1、1,虚位移原理,教案2005.5.26,2,内 容 提 要,14-1-1.约束的分类 约束的定义 双面约束与单面约束 定常约束与非定常约束 完整约束与非完整约束自由度与广义坐标 自由度 广义坐标,14-1-2.虚位移 14-1-3虚功 14-1-4.理想约束 理想约束的定义 光滑接触面 连接两刚体的光滑铰链 连接两质点的无住重刚杆,3,14-1-1.约束.,1. 约束及其分类,当质点或质点系中的某些质点运动时,受到某些事先 给定的几何上或运动学上的限制条件,这些限制条件称为质点或质点系的约束。,(1) 几何约束和运动约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 限制质点或质点系运
2、动情况的运动学条件，称为运动约束。,4,例14-1. 圆盘C在粗糙的平面上作纯滚动。,y = R表示圆盘C受到几何上的 限制。,vc = R表示圆盘C受到运动学上的限制。,约束是指事先给定的限制条件。 它与作用力, 起始条件以及运动的其他条件无关。,5,受有约束的质点系为非自由质点系.,约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何学和运动学知识,写成具体的数学表达式 , 这样的数学表达式称为约束方程.,例14-2. 曲柄连杆机构的 约束方程为:x12 + y12 = r2(x1 - x2)2 + y12 = l 2y2 = 0,不受任何约束的质点系为自由质点系,它可以在主动力作用下作空间任意运
3、动,6,右图中摆锤A的约束方程为x2+y2 = l 2,在约束方程中用严格的等号表示的约束为双面约束.这种约束如能限制物体向某一方向运动,则必能限制向相反方向运动.,在约束方程中用不等号表示的约束为单 面约束.这种约束只能限制物体某个方向的运动,而不能限制相反方向的运动.,左图中摆锤A的约束方程为,(2) 双面约束与单面约束,7,如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的 , 或包含坐标 对时间的导数但能积分成有限形式的 , 则这种约束称为完整 约束. 如上面所举各例.完整约束方程的一般形式为 (x1,y1,z1,xn,yn,zn,t)=0 ( =1,2,s),如果在约束方程中不显含时间 t ,既
4、约束不随时间而改 变 ,这种约束称为定常约束.如上面所举二例.,如左图圆周的半径随时间改变 , 约束方程为x2 + y2 = (r + at)2,如果在约束方程中显含时间t , 既约束随时间而改变 ,这种约束称为非定常约束.如上面举例.,(4)完整约束与非完整约束,(3) 定常约束与非定常约束,8,如果约束方程中不仅含有坐标 , 还含有坐标对时间的导数 , 且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式 , 则这种约束称为非完整约束.其一般形式为,因为完整约束方程中仅含坐标 , 它表现为对质点系的几 何位置起限制作用 , 所以这种约束又称为几何约束.,因为非完整约束方程中包含有速度投影量 , 它仅
5、表现为 对质点速度所加的限制 , 所以这种约束又称为运动约束.,(x1,y1,z1,xn,yn,zn; t) = 0( = 1,2,s),本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束.,9,自由度与广义坐标,(1)自由度在完整约束的条件下 , 用来确定质点系在空间的位置所需独立坐标的个数 , 称为质点的自由度或自由度.,一个由n个质点组成的质点系在平面内的位置 , 在直角坐 标系中需用2n个坐标来确定.如果质点系受有s个完整约束 , 则质点系的2n个坐标必须满足s个约束方程.因此质点系只有 k=2n - s 个坐标是独立的.,例题14-4.确定右图所示系统的约束数.,xo= 0 yo= 0 yB=
6、0xA2 + yA2 = r2 (xA-xB)2 + yA2 = l 2k = 23 - 5 = 1,10,例题14-5. 求右图所示双摆的自由度.,系统由3个质点组成 , 受4个约束,xO= 0 yO= 0 xA2 + yA2 =l12 (xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22,k = 23 - 4 = 2,11,(2)广义坐标,唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标.,例题14-4. 确定右图的广义坐标.,xA =l1 sin1 yA = l1 cos 1 xB = l1 sin 1 + l2 sin 2 yB =l1 cos 1 + l2 cos 2,解:可取1和 2为广义坐
7、标来确定系统的位置.这时A和B点的直角坐标与广义坐标的关系为:,12,在一般情况下,若一个由n个质点组成的质点系,受 s个定常的完整约束,则系统具有k = 2n - s个自由度.如以q1,q2,qk 表示所选定的广义坐标,则质点系中任一质点Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数.,x i= xi (q1,q2,qk) yi = yi (q1,q2,qk)(i =1,2,n),ri=ri(q1,q2,qk)(i =1,2,n),显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数,13,例题14-5. 分别确定下列结构的自由度和广义坐标. (1)长为l 的刚杆. (2)用三根长为 l 的刚杆铰接的三角
8、 形结构.(3)用四根长为 l 的刚杆铰接的四边形结构.,解:,(1)约束方程为,(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2,自由度为:,k=22 -1 = 3,广义坐标为: x , y , ,rA = x i + y j,rB = (x + l cos) i + (y + l sin) j,x,y,14,(2)约束方程为,(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2,(xA-xC)2+(yA-yC)2 = l 2,(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2,自由度为:,k = 23 -3 = 3,广义坐标为: x , y , ,rA = x i + y j,rB = (x + l
9、cos) i + (y + l sin) j,rC = x + l cos(+60o) i + y + l sin(+60o) j,显然用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构可以视为一根刚杆.,x,y,15,(3)约束方程为,(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2,(xA-xD)2+(yA-yD)2 = l 2,(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2,广义坐标为:x、y、,rA = x i + y j,rB = (x + l cos) i + (y + l sin) j,rC = x + l (cos - sin) i + y + l (sin+cos) j,(xC-xD)2+
10、(yC-yD)2 = l 2,rD = (x - l sin) i + (y + l cos) j,x,y,16,14-1-3.虚位移,虚位移,质点或质点系在给定瞬时,为约束所容许的任何微 小的位移,称为质点或质点系的虚位移.记为r.,虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及 其限制的条件所决定.它只是约束所容许的可能发生 而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无 关.它可以有多种不同的方向,它必须是微小量.,实位移是质点或质点系在力的作用下,在一定时间 间隔内实际发生的位移.它有确定的方向,它可以是微 小量,也可以是有限量.,17,例题14-6.铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如
11、图所示.画出点A的实位移和虚位移.,dr,d,r1,1,2,r2,在定常的几何约束的情形下 , 约束的性质与 时间无关 , 微小的实位移是虚位移之一.,18,r,r,对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时 间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时 间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.,dr,例题14-7.物块B搁置于三棱体A上,摩擦不计.画出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移.,19,1)几何法,在定常约束条件下 , 微小的实位移是虚位移之一.可 以用求实位移的方法来建立质点虚位移之间的关系.,I,1,rB,rA,2,2,例题19-5. 求图示机构A点和B点的虚位移
12、,解: 应用几何学求A点和B点的虚位移rA和 rB,OA杆作定轴转动,AB杆作平面运动 , I为瞬心,20,当然也可以取1 的转向为顺时针转向,画出虚位移图得出的 rA和 rB的表达式与转向为逆时针是一致的.,由(1)(2)式得:,21,2)解析法,利用广义坐标的概念,可以得到任意质点系中各质点 的虚位移表示为广义坐标的变分的关系式.即解析法.,解: xA=l1 cos yA=l1 sinxB=l1 cos +l2cosl1sin =l2sin,x,y,例题14-9.求图示机构A点和B点的虚位移.OA=l1 ;AB=l2 .,xA = -l1sin yA = l1cos ,22,rA = ix
13、A + jyA= l1(- i sin + j cos) ,rB= ixB =i (- l1sin ) + ctg tg ,l1cos = l2cos ,xB = -l1sin - l2sin ,可以证明用几何法和解析法所得的结果是一致的.,23,14-1-4虚功,1) 力作虚功W =Fr = Fxx + Fyy,2)力矩或力偶矩作虚功,W= MO(F) ,W= m ,例题14-10. 计算上图中力偶矩作的虚功解: W=M 1W= - M 2,W= MI(F) ,24,14-1-4.理想约束,以Ni表示质点系中质点Mi的约束反力的合 力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想 约束条件
14、可表示为,Ni ri = 0,(1)理想约束的定义,如果约束反力在质点系的任何虚位移中所 作元功之和等于零 , 则这种约束称为理想约束.,25,(2)光滑接触面,N,r,光滑接触面的约束反力恒垂直 于接触面的切面 , 而被约束质点的 虚位移总是沿着切面的 , 即N r,N,N,r,(3)连接两刚体的光滑铰链,设AB杆与BC杆在B点用光滑 铰链连接.由N = N 得,Nr + Nr = Nr - Nr = 0, Nr = 0,26,(4)连接两质点的无重刚杆,连接两质点的刚杆由于不 计自重为二力杆.设质点M1和M2的虚位移分别为 r1 与 r2 则有:,r1cos 1 = r2cos 2,N1r1 + N2r2= N1r1 cos 1 - N2r2 cos 2 = 0,M1,M2,r1,r2,N1,N2,1,2,
