏度分析又称敏感性分析，这里就是研究最优解对数据变化的敏感程度），敏感性太强，则说明最优解的稳定性程度较低。,注：灵敏度分析的重要性在于 1、向决策者提供线性规划问题的最优解所能适应的环境条件变化的范围； 2、环境条件变化时可能对经营状况带来何种影响； 3、产生影响后的解决途径。,灵敏度分析的内容 (1)cj目标函数系数的变化，通常称市场条件的变化； (2)bi约束右端项的变化，通常称资源的改变； (3)Pj约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变化； (4)增加一种新产品； (5)增加一道新的工序。,48,注: 下面分别分析上述参数变化会引起什么样的变化，并将这种变
27、化反映到最终单纯形表上。,(相当于增加一个变量),（相当于增加一个约束条件）,灵敏度分析的步骤,1、将参数的变化直接反应到最终单纯形表中； 2、检查原问题是否仍为可行解：b列； 3、检查对偶问题是否仍为可行解:检验数行； 4、按下表得出结论或者决定继续计算的步骤。,改进单纯形法中的计算公式,仍为问题最优解,用单纯形法继续迭代求最优解,用对偶纯形法继续迭代求最优解,引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算,b=B-1b,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,2 3 0 0,x3 x2,03,cj - zj,i,Pj=B-1Pj,回顾改进单纯形法中的计算公式：,b=B-1b, Pj=B-1
28、Pj,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,2 3 0 0,x3 x4,00,cj - zj,i,第1张表,第i 张表,P1,P2,P3,P4,P1,P2,P3,P4,j= cj-CBB-1Pj,B=P3 P2,B: 第i张表的基变量在第1张表中的列向量对应的矩阵 B-1:第1张表的基变量在第i张表中的列向量对应的矩阵,51,(1)cj目标函数系数的变化,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,2 3 0 0,x3 x2,03,cj - zj,i,P1,P2,P3,P4,当cj变化时，最终单纯形表的哪部分会发生变化？,步骤： 将cj的变化反映到最终单纯形表上，并重新计算检验数
29、; 如果所有检验数0，则已是最优；否则，按单纯形法确定换入换出基的变量，继续运算。,如何计算?,最后一张表,52,max z= 2 x1 +3 x2 s.t 2 x1 +2 x2 12 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12x1 0 , x2 0,例：已知某线性规划模型及最终的单纯形表如下：,（1）若c2增加2个单位，最优解如何改变？ （2）若b2增加8个单位，最优解如何变化？ （3）若引进一个新变量（产品）y，其目标函 数系数为 cy=5，系数列向量为py=3 2 6 3，问最优解是否会改变？,cj 2 3 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6,0
30、 x3 0 2 x1 4 0 x6 4 3 x2 2,0 0 1 -1 -0.25 0 1 0 0 0 0.25 0 0 0 0 -2 0.5 1 0 1 0 0.5 -0.125 0,cjzj,0 0 0 -1.5 -0.125 0,53,解： （1）当cj变化时，=CCB B-1 A，列出单纯形表，重新求出检验数，如表中所示。,cj 2 5 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6,0 x3 0 2 x1 4 0 x6 4 5 x2 2,0 0 1 -1 -0.25 0 1 0 0 0 0.25 0 0 0 0 -2 0.5 1 0 1 0 0.5 -0.125
31、0,cjzj,0 0 0 -2.5 0.125 0,0 x3 2 2 x1 2 0 x5 8 5 x2 3,0 0 1 -2 0 0.5 1 0 0 1 0 -0.5 0 0 0 -4 1 2 0 1 0 0 0 0.25,cjzj,0 0 0 -2 0 -0.25,步骤： (1)将bi的变化反映到最终单纯形表上,即计算b=B-1(b+b)； (2)如果b0，则已是最优；否则，按对偶单纯形法确定换入换出基的变量，继续运算。,54,(2)bi资源数量的变化,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,2 3 0 0,x3 x2,03,cj - zj,i,P1,P2,P3,P4,当bi变化时，
32、最终单纯形表的哪部分会发生变化？,最后一张表,B-1=?,55,max z= 2 x1 +3 x2 s.t 2 x1 +2 x2 12 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12x1 0 , x2 0,例：已知某线性规划模型及最终的单纯形表如下：,（1）若c2增加2个单位，最优解如何改变？ （2）若b2增加8个单位，最优解如何变化？ （3）若引进一个新变量（产品）y，其目标函 数系数为 cy=5，系数列向量为py=3 2 6 3，问最优解是否会改变？,cj 2 3 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6,0 x3 0 2 x1 4 0 x6 4 3 x2
33、2,0 0 1 -1 -0.25 0 1 0 0 0 0.25 0 0 0 0 -2 0.5 1 0 1 0 0.5 -0.125 0,cjzj,0 0 0 -1.5 -0.125 0,56,（2）,（b+b）=B-1 b+ B-1 b = b+B-1 b=0 4 4 2T + -8 0 -16 4 T = -8 4 -12 6 T,B-1 b =,1 -1 -0.25 0 0 0 0.25 0 0 -2 0.5 1 0 0.5 -0.125 0,0 8 0 0,=,-8 0 -16 4,cj 2 3 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6,0 x3 -8 2 x1
34、 4 0 x6 -12 3 x2 6,0 0 1 -1 -0.25 0 1 0 0 0 0.25 0 0 0 0 -2 0.5 1 0 1 0 0.5 -0.125 0,cjzj,0 0 0 -1.5 -0.125 0, 利用对偶单纯形法继续 求最优解。,0 0 1 -1 -0.25 0 1 0 0 0 0.25 0 0 0 0 -2 0.5 1 0 1 0 0.5 -0.125 0,57,cj 2 3 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6,0 x3 -8 2 x1 4 0 x6 -12 3 x2 6,cjzj,0 0 0 -1.5 -0.125 0,0 x3 -
35、2 2 x1 4 0 x4 6 3 x2 3,0 0 1 0 -0.5 -0.5 1 0 0 0 0.25 0 0 0 0 1 -0.25 -0.5 0 1 0 0 0 0.25,cjzj,0 0 0 0 -0.5 -0.75,0 x5 4 2 x1 3 0 x4 7 3 x2 3,0 0 -2 0 1 1 1 0 0.5 0 0 -0.25 0 0 -0.5 1 0 -0.25 0 1 0 0 0 0.25,cjzj,0 0 -1 0 0 -0.25,返回,右端项变化分析单纯形表：,58,(3)增加一个变量的分析,Cj ,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,2 3 0 0,x3 x2,03,cj - zj,
