1、电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 1.标量： 只有大小，没有方向的物理量。 矢量 表示为： |A A a所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为 1。 |Aa2.矢量： 不仅有大小，而且有方向的物理量。 如 :力 、速度 、电场 等 FEv如：温度 T、长度 L 等 一、矢量和标量的定义 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 例 1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？ 6x图示法： 6xGNFfF/xx/yy力的图示法： FNfF F F矢量和标量的定义 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分
2、析 1.加法 : 矢量加法是矢量的几何和 ,服从 平行四边形规则 。 a.满足交换律： A B B A b.满足结合律： C A BBABAC( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D 二、矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 zoyx三个方向的单位矢量用 表示。 ,x y z根据矢量加法运算： x y zA A A A ,x x y y z zA A x A A y A A z 所以： x y zA A x A y A z 在直角坐标系下的矢量表示 : AxAyAzA其中： 矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 矢量： 模的计算 ： 222| x y
3、 zA A A A 单位矢量 ： | | | | | | | |yxzAA A Aa x y zA A A A 方向角与方向余弦 ： ,|co s,|co s,|co s AAAAAA zyx c o s c o s c o sx y z 在直角坐标系中三个矢量加法运算： ( ) ( ) ( )x x y y z zA B A B x A B y A B z zoyxAxAyAzA矢量运算规则 x y zA A x A y A z 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 2.减法： 换成加法运算 ()D A B A B A B CBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 B()BDBA
4、 =D A BABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算： ( ) ( ) ( )x x y y z zA B A B x A B y A B z 推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 3.乘法： （ 1）标量与矢量的乘积（数乘）： 0| | 00kk A k A a kk方向不变，大小为 |k|倍 方向相反，大小为 |k|倍 （ 2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）： | | | | c o sA B A B BA两矢量的点积 含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。 矢量运
5、算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 在直角坐标系中 ，已知三个坐标轴是相互正交的，即 0 , 0 , 0 1 , 1 , 1x y x z y zx x y y z z 有两矢量点积： ( ) ( )x y z x y zA B A x A y A z B x B y B z zzyyxx BABABA 结论 : 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。 推论 1：满足交换律 推论 2：满足分配律 推论 3：当两个非零矢量点积为零 ,则这两个矢量必正交。 A B B A ()A B C A B A C 矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 推论 1：不服从交换律： ,A B B
6、A A B B A 推论 2：服从分配律： ()A B C A B A C 推论 3：不服从结合律： ( ) ( )A B C A B C 推论 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。 b.矢量积（叉积）： | | | | s i nA B A B c 含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。 BAc矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： x y zx y zx y zA B A A AB B B ( ) ( )x y z x y zA B A x A
7、 y A z B x B y B z ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xA B A B x A B A B y A B A B z 两矢量的叉积又可表示为： x y z o 矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 （ 3）三重积： a. 标量三重积 （混合积） | | | | | | s i n c o sA B C A B C 含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。 ABCS BC矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 注意 ： 先后轮换次序。 推论 ： 三个非零矢量共面的条件。 在直角坐标系中： ( ) 0A B C
8、()x y zx y zx y zA A AA B C B B BC C C ( ) ( )x y z x y zx y zx y zA B C A x A y A z B B BC C C b.矢量三重积： ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C ( ) ( ) ( )V A B C C A B B C A ABCS BC矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 例 2： 1234 2 , 3 2 2 3 , 3 2 5r x y z r x y zr x y z r x y z 求： 4 1 2 3r a r b r c r 中的标量 a、 b、 c。 解： 3
9、2 5 ( 2 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 2 2 ) ( 3 ) ( 2 3 )x y za x y z b x y z c x y za b c x a b c y a b c z 则： 设 213abc2 2 3322 3 5a b ca b ca b c 矢量运算规则 推论：一个矢量可以表示为任意三个不共面矢量的线性组合， 亦即，一个矢量可以沿三 个不共面的 方向分解。 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 例 3： 已知 2 6 3 4 3A x y z B x y z ，求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。 A B解： 已知 AB 所得矢量垂直于 、 所在平面。 A B ABnAB 2 6 3 1 5 1 0 3 04 3 1x y zA B x y z 1 ( 3 2 6 )7n x y z 2 2 2| | 1 5 ( 1 0 ) 3 0 3 5AB 矢量运算规则 电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析 已知 A点和 B点对于原点的位置矢量为 和 ， 求：通过 A点和 B点的直线方程。 例 4： ab()c a k b a 其中： k 为任意实数。 (1 )c k a k b x y z C cA B ab解： 在 通过 A点和 B点的直线方程上， 任取一点 C，对于原点的位置 矢量为 ，则 c矢量运算规则
