1、- 1 -考点 4.6 临界与极值问题考点 4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题1、圆的“放缩”当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度 v 大小或磁场的强弱 B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 r 随之变化在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件如图所示，粒子进入长方形边界 OABC 形成的临界情景为和.1. （多选）如图所示，左、右边界分别为 PP、QQ的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里.一个质量为 m、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度 v0 垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界 QQ射出，粒
2、子入射速度 v0 的最大值可能是( )A. B. C. D.Bqdm (2 r(2)Bqdm (2 r(2)Bqdm 2Bqd2m2. (2016全国卷，18)平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30，其横截面(纸面) 如图所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q0)。粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为( )A. B. C
3、. D.mv2qB 3mvqB 2mvqB 4mvqB3. （多选）长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为 B，板间距离也为 L，板不带电，现有质量为 m，电荷量为 q 的带正电粒子 (不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A、使粒子的速度 vBqL4m 5BqL4m- 2 -C、使粒子的速度 v D、使粒子速度 vBqLm BqL4m 5BqL4m4. 如图所示，边长为 L 的正方形 ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为 B 的匀强磁场，一质量为 m、带电荷量为q 的
4、粒子从 AB 边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与 AB 边的夹角为 30.若要求该粒子不从 AD 边射出磁场，则其速度大小应满足( )Av Bv Cv Dv2qBLm 2qBLm qBLm qBLm5. 如图所示，条形区域 AA、BB中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AA、BB为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为 d.一束带正电的某种粒子从 AA上的 O 点以大小不同的速度沿着 AA成 60角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值 v0 时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值 t0；当粒子速度为 v1 时，刚好垂直边界 BB射出磁场不计粒子所受重
5、力求：(1) 粒子的比荷 ；qm(2) 带电粒子的速度 v0 和 v1.6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为 r 和 2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.圆心 O 处有一放射源，放出粒子的质量为 m，带电荷量为 q，假设粒子速度方向都和纸面平行(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为 60，要想使该粒子经过磁场第一次通过 A 点，则初速度的大小是多少？(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？- 3 -7. 如图所示，M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值静止的带
6、电粒子带电荷量为q，质量为 m(不计重力)，从点 P 经电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角为 45，孔 Q 到板的下端 C 的距离为 L，当 M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，求：(1) 两板间电压的最大值 Um；(2) CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 x；(3) 粒子在磁场中运动的最长时间 tm.8. 如图所示，OP 曲线的方程为： y=10.4 (x,y 单位均为 m)，在 OPM 区域存在水6.25-x平向右的匀强电场，场强大小 E1=200N/C
7、(设为 I 区) ，PQ 右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B=0.1T(设为区) ，与 x 轴平行的刚上方( 包括 PN 存在竖直向上的匀强电场，场强大小 E2=100NC(设为区)，PN 的上方 h=3.125m 处有一足够长的紧靠y 轴水平放置的荧光屏 AB，OM 的长度为a=6.25m。今在曲线 OP 上同时由静止释放质量m=1.610-25 kg，电荷量 e=1.610-19C 的带正电的粒子 2000 个(在 OP 上按 x 均匀分布 )。不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，求： (1) 粒子进入区的最大速度值；(2) 粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在
8、荧光屏上的粒子数；(3) 粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。 - 4 -考点 4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题2定圆“旋转”当带电粒子射入磁场时的速率 v 大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 r 是确定的在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景【例题】如图所示，在 0x a 区域内存在与 xy 平3面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.在 t0时刻，一位于坐标原点的粒子源在 xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 y 轴正方向的夹角分布在
9、0180 范围内已知沿 y 轴正方向发射的粒子在 tt 0 时刻刚好从磁场边界上 P( a，a )点离开磁场求：3、粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 及粒子的比荷 q/m；、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y 轴正方向夹角的取值范围；、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间- 5 -9. （多选）如图所示，在 0xb、0y a 的长方形区域中有一磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，磁场的方向垂直于 xOy 平面向外。O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为 T，
10、最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为 ，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为 。不计粒子的重力及粒子间的相T12 T4互作用，则( )A 粒子射入磁场的速度大小 v2qBamB 粒子圆周运动的半径 r2aC 长方形区域的边长满足关系 1ba 3D 长方形区域的边长满足关系 2ba10. 如图所示，在屏 MN 的上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里P为屏上的一个小孔PC 与 MN 垂直一群质量为 m、带电量为q 的粒子(不计重力) ，以相同的速率 v，从 P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域粒子入射方向在与磁场 B垂直的平面内，且散开在与 PC 夹角为 的范围内则在屏 MN
11、上被粒子打中的区域的长度为( )A B. 2mvqB 2mvcos qBB D. 2mv(1 sin )qB 2mv(1 cos )qB11. (多选) 如图，一粒子发射源 P 位于足够大绝缘板 AB 的上方 d 处，能够在纸面内向各个方向发射速率为 v、电荷量为 q、质量为 m 的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为 d，则( BC )A 能打在板上的区域长度是 2dB 能打在板上的区域长度是( 1) d3- 6 -C 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为7d6vD 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间
12、差为qd6mv12. 如图所示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界 OA 上有一粒子源 S.某一时刻，粒子源 S 向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界 OC 射出磁场已知AOC60 ，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于 (T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界 OC 射出的粒T6子在磁场中运动的最长时间为( )A. B. C. D.T3 T2 2T3 5T313. （多选）如图所示，宽 d = 2cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的
13、方向垂直纸面向内现有一群带正电的粒子从 O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为 r = 5cm，则 （ ）A 右边界：-4cmy 4cm 的范围内有粒子射出B 右边界：y4cm 和 y-4cm 的范围内有粒子射出C 左边界：y8cm 的范围内有粒子射出D 左边界：0y8cm 的范围内有粒子射出14. 如图所示，半径为 R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率 v 从 P 点射入磁场这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ 圆弧上，PQ 圆弧长等于磁场边界周长
14、的 .不计粒子重力和粒子间13的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( )A. B. C. D.3mv2qR mvqR 3mvqR 23mv3qR15. （多选）如图所示，O 点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为 q 的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在 xOy 平面内在直线 xa 与 x2a 之间存在垂直于 xOy 平面向外的磁感应强度为 B 的匀强磁场，与 y 轴正方向成 60角发射的- 7 -粒子恰好垂直于磁场右边界射出不计粒子的重力和粒子间的相互作用力关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( ) A 粒子的速度大小为 B、粒子的速度大小为2aBqm aBqmC
15、、与 y 轴正方向成 120角射出的粒子在磁场中运动的时间最长D、与 y 轴正方向成 90角射出的粒子在磁场中运动的时间最长16. 如图所示，在矩形区域 abcd 内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.在 ad 边中点 O 的粒子源，在 t0 时刻垂直于磁场 发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 Od 的夹角分布在 0180范围内已知沿 Od 方向发射的粒子在tt 0 时刻刚好从磁场边界 cd 上的 P 点离开磁场，ab1.5 L，bc L，粒子在磁场中做3圆周运动的半径 RL，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：(1) 粒子在磁场中的运动周期 T；(2) 粒
16、子的比荷；(3) 粒子在磁场中运动的最长时间17. 如图所示，在 xOy 坐标系坐标原点 O 处有一点状的放射源，它向 xOy 平面内的 x 轴上方各个方向发射 粒子， 粒子的速度大小均为 v0，在 0yd 的区域内分布有指向 y轴正方向的匀强电场，场强大小为 ，其中 q 与 m 分别为 粒子的电量和质量；203Ed在 dy2d 的区域内分布有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场， mn 为电场和磁场的边界ab 为一块很大的平面感光板垂直于 xOy 平面且平行于 x 轴，放置于 y=2d 处，如图所示观察发现此时恰好无粒子打到 ab 板上（不考虑 粒子的重力及粒子间的相互作用），求：（1） 粒子
17、通过电场和磁场边界 mn 时的速度大小及距 y 轴的最大距离;（2） 磁感应强度 B 的大小；- 8 -（3） 将 ab 板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时 ab 板上被 粒子打中的区域的长度考点 4.6.3 最小磁场区域求解问题18. 一带电粒子，质量为 m、电荷量为 q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第象限所示的区域(下图所示 )为了使该粒子能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 xOy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不
18、计19. 在如图所示的平面直角坐标系 xOy 中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于 xOy 平面，O 点为该圆形区域边界上的一点现有一质量为 m、带电荷量为q 的带电粒子(不计重力)从 O 点以初速度 v0 沿 x 轴正方向进入磁场，已知粒子经过 y 轴上 P 点时速度方向与 y 轴正方向夹角为 30 ， OPL，求：(1) 磁感应强度的大小和方向；(2) 该圆形磁场区域的最小面积- 9 -20. 如图所示，MN 为绝缘板，CD 为板上两个小孔，AO 为 CD 的中垂线，在 MN 的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为 m 电荷量为 q 的粒子（不计重力
19、）以某一速度从 A 点平行于 MN 的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向 O 点），已知图中虚线圆弧的半径为 R，其所在处场强大小为 E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔 C 垂直于 MN 进入下方磁场（1） 求粒子运动的速度大小；（2） 粒子在磁场中运动，与 MN 板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔 D 进入 MN 上方的一个三角形匀强磁场，从 A 点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN 上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？（3） 粒子从 A 点出发后，第一次回到 A点所经过的总时间为多少？- 10 -21.
20、电子对湮灭是指电子“e ”和正电子“e +”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET ）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础如图所示，在平面直角坐标系 xOy 上，P 点在 x 轴上，且 =2L，Q 点在负 y 轴上某处在第象限内有平行于 y 轴的匀强电场，在第象限内有一圆形区域，与 x、y 轴分别相切于A、C 两点， =L，在第象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于 xOy 平面向里一束速度大小为v0 的电子束从 A 点沿 y 轴正方向射入磁场，经 C 点射入电场，最后从 P 点射出电场区域；另
21、一束速度大小为 的正电子束从 Q 点沿与 y 轴正向成 45角的方向射入第象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达 P 点，且恰好与从 P 点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反已知正负电子质量均为 m、电量均为 e，电子的重力不计求：（1） 圆形区域内匀强磁场磁感应强度 B 的大小和第象限内匀强电场的场强 E 的大小；（2） 电子子从 A 点运动到 P 点所用的时间；（3） Q 点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积 S- 11 -22. 如图所示的直角坐标系中，在直线 x=2l 0 到 y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中 x 轴上方的电场
22、方向沿 y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。在电场左边界上 A（2l 0，l 0）到 C（2l 0，0）区域内，连续分布着电量为q、质量为 m 的粒子从某时刻起由 A 点到 C 点间的粒子，依次连续以相同的速度 v0沿 x 轴正方向射入电场若从 A 点射入的粒子，恰好从 y 轴上的 A（0，l 0）沿 x 轴正方向射出电场，其轨迹如图不计粒子的重力及它们间的相互作用求匀强电场的电场强度 E；求在 AC 间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿 x 轴正方向运动？若以直线 x=2l0 上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，使沿 x 轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线 x=2l0 与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度 B是多大？
