1、定积分的应用复习题一填空：1曲线 所围成的平面图形的面积ln,ln(0)yxayby及 轴为 A = =b-a_lbaed2. _ _2曲 线 和 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 是 13二计算题：1求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y 2 = 0 所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为 y，解方程组得x12/,x即抛物线与直线的交点为（ ，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1和 y = - 2 之间，即积分区间为2，1 。（2）在区间2，1上，任取一小区间为 y , y + dy ,对应的窄条面积近似于高为( y）- y2 ,底为 dy
2、的矩形面积，从而得到面积元素dA = ( y)- y2 dy1(3)所求图形面积 A = （1- y）- y2 dy = y - y2 y = 121416312942求抛物线 y = - x2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。解：由 y = - x2 + 4x 3 得 。24,(),()2yxy抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ） 。故 面积 A = 3 32 220 2 9(4)(4)(6)(43)xxdxxd3求由摆线 x =
3、 a (t sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（ ）02t与横轴所围成的图形的面积。解：2200()(1cos)(s)Aydtatd2 21cos3at4 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos 及 r = 1 + cos解：两曲线的交点由3cos3,12rrr解 得 及故 A = 232032(cos)(cos)dd = 3 20 3195(s)(1s)4 5计算由摆线 x = a (t sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱（） ，直线 y = 0 所围成的图形分别绕 X 轴、Y 轴旋转而成的旋转2t体的体积。解： 22 200
4、()(1cos)(cs)axVxdttd232331cos5ttda22100()()aayVxdyxdy= 22220sini(sin)itttatd3 30()6ada6求由 x2 + y 2 = 2 和 y = x2所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积。解：（1）取积分变量为 x,为求积分区间，解方程组： ， 2xy得圆与抛物线的两个交点为 ， ， 所以积分区间为 -1，1。1yx（2）在区间-1，1上任取一小区间x, x+dx，与它对应的薄片体积近似于 （2 - x 2）- x4 dx ,从而得到体积元素 dV = （2 - x 2）- x 4dx = （2 - x 2- x4
5、）dx.（3）故 = （2 - x 2- x4）dx = xV1157求圆盘 绕 Y 轴旋转而成的旋转体的体积。2()y解 设旋转体积为 V，则 321*2()xdx22 2222sin()cos1incos(sin)|4xttdttdttt 令 则=448设有抛物线 C：y = a bx2 ( a 0 , b 0 )，试确定常数 a , b 的值，使得 C 与直线 y = x + 1 相切，且 C 与 X 轴所围图形绕 Y 轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1 相切，故有 K = - 2bx = 1 , 得 2xb由 解得 ，
6、即： 2ab4a14()ba由 22 200()aayVxdydb令 得 (3)3,49设星形线方程为 （ a 0） ，求：3cosinxty（1）由星形线所围图形的面积（2）星形线的长度。解：（1）由对称性得A032024()4sincos(in)ayxdattdt2 20sico8tt（2）L = 2204()xtytd= 220(3cosin(3sico)atatdt= 201i6td10计算曲线 自原点到与具有铅直的切11cossin,t txyd线最近点的弧长。解：sintacodytx曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为 ，原点对应2t的参数 t = 1 。故 s
7、= 22222 211 1cosin() l|nttxtytddt 11设 S1 为曲线 y = x2 、直线 y = t 2 （t 为参数）及 Y 轴所围图形的面积；S 2为曲线 y = x2 、直线 y = t 2 及 x = 1 所围图形的面积。问 t 为何值时，S = S1+S2 取得最大值、最小值。解： 2320 41()()t tddt令 2124,0,ttt解 得于是 1(0),(),()33SS故 Smax = S(1) = , Smin = 214三证明题：1.证明：曲线 y = sinx 的一个周期的弧长等于椭圆 2x2+ y2 = 2 的周长。证明：y = sinx 的一个周期的弧长L1 = 222200441cosdxxd椭圆 2x2+ y2 = 2 即： 化为参数方程为21()ycos(0)inxtty其弧长为 L2 = 22220 0 04()4sincos41cosxtytdttdtd故 L1 = L2
