1、1乘法公式【例 1】 （1 ）在 2004、2005、2006、2007 这四个数中，不能表示为两个整数平方差的是_.（2 ）已知 ，那么， _.01989aA220198aa【例 2】 （1 ）已知 满足 ， ， ，则 的,bc27b2c67bc值等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5（2 ） 不全为 0，满足 ， ，称使得 0 恒成,ac0ac330acnnac立的正整数 为“好数” ，则不超过 2007 的正整数中“好数”的个数为（ ）.nA.2 B.1004 C.2006 D.2007【例 3】观察下列算式： 2141 89 2356_（1 ）请你按以上规律写出第 4 个算式.（2
2、）把这个规律用含字母的式子表示出来.（3 ）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？并说明理由 .【例 4】 （1 ）证明：奇数的平方倍 8 除余 1.（2 ）请你进一步证明：2006 不能表示为 10 个奇数的平方之和.【例 5】有 （ 且为整数）个乒乓球选手进行单循环赛，每个参赛选手同其他各选手n2都进行一场比赛，如果用 和 分别表示第 （ ）个选手在整个赛程中胜与负iaibi1,2n的局数.求证 .2221nn 【例 6】乘法公式 的推广公式我们已学过的有：2abab，2ab，23由此想到，4?ab2，5?ab 应用除法，可得，4323ab，5424abab由此作出猜想.1221nnnab拓
3、广应用（1 ）证明： ，且 （ 为正整数） ，则 .0,cd ncdcd（2 ）求证：当 时，1x21.nnxx学力训练基础夯实1.已知 ，那么，代数式 的值为_.220ab42abab2.设 ，则 安从小到达的顺序排列，结22198,3,1057c,c果是_.3.计算：（1 ） _.22.3450.76.49.6（2 ） _.2222911597189（3 ） _.228794.已知 ， ，则 _.35abc221abcabc5.已知 ，则 _.1a42a6.若 满足 ，则 等于（ ）n22051n05204nA. B.0 C. D.1137.已知 ，那么 的值是（ ）.2ab24abA.2
4、 B.3 C.4 D.68.已知 ，则代数式 的110,9,210xcxx22abcabc值是（ ）.A.4 B.3 C.2 D.19.已知 （ 为任意实数） ，则 的大小关系为（ ）.2781,55PmQm,PQA. B. C. D.不能确定 =P10.若 为有理数，且 ，则 （ ）.,n2240n2mnA. B. C.8 D.1681611.老师在黑板上写出三个算式： ，王华哲222538,9784,15387哲有些了两个具有同样规律的算式： 1 （1 ）请你再写出两个具有同样规律的算式.（2 ）用文字叙述上述算式反映的规律.（3 ）证明这个规律的正确性.12.一个自然数减去 45 后是一
5、个完全平方数，这个自然数加上 44 后仍是一个完全平方数，试求这个自然数.13.观察： 2145;A31269（1 ）请你写出一个具有普遍性的结论，并给出证明.（2 ）根据（1 ） ，计算 的结果（用一个最简式子表示） .01031A能力拓展14.已知 ， ，则 的值为_.3axby5abx22abxy15.外圈平方公式 中，右式各项系数一次为 1,2,1.那么，2展开后的各项系数有什么规律呢？11 世纪中叶，我国数34,n 学贾宪给出了直到 的系数表（如图）.贾宪三角中有很多规律.请写出两条：6ab（1 ） _；（2 ） _；416.已知 满足 ，则 的值是_.,abc220,4cabc44
6、abc17.已知 满足 ， ，则 的值等于_.716018.如果 ，且 ，则 的值是（ ）231c22cc23A.12 B.14 C.16 D.1819.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数” （如）.已知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：223,65则第 2006 个智慧数是（ ）,578913,17,920,34,5A.2672 B.2675 C.2677 D.268020.已知 满足等式 ，则 的大小关系是（ ）.,ab20,42xabyba,xyA. B. C. D. xyyx 21.如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ， ，则四
7、边形=4ABS9CODABCD 面积的最小值是（ ）.A.22 B.25 C.28 D.3222.设 ，证明： 是 37 的倍数.931082aa23.若 ，且 ，求证： .xyb22xyb197197xyab24.（ 1） ， .2265,3726538,3任意挑选另外两个类似 36、53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？（2 ）已知实数 满足 ，求,abcd2226acbdabc的值.2总和创新25.已知 求 的值.22,mnmn332n26.某项矩形春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列，如果原队列中增
8、加120 人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少 120 人，也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少名同学？5乘法公式平方差公式【例 1】选择题（1 ）下列式中，能用平方差公式运算的是（ ）A. B. ababC. D. 232ca（2 ）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A. B. xyx42xyC. D. 225b（3 ）下列计算正确的是（ ）A. B. 2aba2mnnC. D. 39mmxx11xx【例 2】在边长为 a 的正方形挖去一个边长为 b 的小正方形（ ab） （如图甲） ，把余下的都部分拼成一个矩形（如图乙） ，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以
9、验证（ ）A. B. 22abb22aC. D. 2abab【例 3】将边长为 a 的正方形纸片剪出一个边为 b（ba ）的正方形，再将阴影部分剪一道，拼成一个矩形或梯形.（1 ）你能完成拼图吗？（2 ）根据前后两个图形阴影面积的关系，你能发现什么结论？【例 4】计算： 15ab【例 5】运用平方差公式计算：（1 ） （2 ） （3）243x2ba2xy（4 ） （5 ）223y39xx基础训练利用平方差公式计算1. （ ）（ ）等于_.1232. _.903.一个大正方形和四个全等的小正方形按图（1） 、 （2 ）两种方式摆放，则图（2）的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是_（用 a、b
10、 的代数式表示）.64.一个长方形的面积是 平方米，其长为 米，用含有 的整式表示它的宽为29x3xx_米.5.下列多项式惩罚中，可以用平方差公式计算的是（ ）A. B. 23ab34abaC. D. c6.下列计算正确的是（ ）A. B. 21124aa21xxC. D. 2xx2298aa7.为了应用平方差公式计算 必须先适当变形，下列各变形中正确的是bc（ ）A. B. abc211xxC. D. cabcac8.（1）8991 （2）99101100019.利用平方差公式计算下列各式：（1 ） （2）3ab15y（3 ） （4）2a225x（5 ） （6）1x331（7 ） （8 ）2
11、25y24yy（9 ） （10）2114xx1xx提高篇【例 1】 （1 ） 242n（2 ） 2222130（3 ） 2109879517【例 2】计算：（1 ） 41xx（2 ） 221【例 3】如果 ，求 的值 .163abab提高训练1.下列计算中，正确的有（ ） 336mnmn2xyzzxy 2294236aaA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.化简 ，得（ ）2411xxA.0 B.2 C.2 D.13.下列结论正确的是（ ）A. 2383abababB. 2230xyxyC. 17D. 41xxx4.化简 .022aa5.梯形的上底长为 cm，下底长为 cm，高为
12、cm，求此梯形的nm5mn93nm面积.6. .3p7.解方程 .213271xxx8.求证两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.9.观察： ，2213324132试求： 的值.2221305A8四、竞赛入门篇例 计算：（1 ） 24867171（2 ） 2390竞赛入门训练1.若正数 满足 ，则这样的正整数对（ ）的个数是（ ）,xy264,xyA.1 B.2 C.3 D.42.研究下列算式：231=856227439=8试用代数式表示上述算式的规律：_.3.有 10 为乒乓球选手进行单循环赛，用 顺序表示第 1 号选手胜与负， 顺序1x、 y2xy、表示第 2 号选手胜与负的场数 ，用 顺序
13、表示第 10 选手胜与负的场数，求证： 0、.2221101xxyy 4. 27865.计算 4816229完全平方公式【例 1】填空题（1 ） _. （2 ） _.23xy21x（3 ） _ . （4 ） _ _.2abab22ab2ab（5 ） _ （6 ） _.21212mn【例 2】已知 ，则式子 的值为_.,abc22abcabc【例 3】计算：（1） （2 ） （3） （4 ）29.8160292205406【例 4】已知 .求下列各式的值.3,1ab基础训练1.利用完全平方公式计算下列各式：（1 ） （2） （3） （4）6a27x21a23ab（5 ） （6） （7） （8）2
14、43xy25y2b21xy2. （ ） （ ） .2223. _ _.ab2ab4.若 ，则 _.25,25. _.6.如果 是完全平方式，则 _.29amm7.若 ，则 _， _.4,3bab2ab8.若 ，则 _， _.129.在多项式 中，添加一个单项式，使其成为一个完全平凡式，则添加的单项式是2x_（只写出一个即可）.1010.已知 ，则 等于（ ）2,1xyxyA. B. C. D.313211.要使式子 成为一个真实平方的形式，则应加上（ ）256xyA. B. C. D. 0y0x4xy12.计算（1 ） （2） （3） （4）3292mn223xy（5 ） （6 ）4xyxyx
15、yab13.已知正方形的面积是 ，用关于 的整式来表示这个正2250ab0,a ,方形的周长.14.已知 ，求 的值.3,abc22cbc15.因式分解： .24xy16.已知 ，则边长为 的三角形是什么三角形？cabcac、 、17.先化简，再求值： ，其中 .251xxx三、提高篇【例 1】利用乘法公式计算:（1 ） （2 ）32xyxy2abc【例 2】计算：（1） 210210xyzxyz【例 3】试说明无论 取何值，代数式 的值总是非负数.、 2463y【例 4】你能很快计算出 吗？205为了解决这个问题，我们考查个位上的数为 5 的自然数的平方，任意一个个位数字为 5 的自然数都可
16、以写成 ，即求 的值（ 为自然数） ，试分析1n1n这些情况探索其规律，猜想结论.1,23,n（1 ）通过计算，探索规律：11，2150125，6，233_，2857（2 ）由第（1 ）题的结果，归纳猜想得 _；2105n（3 ）根据上面的归纳猜想计算 _.2提高训练1.如果 ，则 的值是_.211ab2ab2.代数式 最大值为_，取最大值时， 与 的关系式_.4 ab3.已知 ，则 _.26,24abcabc22c4.应用乘法公式计算 ，下列变形中正确的是（ ）1xyA. B. 21xy21xyC. D. xy5.计算 结果是（ ）21xyA. B. C. D. 22xyxy26.无论 为何
17、值， 的值总是（ ）x、 45A.负数 B.零 C.非负数 D.正数7.有 3 张边长为 的正方形纸片，4 张边长分别为 的矩形纸片，5 张边长为aab、 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成b一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ，则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）A. B. C. D. a2b3a2b8.利用乘法公式计算下列各式：（1 ） （2 ）31xyxy12（3 ） （4 ）114322xyxy23xy9.如果 ，求 的值.2151,mn207mn10.观察下列关于自然数的等式：234529713根绝上述规律解决下列问题：（1 ）完成
18、第四个等式： _ _；2942（2 ）写出你猜想的第 个等式 （用含 的式子表示） ，并验证其正确性.nn四、竞赛入门篇【例 1】已知 且xyab22xyab【例 2】已知 ，求019,01,012cx22abcab的值.c竞赛入门训练1.若 ，则 的值是（ ）221076,51MbaNbaMNA.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数2.已知 ，则 的值是（ ）34xxA.64 B.60 C.52 D.483.设 ，则 _.220,10yzyzyazx4.如图 4.2-2，立方体的每个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果 13、9、3 的对面的数分别为 ，求 的值.,bc22cabc5.观察下列各式 22211332224413（1 ）写出第 2005 个式子.（2 ）写出第 个式子，丙说明你的结论 .n
