1、2019/3/11离散数学,1,第八章 一些特殊的图,内容导读:二部图欧拉图 哈密顿图 平面图难点:各种图的判别定理,2019/3/11离散数学,2,2019/3/11离散数学,3,(1),(2),设无向图 G = 有两个V的子集V1,V2, 它们具有满足：V1V2= VV1V2= 图G中的每一边 e 均具有e = ( vi , vj )其中： vi V1 , vj V2则称G是一个二部图，,2019/3/11离散数学,4,定义8.1 若一个图G的结点集V能划分为两个子集V1和V2，使得G的每一条边vi,vj满足viV1, vjV2 , 则称G是一个二部图， V1和V2称为G的互补结点子集。此
2、时可将G记成 G = 若V1中任一结点与V2中每一结点均有边相连接, 则称二部图为完全二部图。若|V1|=n, |V2 |=m 则记完全二部图G为Kn, m。,(1),(2),K2,3,K3,3,2019/3/11离散数学,5,(1),(2),例 8.1 判断下列图是否是二部图？,v1,v3,v5,v2,v4,v6,v1,v4,v8,v5,v2,v3,v6,v7,v1,v2,v3,v4,v5,(3),在图 (1) 中, V1=v1, v3, v5, V2=v2, v4, v6, 是一个完全二部图。在图 (2) 中, V1=v1, v4, v8, v5, V2=v2, v3, v7, v6, 是
3、一个二部图。在图 (3) 中, 对于其中的顶点无法将它们分到两个不同的子集V1和 V2,使其边能满足二部图的定义, 所以它不是二部图。,二部图是不是 一定是连通图?,2019/3/11离散数学,6,(4),(5),定理8.1 一个无向图 G = 是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。下图所示前3个图中, 均无奇数长度的回路, 所以它们都是二部图, 其中图(2)所示为K2, 3, 图(3)所示为K3, 3, 它们分别与图(4)和(5)同构。,(1),(2),(3),2019/3/11离散数学,7,(1),(2),e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,
4、在图(1)中，e1, e1, e7 , e5, e4 , e6 等都是图中的匹配。在图(2)中找出匹配。,定义8.2 设 G = 为无向图, E*E, 若E*中任意两条边均不相邻, 则子集E*称为G中的匹配(或边独立集), 并把E*中的边所关联的两个结点称为在E*下是匹配的。,2019/3/11离散数学,8,(1),(2),e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,在图(1)中, e5, e1, e7 , e4 , e6 e3, e7 , e2, e6 是极大匹配，后4个是最大匹配，匹配数1 =2。,若在E*中再加入任何一条边就都不是匹配了, 则称E*
5、为极大匹配。边数最多的极大匹配称为最大匹配，最大匹配中的元素(边)的个数称为G的匹配数，记为1(G), 简记为1 。,2019/3/11离散数学,9,(2),e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,在图(2)中, e2, e5 , e3 , e6 ,e1 , e7 , e4 都是极大匹配, 其中e1, e7, e4 是最大匹配。,2019/3/11离散数学,10,(1),(2),e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,在图(1)中不存在完美匹配。在图(2)中, e1, e7, e4 是最大匹配，同时也是完美匹配。,今后常用M表示匹配，设M为G中一个
6、匹配，vV(G), 若存在M中的边与v关联，则称v为M饱和点，否则v为M非饱和点，若G中每个顶点都是饱和点，则称M为G中完美匹配。,2019/3/11离散数学,11,定义8.3 设 G = 为二部图, M为G中一个最大匹配, 若 |M| = min |V1|, |V2| , 则称M为G中的一个完备匹配, 此时若|V1| |V2|, 则称M为V1到 V2的一个完备匹配。如果|V1|= |V2| ,这时M为G中的完美匹配。,G1,G2,G3,在上图中, e1, e2 为G1中的最大匹配, G1中不存在完备匹配, 更无完美匹配。 G2中e1, e2 , e3为完备匹配, 但G2中无完美匹配。 G3中
7、e1,e2, e3为完备匹配, 同时也是完美匹配。,e1,e2,e1,e2,e3,e1,e2,e3,2019/3/11离散数学,12,例8.2 我们班级成立了 3 个运动队:篮球队、排球队和足球队。今有张、王、李、赵、陈5位同学，若已知张、王为篮球队员；张、李、赵为排球队员；李、赵、陈为足球队员，问能否从这5人中选出3名不兼职的队长？,解:构造二部图G=其中V1=篮球队,排球队,足球队, V2=张,王,李,赵,陈 图中的边分别表示这5位同学是相应球队的队员,图中存在V1到V2的匹配,因此题目要求可以满足。 如可选张为篮球队长,李为排球队长,陈为足球队长。,篮,排,足,张,王,李 赵 陈,V1,
8、V2,2019/3/11离散数学,13,篮,排,足,张,王,李 赵 陈,V1,V2,篮,排,足,张,王,李 赵 陈,V1,V2,篮,排,足,张,王,李 赵 陈,V1,V2,篮,排,足,张,王,李 赵 陈,V1,V2,剩下的匹配同学们自己找,2019/3/11离散数学,14,几个问题1 “一笔画”问题 2 “街道清扫车” 设某封闭式小区的路网结构如图所示，请证明能否设计出一条路线使得清洁车从小区大门出发清扫每条道路恰好一次，且在清扫完最后一条道路后正好返回小区大门处。 3 七桥问题,8.2 欧拉图,2019/3/11离散数学,15,在以下4个图中, 不能一笔画出图, , 而能一笔画出图, 且在中
9、笔又能回到出发点。,在中存在关联所有顶点的简单通路, 在中存在关联所有顶点的简单回路,2019/3/11离散数学,16,定义8.4通过图(无向图或有向图)中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。,规定：平凡图是欧拉图。,2019/3/11离散数学,17,例8.4 左下图既是欧拉回路，也是欧拉图而右下图则是欧拉通路,2019/3/11离散数学,18,推论无向图G是欧拉图 G是连通图，且G中没有奇度顶点。无向图G是半欧拉图 G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
10、,定理8.4 无向图G具有欧拉通路 G是连通图，且G中有零个或两个奇度顶点。若无奇度顶点，则通路为欧拉回路；若有两个奇度顶点，则它们是每条欧拉通路的端点。,2019/3/11离散数学,19,例 8.5 考察下图是否为欧拉图或存在欧拉通路？, 存在两个奇度顶点 根据定理8.4推论知不是欧拉图. 存在一条欧拉通路,2019/3/11离散数学,20,定理 8.5 有向图D具有欧拉通路 D 是连通的,且除了两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度。在这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。 推论 一个有向图D是欧拉图 D是连通的，且所有顶点的入度等于出度。 特别提醒：欧拉
11、回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，回到原处. 就是所谓的一笔画.,2019/3/11离散数学,21,例8.7 考察下图是欧拉通路或欧拉回路吗？,三个顶点的度出度与入度相同 是欧拉回路！ 沿着边e00, e01, e12, e22, e21, e10, e01, e12, e20回到出发点,2019/3/11离散数学,22,几个问题在一个大城市，有很多取款机，那么，如何制定出一个最优的路线，使运钞车过每个提款机一次就能运送完钱钞？货郎担问题旅行商人问题(Traveling Salesman Problem ,TSP)优化算法近似解演化算法,8.3 哈密顿图,2
12、019/3/11离散数学,23,几个问题1. 在一个大城市，有很多取款机，那么，如何制定出一个最优的路线，使运钞车过每个提款机一次就能运送完钱钞？货郎担问题旅行商人问题(TSP) 2. 考虑在七天内安排七门课程的考试，要求同一位教师所任教的两门课程考试不安排在接连的两天里，如果教师所担任的课程都不多于四门，则是否存在满足上述要求的考试安排方案？时间表问题 3. 国际象棋的跳马是否可以遍历其棋盘，即从任一格出发跳到每一格仅一次并最后回到出发的棋盘格子？ 4. 在一个至少有5人出席的圆桌会议上（会议需要举行多次），为达到充分交流的目的，会议主持者希望每次会议每人两侧的人均与前次不同，这是否可行？请
13、应用图论知识进行论证。 5. 周游世界问题,2019/3/11离散数学,24,哈密尔顿图,问题 1859年爱尔兰数学家威廉哈密尔顿（Sir William Hamilton）发明了一个小游戏玩具：一个木刻的正十二面体，每面系正五角形，三面交于一角，共有20个角，每角标有世界上一个重要城市。哈密尔顿提出一个问题：要求沿正十二面体的边寻找一条路通过20个城市，而每个城市只通过一次，最后返回原地。哈密尔顿将此问题称为周游世界问题。游戏) 求解抽象为图论问题哈密尔顿给出了肯定回答，该问题的解是存在的,哈密尔顿回路(圈)哈密尔顿图,运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为哈密尔顿图问题,Wil
14、liam Rowan Hamilton (1805-1865),2019/3/11离散数学,25,定义 8.5 经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图.具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图. 注:平凡图是哈密顿图。,8.3 哈密顿图,2019/3/11离散数学,26,例8.10 指出下列各图是否哈密顿图,有无哈密顿通路, 回路？ 解 (1) 容易判断, 存在哈密顿回路, 故是哈密顿图.(2) 只有哈密顿通路, 无哈密顿回路, 故不是哈密顿图.(3) 无哈密顿通路，显然不是
15、哈密顿图.,(1),(2),(3),2019/3/11离散数学,27,定理 8.6 必要条件设无向图G=是哈密顿图,对于任意V1 V 且V1 , 均有 p(G-V1)| V1 |,其中p(G-V1)为G中删除V1(删除V1中各顶点及关联的边)后所得图的连通分支数。 证: 设C为G中任意一条哈密顿回路。 若V1中的顶点在C上彼此相邻，则p(C- V1)=1 | V1 | 设V1中的顶点在C上存在 r( 2 r | V1 | )个互不相邻，则 p(C- V1)=r | V1 | 一般说来, V1中的顶点在C上既有相邻的,又有不相邻的,因而总有 p(C- V1) | V1 | ， 而C是G的生成子图
16、, p(G-V1) p(C-V1)| V1|,2019/3/11离散数学,28,v1,v2,v3,v4,V1=v1, v4 或V1=v2, v3,v5,若V1中的顶点在C上彼此相邻，则P(C- V1)=1 | V1 |,2019/3/11离散数学,29,e7,V1=v1, v2, v3 或 V1=v1, v4, v3,v1,v2,v3,v4,v5,设V1中的顶点在C上存在 r( 2 r | V1 | )个互不相邻，则 P(C- V1)=r | V1 |,2019/3/11离散数学,30,例 8.13 利用定理8.6可判断某些图不是哈密顿图 设下图为G1,取 V1=v,则P(G1-V1)=2 |
17、 V1 |=1G1-V1为图所示,由定理8.6可知G1不是哈密顿图,v,2019/3/11离散数学,31,定理 8.7 充分条件设 G 是 n (n3)阶无向简单图，若对 G中任意不相邻的顶点 vi,vj的度数之和大于等于n-1，即 d(vi)+d(vj)n-1 则G中存在哈密顿通路. 推论 设G为n(n 3)阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj)n 则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图。,2019/3/11离散数学,32,d(vi)+d(vj)n-1 存在哈密顿通路 d(vi)+d(vj)n 存在哈密顿回路,2019/3/11离散数学,33,(2
18、),(3),再如下图G 任意两个不相邻的顶点vi,vj d(vi)+d(vj)n-1 则G中存在哈密顿通路. d(vi)+d(vj)n 则G中存在哈密顿回路， 从而G为哈密顿图。,a,b,d,c,(1),(1)和(2),2019/3/11离散数学,34,定理 8.8在 n (n2)阶有向图 D=中，如果所有有向边均用无向边代替，所得无向图中含生成子图Kn,则有向图 D 中存在哈密顿通路. 推论 n(n 3)阶有向完全图G为哈密顿图。,2019/3/11离散数学,35,例 8.15 已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息a：说英语；b：说英语或西班牙语；c；说英语，意大利
19、语和俄语；d：说日语和西班牙语e：说德语和意大利语；f：说法语、日语和俄语；g：说法语和德语. 试问：上述7人中是否任意两人都能交谈？(可借助其余5人中组成的译员链帮助),2019/3/11离散数学,36,a,b,c,d,e,f,g,解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.,a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日
20、语和俄语； g：说法语和德语.,2019/3/11离散数学,37,a,b,c,d,e,f,g,如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与他身边的人交谈？ 解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能将同一种语言，够造出哈密顿图如右上图所示。,a：说英语； b：说英语或西班牙语； c；说英语，意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.,英,英,西,日,法,德,意,2019/3/11离散数学,38,对于平面图, 先举一例, 设有一个电路它有六个元件，三个分成一组，一个元件组的每个元件都用导线与另一组的每个元件相接，是
21、否有这样的接法使得导线互不交叉？这个问题可用左下图表示, 它的最少交叉点是一个，用右下图表示,8.4.平面图,2019/3/11离散数学,39,定义 8. 6 一个图G能画在平面上，除顶点之外，再没有边与边相交. 则称G为平面图。画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入或G的一个平面. 在下图中(2)是(1) (K4)的平面嵌入, 所以(1)是平面图, 单独看(2)也是平面图, 对于(3) (K5)无论怎样画法,也去不掉交叉边, 所以不是平面图。,(1),(2),(3),(4),2019/3/11离散数学,40,例 8.16 右下图是左下图的平面嵌入, 所以左下图是平面图, 单独看右下图也是平
22、面图。,2019/3/11离散数学,41,定义 8. 7 设G是一个连通的平面图, G的边将G所在的平面划分成若干个区域, 每个区域称为G的一个面。其中面积无限的区域称为无限面或外部面, 常记为R0, 面积有限的区域称为有限面或内部面。包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界, 边界的长度称为该面的次数, R次数记为deg(R)对于非连通的平面图G可以类似地定义它的面、边界及次数。,2019/3/11离散数学,42,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,R0,R1,R2,R1,R0,R2,( 1 ),( 2 ),在下图中, 图(1)所示为连通的平面图
23、, 共有3个面R0, R1, R2。 R1的边界为初级回路v1 v3 v4 v1 , deg(R1)=3。R2的边界为初级回路v1 v2 v3 v1 , deg(R2)=3。R0无限面, 它的边界为复杂回路 v1 v4 v5v6 v5 v4 v3 v2 v1 , deg(R0)=8。图(2)所示为非连通的平面图，有两个连通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。,2019/3/11离散数学,43,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,R0
24、,R1,R2,R1,R0,R2,( 1 ),( 2 ),定理 8.9 在一个平面图G中, 所有面的次数之和边数m的2倍，即 deg ( Ri ) = 2m在如下图所示：无论是连通的还是非连通的平面图，各面次数之和均等于边数的两倍。,i=1,r,其中r为面数,2019/3/11离散数学,44,定义 8.8 设G为一个平面图, 如果在G中任意不相邻的两个顶点之间再加一条边, 所得图为非平面图, 则称G为极大平面图。 例：,G,G,2019/3/11离散数学,45,定义 8.8 在非平面图G中任意删除一条边，所得图为平面图, 则称G为极小非平面图。 例：,G,G,2019/3/11离散数学,46,欧
25、拉公式： 定理 8.10 设G为任意的连通的平面图, 则有n m + r = 2成立。其中, n为G中的顶点数, m为边数, r为面数。(或 结点数与面数之和边数2) 定理中平面图的连通性条件是重要的。如下所示的平面图，n=7, m=7, r=3，欧拉公式不成立,则欧拉公式成立,2019/3/11离散数学,47,欧拉公式证明:,对边数m作数学归纳: 1. m=0,G为孤立点,n=1,r=1,结论成立 2. 设m=k-1(k=1)时结论成立,要证明m=k时结论成立. 若G为树,任取一树叶v并删除它,则G=G-v,则G连通,G中有n=n-1,m=m-1,r=r因此由归纳假设可得:n-m+r=2即: (n-1)-(m-1)+r=2 也就是:n-m+r=2.,连通而不含回路的 无向图称为无向树,2019/3/11离散数学,48,其次,若G不是树,则G中必有初级回路,设C为一初级回路,边e在C上,令G=G-e 因为e在C上,所以G仍连通,在G中,n=n,m=m-1,r=r-1,利用归纳假设可得 n-m+r=2,2019/3/11离散数学,49,Thank you very much!,
