1、灰色模型,研究组员： 孙秀华 09060722施更俊 09060721王刚 09060723王琰 09060724吴凯 09060726叶加彬 09060729,目录,一、灰色模型的概述 二、灰色模型建模 三、例题,灰色系统理论及起源,1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。 灰色系统模型对实验观测数据没有什么特殊的要求和限制，因此应用领域
2、十分宽广。,不确定性方法的比较,概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。例：年轻人 概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据
3、建模”，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。例如：总人口控制在15亿到16亿之间。,三种不确定性系统研究方法的比较分析,灰色系统理论的研究与应用,灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。,灰色系统的模型,通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。1. 数据的
4、预处理首先我们从一个简单例子来考察问题.【例】 设原始数据序列,对数据累加,于是得到一个新数据序列,归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.显然有,可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐 递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成 数列,将上述例子中的,分别做成图7.1，图7.2.,图7.2,图7.1,为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算 或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中,归纳上面的式子得到如下结果：一次后减,其中,2. 建模原理 给定观测数据列经一次累加得,
5、设 满足一阶常微分方程,（7.1）,（7.2）,（7.3）,其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对系统的常定输入.此方程满足初始条件,的解为,(7.3),对等间隔取样的离散值 （注意到 ）则为,(7.4),灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来 估计常数a与u.,因,留作初值用，故将,用差分代替微分，又因等间隔取样，,分别代入方程(7.3),类似地有,于是，由式（7.3）有,故得：,由于,涉及到累加列,的两个时刻的值，因此，,取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将,替换为,把,项移到右边，并写成向量的数量积形式,(7.5),将（7.5）写为矩阵表达式,令,这里，T表示
6、转置.令,(7.6),则(7.6)式的矩阵形式为,方程组(7.6)，用最小二乘法估计为,(7.6),(7.7),把估计值,代入（7.4）式得时间响应方程,由(7.8)式算得的,是拟合值；,为预报值.这是,的拟合值，用后减运算还原，,就可得原始序列,的拟合值,可得原始序列,预报值.,(7.8),相对于一次累加序列,3.精度检验(1)残差检验：分别计算,（3）预测精度等级对照表，见表7.1.,由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目
7、的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理. 注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（7.3）.,4.GM(1,1)的建模步骤综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：,例题 销售额预测,随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋势. 因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。,【例】 表7.2 列出了某公司19992003年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。,表7.2 逐年销售额（百万元）,【例
8、】 表7.2列出了某公司19992003年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。,解（1）由原始数据列计算一次累加序列 结果见表7.3.表7.3 一次累加数据,（2）建立矩阵：,谢谢观赏！ 有不足之处，请老师和同学指正。若有疑问之处，请课后交流！,问题的提出:,已知一组实验数,求它们的近似函数关系 yf(x) .,需要解决两个问题:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,最小二乘法,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差
9、的绝对,来确定近似函数 f (x) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的,方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式 ., 它们大体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b,令,满足:,使,得,解此线性方程组 即得 a, b,称为法方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀,具的厚度, 得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解: 通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得法方程组,解得,故所求经验公式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏差平方和为,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏差平方和为,
