1、 圆过定点问题 班级_姓名_1已知定点 G（3，0） ，S 是圆 C：（X3） 2+y2=72（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与 SC 交于点 E设点 E 的轨迹为 M（1）求 M 的方程；（2）是否存在斜率为 1 的直线，使得直线与曲线 M 相交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由2在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：（x+1） 2+y2=1，圆 C2：（x3） 2+（y4） 2=1（）判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系；（）若动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长，则动圆 C 是否经过定点？若经
2、过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由3已知定点 A（2，0） ，B （2，0） ，及定点 F（1，0） ，定直线 l：x=4，不在 x 轴上的动点 M 到定点 F的距离是它到定直线 l 的距离的 倍，设点 M 的轨迹为 E，点 C 是轨迹 E 上的任一点，直线 AC 与 BC 分别交直线 l 与点 P，Q （1）求点 M 的轨迹 E 的方程；（2）试判断以线段 PQ 为直径的圆是否经过定点 F，并说明理由24如图，已知椭圆 C： +y2=1 的上、下顶点分别为 A、B ，点 P 在椭圆上，且异于点 A、B ，直线AP、BP 与直线 l：y= 2 分别交于点 M、N，（）设直线 AP、BP
3、的斜率分别为 k1、k 2，求证：k 1k2 为定值；（）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论5如图所示，已知圆 C：x 2+y2=r2（r0）上点 处切线的斜率为 ，圆 C 与 y 轴的交点分别为 A，B，与 x 轴正半轴的交点为 D，P 为圆 C 在第一象限内的任意一点，直线 BD 与 AP 相交于点M，直线 DP 与 y 轴相交于点 N（1）求圆 C 的方程；（2）试问：直线 MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由6二次函数 f（x）=3x 24x+c（x R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C（1）求实数
4、c 的取值范围；（2）求C 的方程；（3）问C 是否经过某定点（其坐标与 c 的取值无关）？请证明你的结论7如图，抛物线 M：y=x 2+bx（b0）与 x 轴交于 O，A 两点，交直线 l：y=x 于 O，B 两点，经过三点3O，A，B 作圆 C（I）求证：当 b 变化时，圆 C 的圆心在一条定直线上；（II）求证：圆 C 经过除原点外的一个定点；（III）是否存在这样的抛物线 M，使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径？8在平面直角坐标系 xoy 中，点 M 到两定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离之和为 4，设点 M 的轨迹是曲线 C（1）求曲线 C 的方程； （2）若直线
5、 l：y=kx+m 与曲线 C 相交于不同两点 A、B（A、B 不是曲线 C 和坐标轴的交点） ，以 AB 为直径的圆过点 D（2，0） ，试判断直线 l 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由9如图直线 l：y=kx+1 与椭圆 C1： 交于 A，C 两点，AC 在 x 轴两侧，B，D 是圆 C2： x2+y2=16 上的两点且 A 与 BC 与 D 的横坐标相同 ,纵坐标同号（I）求证：点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍，并计算|AB|CD|的取值范围；（II）试问直线 BD 是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由410已知 A（1，0） ，B （2，
6、0） ，动点 M（x，y）满足 = ，设动点 M 的轨迹为 C（1）求动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹 C 是什么图形；（2）求动点 M 与定点 B 连线的斜率的最小值；（3）设直线 l：y=x+m 交轨迹 C 于 P，Q 两点，是否存在以线段 PQ 为直径的圆经过 A？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，说明理由11已知定直线 l：x= 1，定点 F（1，0） ， P 经过 F 且与 l 相切（1）求 P 点的轨迹 C 的方程（2）是否存在定点 M，使经过该点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，并且以 AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出 M 点的坐标；若没有，请说明理由12已知动圆
7、 P 与圆 M：（x+1 ） 2+y2=16 相切，且经过 M 内的定点 N（1，0） （1）试求动圆的圆心 P 的轨迹 C 的方程；（2）设 O 是轨迹 C 上的任意一点（轨迹 C 与 x 轴的交点除外） ，试问在 x 轴上是否存在两定点 A，B，使得直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值（常数）？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B 的坐标；若不存在，请说明理由13已知在ABC 中，点 A、B 的坐标分别为（2，0）和（2，0） ，点 C 在 x 轴上方（）若点 C 的坐标为（2， 3） ，求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程；（）若ACB=45 ，求ABC 的外接
8、圆的方程；（）若在给定直线 y=x+t 上任取一点 P，从点 P 向（）中圆引一条切线，切点为 Q问是否存在一个定点 M，恒有 PM=PQ？请说明理由52015 年 03 月 12 日 yinyongxia100 的高中数学组卷参考答案与试题解析一填空题（共 1 小题）1已知定点 G（3，0） ，S 是圆 C：（X3） 2+y2=72（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与 SC 交于点 E设点 E 的轨迹为 M（1）求 M 的方程；（2）是否存在斜率为 1 的直线，使得直线与曲线 M 相交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由考
9、点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）由已知条件推导出点 E 的轨迹是以 G，C 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，由此能求出动点 E 的轨迹方程（2）假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）两点，其方程为 y=x+m，由，得 3x2+4mx+2m218=0由此能求出符合题意的直线 l 存在，所求的直线 l 的方程为 y=x或 y=x2 解答： 解：（1）由题知|EG|=|ES|，|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6 又 |GC|=6 ，点 E 的轨迹是以 G，C 为焦点，长轴长为 6
10、 的椭圆，动点 E 的轨迹方程为 =1（4 分）（2）假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）两点，其方程为 y=x+m，由 消去 y，化简得 3x2+4mx+2m218=0直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，=16m212（2m 218）0，化简得 m227，解得3 （6 分）x1+x2= ，x 1x2= 以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点，6 =0，所以 x1x2+y1y2=0（8 分）又 y1y2=（x 1+m） （x 2+m）=x 1x2+m（x 1+x2）+m 2，x1x2+y1y2=2x1x2+m（x 1+x2） +m
11、2= +m2=0，解得 m= （11 分）由于 （3 ，3 ） ，符合题意的直线 l 存在，所求的直线 l 的方程为 y=x 或 y=x2 （13 分）点评： 本题考查点的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用二解答题（共 12 小题）2在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：（x+1） 2+y2=1，圆 C2：（x3） 2+（y4） 2=1（）判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系；（）若动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长，则动圆 C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由考点： 直线和圆的方
12、程的应用菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： （）求出两圆的圆心距离，即可判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系；（）根据圆 C 同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论解答： 解：（）C1：（x+1） 2+y2=1 的圆心为（1，0） ，半径 r=1，圆 C2：（x 3） 2+（y4） 2=1 的圆心为（3，4） ，半径 R=1，则|C 1C2|= ，圆 C1 与圆 C2 的位置关系是相离（）设圆心 C（x，y） ，由题意得 CC1=CC2，即 ，整理得 x+y3=0，即圆心 C 在定直线 x+y3=0 上运动设 C（m，3m ） ，则动圆的半径 ，于是动圆 C 的方程为（x m） 2+（y3+
13、m ） 2=1+（m+1） 2+（3m） 2，整理得：x 2+y26y22m（x y+1）=07由 ，解得 或 ，即所求的定点坐标为（1 ，2 ） ， （1+ ，2+ ） 点评： 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力3已知定点 A（2，0） ，B （2，0） ，及定点 F（1，0） ，定直线 l：x=4，不在 x 轴上的动点 M 到定点 F 的距离是它到定直线 l 的距离的 倍，设点 M 的轨迹为 E，点 C 是轨迹 E 上的任一点，直线 AC 与 BC 分别交直线 l 与点P，Q（1）求点 M 的轨迹 E 的方程；（2）试判断以线段 PQ 为直径的圆
14、是否经过定点 F，并说明理由考点： 轨迹方程；圆的标准方程菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： （1）由椭圆的第二定义即可知道点 M 的轨迹 E 为椭圆；（2）设出椭圆上的点 C 的坐标，进而写出直线 AC、BC 的方程，分别求出点 P、Q 的坐标，只要判断kPFkQF=1 是否成立即可解答： 解：（1）由椭圆的第二定义可知：点 M 的轨迹 E 是以定点 F（1，0）为焦点，离心率 e= ，直线 l：x=4 为准线的椭圆（除去与 x 轴相交的两点） c=1， ， a=2，b 2=2212=3，8点 M 的轨迹为椭圆 E，其方程为 （除去（2，0） ） （2）以线段 PQ 为直径的圆经过定点 F
15、下面给出证明：如图所示：设 C（x 0，y 0） ， （ x02） ，则直线 AC 的方程为： ，令 x=4，则 yP= ， ， = ；直线 BC 的方程为： ，令 x=4，则 yQ= ， ， kQF= =kPFkQF= = ，点 C（x 0，y 0）在椭圆 上， ， =1，kPFkQF=1因此以线段 PQ 为直径的圆经过定点 F点评： 熟练掌握椭圆的定义、直线垂直与斜率的关系是解题的关键4如图，已知椭圆 C： +y2=1 的上、下顶点分别为 A、B ，点 P 在椭圆上，且异于点 A、B ，直线 AP、BP 与直线 l：y=2 分别交于点 M、 N，（）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1、
16、k 2，求证：k 1k2 为定值；（）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论考点： 椭圆的应用菁优网版权所有9专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）由椭圆方程求出两个顶点 A，B 的坐标，设出 P 点坐标，写出直线 AP、BP 的斜率 k1，k 2，结合 P的坐标适合椭圆方程可证结论；（）设出以 MN 为直径的圆上的动点 Q 的坐标，由 =0 列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标解答： （）证明：由题设椭圆 C： +y2=1 可知，点 A（0，1） ，B （0，1） 令 P（x 0，y 0） ，则由题设可知 x00直线 A
17、P 的斜率 k1= ，PB 的斜率为 k2= 又点 P 在椭圆上， +y02=1（x 01）从而有 k1k2= = ；（）解：以 MN 为直径的圆恒过定点（0， 2+2 ）或（0， 22 ） 事实上，设点 Q（x，y）是以 MN 为直径圆上的任意一点，则 =0，故有 +（y+2） （y+2 ）=0又 k1k2=以 MN 为直径圆的方程为 x2+（y+2） 212+ =0令 x=0，则（y+2） 2=12，解得 y=22 以 MN 为直径的圆恒过定点（0， 2+2 ）或（0， 22 ） 点评： 本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题
18、目5如图所示，已知圆 C：x 2+y2=r2（r0）上点 处切线的斜率为 ，圆 C 与 y 轴的交点分别为A，B，与 x 轴正半轴的交点为 D，P 为圆 C 在第一象限内的任意一点，直线 BD 与 AP 相交于点 M，直线 DP 与y 轴相交于点 N（1）求圆 C 的方程；（2）试问：直线 MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由10考点： 直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： （1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆 C 的方程；（2）根据条件求出直线 MN 的斜率，即可得到结论解答： 解：（1） ， 点 在圆 C：x 2+y2=r2 上
19、， 故圆 C 的方程为 x2+y2=4（2）设 P（x 0，y 0） ，则 x02+y02=4，直线 BD 的方程为 xy2=0，直线 AP 的方程为 y= +2联立方程组 ，得 M（ ， ） ，易得 N（0， ） ，kMN=2X = =，直线 MN 的方程为 y= x+ ，11化简得（yx） x0+（2x）y 0=2y2x（*）令 ，得 ，且（*）式恒成立，故直线 MN 经过定点（2，2） 点评： 本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力6二次函数 f（x）=3x 24x+c（x R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C（1）求实数 c
20、的取值范围；（2）求C 的方程；（3）问C 是否经过某定点（其坐标与 c 的取值无关）？请证明你的结论考点： 圆的标准方程；二次函数的性质；圆系方程菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： （1）令 x=0 求出 y 的值，确定出抛物线与 y 轴的交点坐标，令 f（x）=0，根据与 x 轴交点有两个得到 c不为 0 且根的判别式的值大于 0，即可求出 c 的范围；（2）设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，令 y=0 得，x 2+Dx+F=0，这与 x2 x+ =0 是同一个方程，求出 D，F令 x=0 得，y 2+Ey+F=0，此方程有一个根为 c，代入得出 E，由此求得圆 C
21、的一般方程；（3）圆 C 过定点（0， ）和（ ， ） ，证明：直接将点的坐标代入验证解答： 解：（1）令 x=0，得抛物线与 y 轴的交点（0，c） ，令 f（x）=3x 24x+c=0，由题意知：c0 且0，解得：c 且 c0；（2）设圆 C：x 2+y2+Dx+Ey+F=0，令 y=0，得到 x2+Dx+F=0，这与 x2 x+ =0 是一个方程，故 D= ，F= ；令 x=0，得到 y2+Ey+F=0，有一个根为 c，代入得：c 2+cE+ =0，解得：E= c ，则圆 C 方程为：x 2+y2 x（c+ ）y+ =0；（3）圆 C 必过定点（0， ）和（ ， ） ，理由为：由 x2+
22、y2 x（c+ ）y+ =0，令 y= ，解得：x=0 或 ，圆 C 必过定点（0， ）和（ ， ） 点评： 本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题7如图，抛物线 M：y=x 2+bx（b0）与 x 轴交于 O，A 两点，交直线 l：y=x 于 O，B 两点，经过三点 O，A ，B作圆 C12（I）求证：当 b 变化时，圆 C 的圆心在一条定直线上；（II）求证：圆 C 经过除原点外的一个定点；（III）是否存在这样的抛物线 M，使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径？考点： 圆与圆锥曲线的综合；圆的一般方程；抛物线的简单性质菁优网版
23、权所有专题： 计算题分析： （I）在方程 y=x2+bx 中令 y=0，y=x，易得 A，B 的坐标表示，设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0，利用条件得出 ，写出圆 C 的圆心坐标的关系式，从而说明当 b 变化时，圆 C 的圆心在定直线 y=x+1上（II）设圆 C 过定点（m，n） ，则 m2+n2+bm+（b2）n=0，它对任意 b0 恒成立，从而求出 m，n 的值，从而得出当 b 变化时， （I）中的圆 C 经过除原点外的一个定点坐标；（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的抛物线 M，使它的顶点与它对应的圆 C 的圆心之间的距离不大于圆 C 的半径，再利用不
24、等关系，求出 b，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在解答： 解：（I）在方程 y=x2+bx 中令 y=0，y=x，易得 A（ b，0） ，B（1 b，1b）设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0，则 ，故经过三点 O，A，B 的圆 C 的方程为 x2+y2+bx+（b2）y=0，设圆 C 的圆心坐标为（x 0，y 0） ，则 x0= ，y 0= ， y0=x0+1，这说明当 b 变化时， （I）中的圆 C 的圆心在定直线 y=x+1 上（II）设圆 C 过定点（m，n） ，则 m2+n2+bm+（b2）n=0，整理得（m+n）b+m 2+n22n=0，它对任意 b0 恒
25、成立， 或故当 b 变化时， （I）中的圆 C 经过除原点外的一个定点坐标为（1，1） （III）抛物线 M 的顶点坐标为（ ， ） ，若存在这样的抛物线 M，使它的顶点与它对应的圆 C 的圆心之间的距离不大于圆 C 的半径，13则| | ，整理得（b 22b） 20，因 b0，b=2 ，以上过程均可逆，故存在抛物线 M：y=x 2+2x，使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径点评： 本题考查了二次函数解析式的确定，圆的一般方程，抛物线的简单性质等知识点综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法8在平面直角坐标系 xoy 中，点 M 到两定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离之和为
26、 4，设点 M 的轨迹是曲线C（1）求曲线 C 的方程； （2）若直线 l：y=kx+m 与曲线 C 相交于不同两点 A、B（A、B 不是曲线 C 和坐标轴的交点） ，以 AB 为直径的圆过点 D（2，0） ，试判断直线 l 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由椭圆的定义可知，点 M 的轨迹 C 是以两定点 F1（ 1，0）和 F2（1，0）为焦点，长半轴长为 2 的椭圆，由此可得曲线 C 的方程； （2）直线 y=kx+m 代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以 AB 为
27、直径的圆过点 D（2，0） ，即可求得结论解答： 解：（1）设 M（x，y） ，由椭圆的定义可知，点 M 的轨迹 C 是以两定点 F1（1，0）和 F2（1，0）为焦点，长半轴长为 2 的椭圆短半轴长为 =曲线 C 的方程为 ； （2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则直线 y=kx+m 代入椭圆方程，消去 y 可得（3+4k 2）x 2+8mkx+4（m 23）=0x1+x2= ，x 1x2=y1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）=以 AB 为直径的圆过点 D（2，0） ，kADkBD=1y1y2+x1x22（x 1+x2）+4=07m2+16mk+4k2=014m
28、=2k 或 m= ，均满足=3+4k 2m20当 m=2k 时，l 的方程为 y=k（x2） ，直线过点（2，0） ，与已知矛盾；当 m= 时，l 的方程为 y=k（x ） ，直线过点（ ，0） ，直线 l 过定点，定点坐标为（ ，0） 点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题9 （2013温州二模）如图直线 l：y=kx+1 与椭圆 C1： 交于 A，C 两点，AC 在 x 轴两侧，B，D 是圆 C2：x 2+y2=16 上的两点且 A 与 BC 与 D 的横坐标相同纵坐标同号（I）求证：点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2
29、 倍，并计算|AB|CD|的取值范围；（II）试问直线 BD 是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式菁优网版权所有专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）设 A（x 1，y 1） ，B（x 1， y2） ，分别代入椭圆、圆的方程可得 ，消掉 x1 得，由 y1，y 2 同号得 y2=2y1，设 C（x 3，y 3） ，D（x 3，y 4） ，同理可得 y4=2y3，联立直线与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程，由 A、C 在 x 轴的两侧，得 y1y30，代入韦达定理可求得 k2 范围，而|AB|CD|=|y1|y
30、3|=|y1+y3|=|k（x 1+x3）+2| ，再由韦达定理及 k2 范围即可求得答案；（II）由斜率公式求出直线 BD 的斜率，由点斜式写出直线 BD 方程，再由点 A 在直线 l 上可得直线 BD方程，从而求得其所过定点解答： （I）证明：设 A（x 1，y 1） ，B （x 1，y 2） ，根据题意得： ，y1， y2 同号， y2=2y1，设 C（x 3，y 3） ，D（x 3，y 4） ，同理可得 y4=2y3，|AB|=|y1|，|CD|=|y 3|，由 （4k 2+1）x 2+8kx12=0，0 恒成立，15则 ， ，A、 C 在 x 轴的两侧， y1y30，（ kx1+1）
31、 （kx 3+1）=k 2x1x3+k（x 1+x3）+1= 0， ，|AB|CD|=|y1|y3|=|y1+y3|=|k（x 1+x3）+2|= （0， ） ；（II）解：直线 BD 的斜率 =2k，直线 BD 的方程为 y=2k（x x1）+2y 1=2kx2（kx 1y1） ，y1=kx1+1，直线 BD 的方程为 y=2kx+2，直线 BD 过定点（ 0，2） 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用到韦达定理，应熟练掌握10已知 A（1，0） ，B （2，0） ，动点 M（x，y）满足 = ，设动点 M 的轨迹为 C（1）求
32、动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹 C 是什么图形；（2）求动点 M 与定点 B 连线的斜率的最小值；（3）设直线 l：y=x+m 交轨迹 C 于 P，Q 两点，是否存在以线段 PQ 为直径的圆经过 A？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，说明理由考点： 轨迹方程；圆方程的综合应用菁优网版权所有专题： 综合题；探究型分析： 解：（1）先将条件化简即得动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹 C 是图形：轨迹 C 是以（2，0）为圆心，2为半径的圆（2）先设过点 B 的直线为 y=k（x 2） 利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得 k 的取值范围，从而得出动点 M 与定点 B 连线的斜率的最小值即可；
33、（3）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段 PQ 为直径的圆经过 A，再利用 PAQA，求出 m 的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在解答：解：（1）化简可得（x+2） 2+y2=4轨迹 C 是以（ 2，0）为圆心， 2 为半径的圆（3 分）（2）设过点 B 的直线为 y=k（x 2） 圆心到直线的距离 2 ，k min= （7 分）16（3）假设存在，联立方程 得 2x2+2（m+2）x+m 2=0设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）则 x1+x2=m2，x 1x2=PAQA，（x 1+1） （x 2+1）+y 1y2=（x 1+1） （x 2+1）+（x
34、 1+m） （x 2+m）=0，2x1x2+（m+1） （x 1+x2）+m 2+1=0 得 m23m1=0，且满足0 （12 分）点评： 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法本题是利用的直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程11已知定直线 l：x= 1，定点 F（1，0） ， P 经过 F 且与 l 相切（1）求 P 点的轨迹 C 的方程（2）是否存在定点 M，使经过该点
35、的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，并且以 AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出 M 点的坐标；若没有，请说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： （1）由已知得点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，由此能求出点 P 的轨迹 C 的方程（2）设 AB 的方程为 x=my+n，代入抛物线方程整理，得：y 24my4n=0，由此利用韦达定理、直径性质能求出直线 AB：x=my+4 恒过 M（4，0）点解答： 解：（1）由题设知点 P 到点 F 的距离与点 P 到直线 l 的距离相等，点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点，l 为准线的抛物
36、线，点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x（2）设 AB 的方程为 x=my+n，代入抛物线方程整理，得：y24my4n=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，以 AB 为直径的圆过原点，OAOB，y1y2+x1x2=0， ，y1y2=16，4n=16，解得 n=4，直线 AB：x=my+4 恒过 M（ 4，0）点点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用1712已知动圆 P 与圆 M：（x+1 ） 2+y2=16 相切，且经过 M 内的定点 N（1，0） （1）试求动圆的圆心 P 的
37、轨迹 C 的方程；（2）设 O 是轨迹 C 上的任意一点（轨迹 C 与 x 轴的交点除外） ，试问在 x 轴上是否存在两定点 A，B，使得直线OA 与 OB 的斜率之积为定值（常数）？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点 A、B 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 圆方程的综合应用；圆与圆的位置关系及其判定菁优网版权所有分析： （1）利用动圆 P 与定圆（x1） 2+y2=16 相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程；（2）先设任意一点以及 A、 B 的坐标，k QAkQB=k（常数） ，根据轨迹方程列出关于 k、s、t 的方程，并求出 k、s、t 的值，即可求出
38、结果解答： 解：（1）由题意，两圆相内切，故，|PM|=4|PN|，即|PM|+|PN|=4又 MN=24动圆的圆心 P 的轨迹为以 M、N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆动点 P 的轨迹方程为 （2）设点 Q（x 0，y 0） ，则 ，x 02设 A（s，0） ，B（t，0） ，k QAkQB=k（常数）kQAkQB=整理得（4k+3）x 024k（s+t ）x 0+4（kst 3）=0由题意，上面的方程对（2， 2）内的一切 x0 均成立4k+3=0，4k（ s+t）=0 且 4（kst 3）=0解得 k= ，s=2，t= 2，或 s=2，t=2在 x 轴上只存在两定点 A（ 2，0） 、B
39、 （2，0）使得直线 QA 与 QB 的斜率之积为定值 点评： 题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度13 （2010盐城二模）已知在 ABC 中，点 A、B 的坐标分别为（ 2，0）和（2，0） ，点 C 在 x 轴上方（）若点 C 的坐标为（2， 3） ，求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程；（）若ACB=45 ，求ABC 的外接圆的方程；（）若在给定直线 y=x+t 上任取一点 P，从点 P 向（）中圆引一条切线，切点为 Q问是否存在一个定点M，恒有 PM=PQ？请说明理由考点： 椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线和圆的方程
40、的应用菁优网版权所有专题： 计算题；存在型分析： （）根据椭圆的定义和 AC，BC 求得椭圆的长轴，进而根据 c 求得 b，则椭圆的方程可得18（）先用正弦定理可知 =2R，进而求得 R，设出圆心坐标，根据勾股定理求的 s，则外接圆的方程可得（）假设存在这样的点 M（m ，n） ，设点 P 的坐标，进而根据 PM=PQ，求得关于 x 的方程，进而列出方程组，消去 m，得到关于 n 的一元二次方程，分别讨论当判别式大于 0 或小于等于 0 时的情况解答： 解：（）因为 AC=5，BC=3，所以椭圆的长轴长 2a=AC+BC=8，又 c=2，所以 b=2 ，故所求椭圆的方程为（）因为 =2R，所以
41、 2R=4 ，即 R=2又圆心在 AB 的垂直平分线上，故可设圆心为（0，s） （s0） ，则由 4+S2=8，所以ABC 的外接圆的方程为 x2+（y2） 2=8（）假设存在这样的点 M（m ，n） ，设点 P 的坐标为（ x，x+t ） ，因为恒有 PM=PQ，所以（xm ）2+（x+t n） 2=x2+（x+t 2） 28，即（2m+2n4）x（m 2+n22nt+4t+4）=0，对 xR，恒成立，从而 ，消去 m，得 n2（t+2）n+（2t+4）=0因为方程判别式=t 24t12，所以当 2t6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点 M当 t6 或 t2 时，因为方程有实数解，且此时直线 y=x+t 与圆相离或相切，故此时这样的点 M 存在点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系考查了学生综合分析问题的能力
