1、辽阳市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. (2-)2-(1+3)=( )A. B. C. D. 2-7 2+ 4-7 4+【答案】A【解析】解： (2-)2-(1+3)=3-4-(1+3)=2-7故选：A直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2. 设集合 ， ，则 的元素个数为 =|20,蠅 0)图所示，则 ( )A. ，=1B. ，=2C. ，=1D. ，=2【答案】B【解析】解：由图象可知， ， ，12=1 4=1.5， ，=6又 ，故选：B结合图象可知， ， ，然后再由周期公式即可
2、求解12=1 4=1.5本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题6. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， ， ，=4 =9 =2则 =( )A. B. C. D. 6572 3136 78 6172【答案】D【解析】解： ， ， ，=9 =2，故选：D由已知利用正弦定理可求 ，根据余弦定理可求 的值2=36 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题7. 已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的() 0()=+1 ()值域为 ( )A. B. -2,2C. D. 【答案】A【解析】解：根据题意，当 时，
3、，则 ，0()=+1又由函数 为定义在 上的奇函数，则当 时，有 ，() 0的奇偶性分析可得答案本题考查函数的奇偶性的性质以及应用、函数的值域计算，涉及基本不等式的应用，属于基础题8. 正三棱锥 的侧棱两两垂直，D，E 分别为棱 PA，BC 的中点，则异面直线 PC 与-DE 所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D. 36 56 33 63【答案】D【解析】解：如图，设 ，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标=2系，则 0， ， 0， ， 2， ， 1， ，(0,2)(0,1)(0,0)(1,0)， ，则 异面直线 PC 与 DE 所成
4、角的余弦值为 63故选：D设 ，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标=2系，求出 的坐标，由数量积求夹角公式可得异面直线 PC 与 DE 所成角的余弦值本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题9. 展开式中 的系数为 (1+2-2)(1+)5 2 ( )A. 1 B. C. 31 D. -9 -19【答案】B【解析】解： 展开中第 项为 ，其 的系数，常数项， 的系数分别(1+)5 +1 2 3为 ， ， ，故 展开式中 的系数为 ，(1+2-2)(1+)5 2故选：B利用通项公式可得： 展开中第 项为 ，其 的系数
5、，常数项， 的系(1+)5 +1 2 3数分别为 ， ， ，进而得出答案本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10. 设 ， ，则 =30.4=23 ( )A. 且 B. 且0 +0 0C. 且 D. 且0 +1即 ， ；-11， +0故选：B容易得出 ， ，即得出 ， ，从而得出 ，-11 -11 0考查对数函数的单调性，以及增函数的定义11. 一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个， ，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 ，从这批排球中随机取=2.1两个，则至少有一个正品的概率 =( )A. B. C. D. 444
6、5 1415 79 1315【答案】B【解析】解：由题意知，随机变量 ，则方差 ，又 ，则 ，解得 ，=3所求的概率为 =1-23210=1415故选：B由题意知随机变量 ，根据方差 DX 求得 n 的值，再计算所求的概率值本题考查了离散型随机变量的方差计算问题，是基础题12. 已知函数 ，在 上的值域为 ，若 的最小,-3227,9 -值与最大值分别为 ， ，则 1 221=( )A. B. C. D. 731162 631162 731135 631135【答案】D【解析】解：函数 ，当时， ，()=-2(+2)，令 ，可得 ，()=-32-4 ()=0=-43当 时， 取得极小值为： 又
7、 ，可得=-43 () -3227. (-3)=9的图象如图：()由 ，可得 ；3+18=-3227 =-6-3281由 ，可得 故 ；-3+3=-3227 =1+3281. 1=-43+3=532=1+3281-(-6-3281)=63181则 21=631135故选：D利用分段函数，求出函数的导数，得到函数的极值，利用数形结合转化求解即可本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，考查计算能力二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 _【答案】 -2【解析】解：由向量的数量积公式得：，故答案为： -2由向量的数
8、量积公式： 运算即可本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题14. 若 ，则 _【答案】7【解析】解： ，故答案为：7由已知利用倍角公式求出 ，再由两角和的正切求解本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题15. 若椭圆 C： 上存在一点 P，使得 ，其中 ， 分别22+22=1(0) |1|=8|2| 1 2是 C 的左、右焦点，则 C 的离心率的取值范围为_【答案】79,1)【解析】解：椭圆 C： 上存在一点 P，使得 ，其中 ，22+22=1(0) |1|=8|2| 1分别是 C 的左、右焦点，2，可得： ，解得 所以椭圆的离心率为： 79,1)故答案为：
9、79,1)利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查16. 设 为一个圆柱上底面的中心，A 为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每1个点都在球 O 的表面上 若两个底面的面积之和为 ， 与底面所成角为 ，则球 O. 1的表面积为_【答案】 28蟺【解析】解：如图，设该圆柱底面半径为 r，高为 h，则 ，解得 ， ，=2 h=23则球 O 的半径 ，=2+(h2)2=7故球 O 的表面积为 故答案为： 28蟺由题意画出图形，设该圆柱底面半径为 r，高为 h，由圆柱的底面积求得圆柱底面半径，再由与底面所成角为 求得圆柱的高，进
10、一步求出球的半径得答案1本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题三、解答题（本大题共 7 小题）17. 设 为等差数列 的前 n 项和， ， 9=812+3=8求 的通项公式；(1)若 ， ， 成等比数列，求 (2)3 14 2【答案】解： 为等差数列 的前 n 项和， ， 9=812+3=8，解得 ， ，1=1 =2由 知， (2)(1)=(1+2-1)2 =2， ， 成等比数列， ，14即 ，解得 ，92=272 =9【解析】 由等差数列 的前 n 项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由(1) 此能求出 的通项公式推导出 由 ， ， 成等比数列，得
11、，从而求出 ，(2)=(1+2-1)2 =2. 3 14 92=272 =9由此能求出 2本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题18. 如图，在三棱锥 中， 平面 ABC， ，且- =证明：平面 平面 PAC；(1)设棱 AB，BC 的中点分别为 E，D，求平面 PAC 与平面 PDE 所成锐二面角的余弦(2)值【答案】证明： 平面 ABC， 平面 ABC， ， 平面 PAC，平面 PBC， 平面 平面 PAC解： 以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，(2)令 ，则 2， ， 0， ， 1， ，
12、=2 (0,2)(1,0)(1,0)则 1， ， ，0)设平面 PDE 的法向量为 y， ，)则 ，取 ，得 0， ，=2 1)平面 PAC 的一个法向量 0， ，0)则 平面 PAC 与平面 PDE 所成锐二面角的余弦值为 255【解析】 推导出 ， ，从而 平面 PAC，由此能证明平面 平面(1)PAC以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 PAC 与平面 PDE 所成锐(2)二面角的余弦值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19. 在直角坐标系 xOy 中直线
13、 与抛物线 C： 交于 A，B 两点，且=+4 2=2(0)求 C 的方程；(1)若 D 为直线 外一点，且 的外心 M 在 C 上，求 M 的坐标(2) =+4【答案】解： 设 ， ，联立 ，可得 ，(1)(1,1) (2,2) 2=2=+4 2-2-8=0则 ， ，1+2=212=-8从而 ，12=(1+4)(2+4)=12+4(1+2)+16=-8+8+16=16，解得 ，=2故 C 的方程为 ，2=4设线段 AB 的中点 ，(2) (0,0)由 可知 ， ，(1)0=12(1+2)=2 0=0+4=6则线段 AB 的中垂线方程为 ，即 ，-6=-(-2) =-+8联立 ，解得 或 ，2
14、=4=-+8 =-8=16 =4=4M 的坐标为 或 (4,4)(-8,16)【解析】 联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，(1)先求出线段 AB 的中垂线方程为 ，再联立方程组，解得即可(2) =-+8本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题20. 某工厂共有男女员工 500 人，现从中抽取 100 位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：每月完成合格产品的件数 单位：百件( )26,28)28,30)30,32)32,34)34,36频数 10 45 35 6 4男员工人数 7 23 18 1 1其中每月完成合格产品的件数不少于 3200 件的
15、员工被评为“生产能手”由以上统计数(1)据填写下面 列联表，并判断是否有 的把握认为“生产能手”与性别有关？95%非“生产能手” “生产能手” 合计男员工女员工合计 为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数(2)在定额 2600 件以内的，计件单价为 1 元；超出 件的部分，累进计件单价为 元；(0,200 1.2超出 件的部分，累进计件单价为 元；超出 400 件以上的部分，累进计件单(200,400 1.3价为 元，将这 4 段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取 1 人，女1.4员工中随机选取 2 人进行工资调查，没实得计件工资 实得计件工
16、资 定额计件工资( =超定额计件工资 不少于 3100 元的人数为 Z，求 Z 的分布列和数学期望+ )附： ，2= (-)2(+)(+)(+)(+)0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】解： 列联表：(1)非“生产能手” “生产能手” 合计男员工 48 2 50女员工 42 8 50合计 90 10 100有 的把握认为“生产能手”与性别有关95%当员工每月完成合格产品的件数为 3000 时，实得计件工资为(2)元从已知可得男员工实得计件工资不少于 3100 元的概率 ，女员工实得计件工资不少于1=253100 元的概率 1=12在该厂男员工中随机
17、选取 1 人，女员工中随机选取 2 人进行工资调查，实得计件工资不少于3100 元的人数为 ，1，2，3，=0，(=3)=220的分布列：Z 0 1 2 3P 320820720 220【解析】 求得 即可判定有 的(1) 95%把握认为“生产能手” 与性别有关可计算得当员工每月完成合格产品的件数为 3000 时，实得计件工资为 3100 元 从已知可(2) .得男员工实得计件工资不少于 3100 元的概率 ，女员工实得计件工资不少于 3100 元的1=25概率 可得 ，1，2，3，计算相应的概率即可1=12. =0本题考查了概率计算，随机变量的分布列、期望值，独立性检验，属于中档题21. 已
18、知函数 ()=122-(+1)+当 时，求 的单调递增区间；(1)1 ()证明：当 时， 有两个零点；(2)-120)当 时，由 ，解得： 或 ，1 ()0 0故 在 ， 递增；()(0,1)证明：当 时， 在 递增，在 递减，(2)-120 (2)=(-2+2)0或 ， ， ，(故 有 2 个零点；()证明： ，(3)()=12-1+，()=2+2(1-)22设 ，h()=2+2(1-)，故 在 递增，h()又 ， ，h(1)=1+20故 ， ，h()=0当 时， ，当 时， ，0 ()0故 且 ，0= 20+2=20，(0)=1220-(+1)0+1220+(0-1)(0-)， ，故 05
19、+52 =|2-5|5 1【解析】 由直线 l 的参数方程能求出直线 l 的直角坐标方程；由曲线 C 的参数方程能求出(1)曲线 C 的直角坐标方程曲线 C 是以 为圆心， 1 为半径的圆，圆心 到直线 l 的距离 ，由此利(2) (,2) (,2)=|2-5|5用分类讨论思想能判断 l 和 C 的位置关系本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23. 设函数 ()=|-|+|-4|当 时，求不等式 的解集；(1)=1 ()12故 a 的取值范围为 【解析】 求出 a 的值，求出 的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；(1) ()求出 的最小值，得到关于 a 的不等式，解出即可(2) ()本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
