1、2018-2019 学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 ， ，则 的元素个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】解： 集合 ， ，5，6， 的元素个数为 4故选：B利用交集定义先求出 ，由此能求出结果本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2. A. B. C. D. 【答案】A【解析】解： 故选：A直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3. 双曲线 的焦距为 A. B. 4 C. D. 12【答案】C【解析】解：
2、根据题意，双曲线 的标准方程为 ，其中 ，则 ，其焦距 ；故选：C根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得 a、b 的值，计算可得 c 的值，由焦距公式计算可得答案本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程4. 已知 为定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 A. 4 B. C. D. 【答案】C【解析】解：根据题意，当 时， ，则 ， ，又由函数为奇函数，则 ，则 ；故选：C根据题意，由函数的解析式可得 与 的值，结合函数的奇偶性可得 的值，计算的值即可得答案本题考查函数奇偶性的性质以及分段函数函数值的计算，属于基础题5. 设 x，y 满足约束条件 ，目标函数 ，则
3、A. z 的最大值为 3 B. z 的最大值为 2 C. z 的最小值为 3 D. z 的最小值为 2【答案】D【解析】解：由 作出可行域如图，联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 故选：D由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6. 已知函数 与 的部分图象如图所示，则 A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：由图象可知， ， ， ，又 ，故选：B结合图象可知， ， ，然后再由周期公式即
4、可求解本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题7. 函数 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】解： ，当 时， ；当 时， 故 ，故选：A求出函数的导数，根据函数的单调性求出 的最小值即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题8. 若 l，n 是两条不相同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是 A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】A【解析】解：A，两个平面平行，其中一个平面内的直线平行另一个平面，故 A 正确故选：AA，依两面平行的性质可知正确；B，C
5、，D 都缺少 的情况此题考查了线面平行，属容易题9. 已知 ，且 ，函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递减”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解： ，且 ， 函数 在 上单调递减又函数 在 上单调递减，则 ，且 ，解得 “ ”是“ 在 上单调递减”的充分不必要条件故选：A由 ，且 ，可得函数 在 上单调递减 又函数 在 上单调递减，可得 ，且 ，解得 a 范围即可判断出结论本题考查了复合函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 已知
6、 ， ，且，则 A. B. C. D. 【答案】D【解析】解： 中， ， ， 成等比数列，解得 或 ，故选：D利用等比数列的定义求得 ，及余弦定理可得 ，解得即可本题主要考查等比数列的定义，正弦定理余弦定理的应用，属于基础题11. 设 ， ，则 A. 且 B. 且C. 且 D. 且【答案】B【解析】解： ；又 ；即 ， ；， 故选：B容易得出 ， ，即得出 ， ，从而得出 ，考查对数函数的单调性，以及增函数的定义12. 设 为一个圆柱上底面的中心，A 为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球 O 的表面上，若两个底面的面积之和为 ， 与底面所成角为 ，则球O 的表面积为 A.
7、B. C. D. 【答案】B【解析】解：如图，设该圆柱底面半径为 r，高为 h，则 ，解得 ， ，则球 O 的半径 ，故球 O 的表面积为 故选：B由题意画出图形，设该圆柱底面半径为 r，高为 h，由圆柱的底面积求得圆柱底面半径，再由与底面所成角为 求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 _【答案】【解析】解：由向量的数量积公式得：，故答案为：由向量的数量积公式： 运算即可本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题14. 现有
8、两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为_【答案】【解析】解：现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则基本事件总数 ，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数 ，这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为 故答案为： 先求出基本事件总数 ，再求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数 ，由此能求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
9、15. 若 为锐角，则当 取得最小值时， _【答案】【解析】解： 为锐角，则当 ，当且仅当 即 时取得最小值 4，故答案为： 由已知可得， ，利用基本不等式可求 的最小值及满足条件的 ，然后由二倍角公式 可求本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础试题16. 若椭圆 C： 上存在一点 P，使得 ，其中 ， 分别是 C 的左、右焦点，则 C 的离心率的取值范围为_【答案】【解析】解：椭圆 C： 上存在一点 P，使得 ，其中 ，分别是 C 的左、右焦点，可得： ，解得 所以椭圆的离心率为： 故答案为： 利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可本
10、题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分）17. 设 为等差数列 的前 n 项和， ， 求 的通项公式；若 ， ， 成等比数列，求 【答案】解： 为等差数列 的前 n 项和， ， ，解得 ， ，由 知， ， ， 成等比数列， ，即 ，解得 ，【解析】 由等差数列 的前 n 项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 的通项公式推导出 由 ， ， 成等比数列，得 ，从而求出 ，由此能求出 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题18. 甲、乙
11、两人 这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值 y 关于年份 x 的线性回归方程，并据此估计乙在 2018 年年度体检的血压值附： ，【答案】解： 根据散点图知，甲的血压值波动更大些，甲这五年年度体检的血压值的平均值为，其方差为；计算 ， ，回归系数为 ，；y 关于 x 的线性回归方程为 ；当 时， ；估计乙在 2018 年年度体检的血压值为 118【解析】 根据散点图知甲的血压值波动更大些，计算甲的平均值和方差；计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程
12、求出 时 的值即可本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题19. 如图，在三棱锥 中， 平面 ABC，且， 证明： 为直角三角形；设 A 在平面 PBC 内的射影为 D，求四面体 ABCD 的体积【答案】证明： ， ，平面 ABC， ， 平面 PAB又 平面 PAB， ，故 为直角三角形解： 为线段 PB 的中点，证明如下：， 又 平面 PAB， ， 平面 PBC取 AB 的中点 H，则 平面 ABC， 的面积为 2，四面体 ABCD 的体积为 【解析】 推导出 ， ，从而 平面 PAB，进而 ，由此能证明为直角三角形为线段 PB 的中点，取 AB 的中点 H，则 平面 ABC，由此能求出四
13、面体 ABCD 的体积本题考查直角三角形的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20. 在直角坐标系 xOy 中直线 与抛物线 C： 交于 A，B 两点，且求 C 的方程；若 D 为直线 外一点，且 的外心 M 在 C 上，求 M 的坐标【答案】解： 设 ， ，联立 ，可得 ，则 ， ，从而 ，解得 ，故 C 的方程为 ，设线段 AB 的中点 ，由 可知 ， ，则线段 AB 的中垂线方程为 ，即 ，联立 ，解得 或 ，M 的坐标为 或 【解析】 联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，先求出线段 AB 的中垂线
14、方程为 ，再联立方程组，解得即可本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题21. 已知函数 求 的单调区间；若 ，证明： ；若 ，直线 与曲线 相切，证明： 参考数据： ，【答案】解： ，令 ，解得： ，则 在 递增，令 ，解得： ，则 在 递减；证明： ，故 ，则 0 是 的极小值点，由 知 ，则 ，设函数 ，则 ，设函数 ，则 ，易知 ，则 恒成立，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在 递减，在 递增，则 ，从而 ，即 ；证明：设切点为 ，当 时， ，则 ，则 ，即 ，设函数 ，则 递增，又 ， ，取 ，设 ，则 ，若 ，则 ， 递增，则 ，又 ，故 【解析】 求出函
15、数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出 的最小值，求出 a 的值，设函数 ，得到 恒成立，根据函数的单调性证明即可；代入 a 的值，得到 ，设函数 ，根据函数的单调性证明即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想以及不等式的证明，是一道综合题22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，曲线 C 的参数方程为为参数 求 l 和 C 的直角坐标方程；讨论 l 和 C 的位置关系【答案】解： 直线 l 的参数方程为 为参数 ，直线 l 的直角坐标方程为 曲线 C 的参数方程为 为参数 ，曲线 C 的直角坐标方程为 曲线 C 是以 为
16、圆心， 1 为半径的圆，圆心 到直线 l 的距离 ，当 时， ，l 和 C 相切；当 时， ，l 和 C 相交；当 或 时， ，l 和 C 相离【解析】 由直线 l 的参数方程能求出直线 l 的直角坐标方程；由曲线 C 的参数方程能求出曲线 C 的直角坐标方程曲线 C 是以 为圆心， 1 为半径的圆，圆心 到直线 l 的距离 ，由此利用分类讨论思想能判断 l 和 C 的位置关系本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23. 设函数 当 时，求不等式 的解集；若 ， ，求 a 的取值范围【答案】解： 当 时， ，故不等式 的解集为 ，则 ，解得 ，故 a 的取值范围为 【解析】 求出 a 的值，求出 的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；求出 的最小值，得到关于 a 的不等式，解出即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
