1、1例题 4.1：已知理想材料的变形体内某质点的应力状态，如下图所示，其中（屈服应力） 。试分别采用 Tresca、Mises 和双剪应力屈服准则判别该点的变形状s态。解：由题图可见，三种应力状态均已转化为主应力状态。于是可直接由图获得三个主应力值，然后再按三个屈服准则分别进行计算和判别。（1） 23,根据 Tresca 准则， ，表明该点已发生塑性屈服；1s根据 Mises 准则，等效应力 ，所222131s() 以也表明该点达到了塑性屈服状态；根据双剪应力准则，式（4-16） ，取 ，则较大的两个主剪应力为：b131322s 因此屈服函数为： ，表明该点发生塑性屈服。1sf（2） 1230.
2、5,0.5根据 Tresca 准则， ，表明该点已发生塑性屈服；1s根据 Mises 准则，等效应力 ，222131s() 表明，该点已发生塑性屈服；根据双剪应力准则，式（4-16） ，取 ，则较大的两个主剪应力为：b131322s 因此屈服函数为： ，表明该点发生塑性屈服。1sf（3） 123,.5,根据 Tresca 准则， ，表明该点已发生塑性屈服；13s0.5例 4.1（1）图 例 4.1（3）图1.5例 4.1（2）图0.50.50.52按 Mises 准则，等效应力 ，222131s3() 表明，该点尚未发生塑性屈服，仍处于弹性变形状态；根据双剪应力准则，式（4-16） ，取 ，则
3、较大的两个主剪应力为：b12132,4s s 因此屈服函数为： ，表明该点尚处于弹性变形状态。13sf补充分析：（1）比较本例题的第一、二小题可见，在例 4.1（1）图中的三向压应力状态下，只有当单一方向的主应力值超过材料的屈服强度，材料才可能发生塑性屈服；而在例 4.1（2）图中，当质点处于两压一拉的主应力状态时（ 代数值较大） ，尽管单一方向的主应力值m未达到材料的屈服强度，材料也可能发生塑性屈服。（2）比较三个小题的判别结果可见，在一些特殊应力状态下（如前两小题均有两个主应力分量相等） ，三种屈服准则的判别是一致的，但在一般情况下（如第三小题的三个主应力分量均不相等） ，三个准则的判别出
4、现不一致的结果。此时，一般按 Mises 准则判别。（3）在该例题中，若三个主应力相等，则该质点永远也不可能达到塑性屈服状态；（4）在例 4.1（2）图中，若 ，则根据 Tresca 屈服准则，123,0.5；按 Mises 屈服准则，等效应力 ，表明，对于无应变13.5ss2硬化的理想材料，该应力状态不存在。例题 4.2：在 Oxyz 直角坐标系中，已知变形体内某点的应力张量（各分量单位为MPa）：若该材料理想弹塑性材料，其屈服强度 ，试分别采用 Tresca、Mises 和双剪应s10MPa力屈服准则判别该点的变形状态。解：采用 Mises 屈服准则判别时，可直接引用式（4-8）： 222
5、 21() 67147(4)0136960531)2xyyzzxxyzxMPa 表明，该点尚未发生塑性屈服，仍处于弹性变形阶段。（i,j=x,y,z）740ij3若采用 Tresca 屈服准则判别，则必须先求解主应力。由题中应力分量的特征可以见，由于 ，因此很容易判断， 就是其中的一个主应力分量。另外0yzx z4MPa两个主应力分量就可以直接应用 Oxy 平面内主应力的求解公式（计算过程略） 。计算结果按 的顺序排列，得到： 。根据 Tresca123123,9Pa准则， ，表明该点已发生塑性屈服。0sMPa求出主应力后，若需要采用 Mises 屈服准则判别，也可以引用式（4-8a）：222
6、131()4953()sMPa 表明该点处于弹性变形阶段。根据双剪应力准则，按式（4-16） ，取 b=1，则较大的两个主剪应力为：12132,4s s 因此屈服函数为： 132sfb表明该点尚处于弹性变形状态。例题 4.3：如图所示为理想材料变形体内某质点的主应力状态示意图（图中 ） 。0若已知受力材料的屈服强度 ，试采用 Mises 屈服准则判别，当 达到多少30MPas时，该点材料开始发生塑性变形？求主应力方向的塑性应变增量之比，并判断塑性变形的类型。解：由图可得： 123,根据 Mises 屈服准则：当 时材料开始发生塑性变形，即：s2221312()()()1830MPa所以，当 时
7、，该点发生塑性屈服。例题 4.3 图2432321m由增量理论可得： )1:(2: )(:)(:)(321 3231pp mmmd 可见，该点的塑性变形是一种延伸类型的变形。例题 4.4：已知理想材料变形体内某些质点已达到塑性屈服状态，其主应力如下表所示（其中 为非负应力参数） 。试求该点的塑性应变之比 。123:pp质点序号 1 2 3 4 5 6 710 0 0 20 0 030 20 0m0 132132123:pp1：0： -1 1：0： -1 1：0： -1 2：-1：-12：-1：-11:1：-2 1：1： -2补充分析：（1）由计算结果可见，尽管 1，2，3 质点属于三种不同的平
8、面应力状态，但塑性主应变状态相同；（2）比较质点 1 和 7、3 和 5，可见，虽然主应力状态相同，但主应力分量大小发生改变时，主应变状态截然不同；（3）对于单向主应力状态（如质点 4和 6） ，只可能对应一种主应变状态。 （4）如前所述，根据塑性变形体积不变的原理可以推断，塑性变形只有三种主应变状态，如本题中 1，2，3 质点的塑性主应变状态被称为平面变形，4 和 5 质点的应变状态称为延伸变形，6 和 7 质点的应变状态称为压缩变形。例题 4.5：已知直径为 r=200mm，壁厚为 t=4mm 的薄壁球承受内压 p=20N/mm2 的作用，如果材料是不可压缩的，应力应变关系为 。试求材料进
9、入塑性状态时0.52/Nm直径的变化量。解：承受内压的球壳体，其应力分量为： ,0,rijpt于是可得等效应力： 22221()()()6()2r rrrprt根据 Levy-Mises 增量理论，式（4-27 ） ，有：()2rrdd d 5对上式积分可得： 0lnrt而 0lr由体积不变条件 可得：r2r因此球壳厚度和半径分别为：001exp(),exp()tr将具体数据代入后可得： 25/2Nmt由题可知 0. 因此 故有 00 01exp()exp(.52)1.32rrr因此直径增长量为 .36m习 题1设 为应力张量的第一和第二不变量，试用 表示 Mises 屈服准则。2,I 12,
10、I2写出 Tresca 和 Mises 屈服准则的主应力表达式，并作出两向主应力状态下 Tresca 和 Mises 准则的屈服轨迹(设 )，并从屈服轨迹图上说明在哪些情况下，两种屈服准03则一致；在哪些情况下，两种屈服准则差别最大?3某理想塑性材料的屈服应力 s100MPa，请分别用 Tresca 准则和 Mises 准则判断下列应力状态下的质点处于什么变形状态（是否存在、弹性变形状态或者塑性变形状态） 。(MPa)10； 150； 120； 50-4有一薄壁管，平均直径为 80mm，壁厚为 4mm，承受内压 p，材料屈服应力s 为 300MPa，设管壁上的径向应力 。试用 Tresca 和
11、 Mises 两个屈服准则分0r别求出下列情况下管子屈服时的 p。 a）管子两端自由；（b）管子两端封闭；（c）管子两端加 62.8kN 的压力。5试分别用 Tresca 和 Mises 屈服准则判断下列应力状态是否存在？如果存在，判别该应力使材料处于弹性变形状态还是塑性变形状态（材料为理想塑性材料） 。6a） b）0sij s；0.501.sij ss；c） d） 。.2.00sij s； 0.450.sijs6已知塑性状态下某质点的应力张量为 ，应力分量 ，-1500-35 0.1xd试求应变增量的其余分量。7已知一外径为 30mm，壁厚为 1.5mm，长为 250mm，两端封闭的金属薄壁管，受到轴向拉伸载荷 Q 和内压力 p 的复合作用，加载过程保持 。若该材料的/1fzMPa。试求当 MPa 时，a）等效应变 ；b）管材尺寸；c）所需1/30()ee60ze加 Q 与 p 值大小。8试分析变形抗力对金属材料加工生产有何影响，对制品性能有何意义？
