舰船磁场仿真.pdf-道客多多_道客多多docduoduo.com

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1、舰船磁场仿真中国上海nullnullnull空nullnull大学计算机系nullnullnull摘要本文研究了一种模拟舰船周围磁场的方法。磁场建模对发展舰船消磁的方法有重要意义。基于舰船的外形，本文主要讨论由椭圆体磁源建立的磁场模型，而且本文将用一系列表示磁场标量函数的偕函数或者说用多极子磁场图来描述磁源。磁源的多极子图应用选择函数和布设在磁源附近的磁场传感器测量的磁场数据来复原。由此，磁场模型即可建立在复原的多极子图的基础上。本文将采用三种标准磁源来建立磁场，并在理想条件下测试椭球阵列的模拟特性。绪论由铁磁性物质制造的舰船在地磁场的磁化下，会产生额外的磁场，而且舰船上的磁性设备也会增加额外

2、磁场的强度1-5。现在有两种常用方法模拟舰船磁场。第一种方法被称为前向方法，它是通过建立模拟磁源来预测磁场的6-8，这种有限元素法是在磁场特性和舰船对称情况已知的基础上应用的。而具体应用椭球体模拟舰船并计算磁场的方法在9-11中有仔细阐述。第二种方法是反向预测法。在这种方法中，磁场模拟预测决定于复原的磁场模型，而磁场模型又由磁源附近的磁场测量值复原得到8,12-17。本文采用第二种方法模拟预测舰船磁场。其中舰船模型由一系列经常被用来表示复杂磁源的偕函数系数或者说用磁场多极子图来确定磁场标量函数18-20。假设作为磁源的舰船被有边界的表面包围，则边界以外是磁源产生的磁场影响不到的区域。如果磁场介

3、质是线性的，那么在这个区域磁场标量函数满足拉普拉斯方程2U=021，U是磁场标量函数。求解拉普拉斯方程可以在几种可供选择的坐标系下进行，比如球面坐标系，椭球面坐标系和类球面坐标系。对于一个舰船这样的狭长磁源，椭球面坐标系是最常用的。使用椭球面坐标系有很多优点，比如说测量磁场值的时候，在椭球面坐标系下，磁性传感器可以更接近磁源，这样就使信噪比优于其他坐标系。这可以解释为舰船产生的磁场强度作为信号，会随着测量点与磁源的距离的增加而减弱，而噪声能量却不会随距离改变而改变。另一个优点是在椭球面坐标系下，谐函数收敛的更快，利于恢复磁源模型。另外，复原狭长磁源的多极子图需要较少的高阶函数，使计算更简单。当

4、下，由测量值反向复原磁场多极子图多使用最小平方误差法12,16, 18。本文将通过仿真结果证明，直接应用最小方差法来解决复原问题可能会使这种复原不准确。如果表示场的矩阵对小误差非常敏感，那么这种不准确就会非常严重，那么即使在理想环境的条件下，仍有可能得不到磁源的复原多极子图。因此，本文将运用另一种方法选择函数法22。这种方法首先产生单位多极子图的磁场图形，然后由单位多极子图，通过限制多极子磁场的选择函数必须是不垂直于磁场的量来选择建立用来提取多极子图的强度的一系列选择函数。在实践中，为了测量磁源产生的空间磁场强度，经常要布设一系列传感器来测量磁场数nullnullnullnullnullnul

5、lnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnul

6、l据。可是，怎样安排传感器的位置和方向来获得最佳的复原多极子图仍是亟待解决的问题。本文将研究椭球阵列并测试其效果。采用椭球阵列有很多好处，比如说多极子图在椭球面坐标系中被拉长了，这样就简化了复原多极子图的计算。另一个优点是传感器可以靠近磁源，这点在前面也有所说明。当然，这种阵列也并非完美，因为它很复杂而且必须包围磁源磁源不能在阵列中进出，使得椭球阵列很难安装布设。然而，在 16中作者提到通过在舰船外表面附近安装传感器，椭球阵列是可以实现的。这篇论文中，磁场仿真会在理想的测量环境下进行，也就是说不考虑由测量设备等造成的噪声和误差。在测试本文提出的磁场复原技术效果时，本文将使用三种磁源作为标准磁源

7、来进行测试，而且会在多种情况下测试传感器阵列的性能。本文所有的仿真都是在MAT L A B软件中编程运行。椭球面坐标系椭球面坐标系中的一点被三个正交曲面唯一确定，这三个平面分别是 =常数， =常数,和 =常数，如图1所示。图1.1.椭球面坐标系平面 =常数是指椭圆绕它的主轴（在图1中，主轴就是x轴）的旋转度，由等式1定义 23。( 1)平面 =常数是指单边双曲线关于主轴的旋转度，由等式2定义( 2)f是椭圆和双曲线的半焦距，。因为椭球面和双曲面是由椭圆和双曲线绕x轴旋转得到的，就像等式1和2描述的一样，旋转任意角度的椭圆和双曲线都是一样的。为了简化，现在只看x- y平面，这样等式1和2中的参数

8、就可以用y代替。在等式1中，如果半焦距长确定，则参数就决定了椭圆的长轴和短轴。因此，参数越大，椭圆越大。当 = 1时，椭圆收缩为x轴上从- f到f的一条直线。同样的，参数决定了双曲线的长轴和短轴。如果比零大，则单边双曲线在x0的半平面内；否则双曲线在x 0的区域是磁源影响不到的区域，磁场标量函数在这个区域的每一点都满足拉普拉斯方程。椭球面坐标系下拉普拉斯方程的通解在 27, 28中已经给出。( 1 1)其中和是联合勒让德函数 27, 28的第一和第二类的n t h度和mt h阶。因为U在 = 时为零，在 = 1时是有限值，所以a 1和b 2必然为零。由此，等式11可以简化为( 12)其中系数,

9、被称为椭球面坐标系中磁源的多极子图。将等式12代入等式8中，设 = 0，于是有( 13)( 14)( 15)其中等式13和14是利用了联合勒让德函数的周期性得到的。传感器阵列正如绪论中介绍过的，为了反向复原磁源的多极子图，传感器必须布设在磁源附近测量磁场值。在已知每个多极子磁场属性和磁场数据的前提下，我们将运用数学方法得到磁源的多极子图。这部分内容将重点介绍椭球阵列。对于椭球阵列，传感器被布设在一个椭球体表面 16。传感器一律分散在旋转角度为的椭球面上，从而形成由传感器构成的一个个圆环，而且这些圆环沿x轴对称分布(图2)。因此，如果所有传感器都在椭球面 = 0上，其中共有N个圆环，每个环包含N

10、个传感器，那么坐标系中每个传感器的坐标为( 0 , i , j ) ,，其中i = 1, 2, , N , j = 1, 2, , N。因为传感器环关于x轴对称分布，所以N是偶数，即i = 。又因为传感器全都分布在角的椭球面上，所以的表达式为j = ( j - 1) N . ( 16)虽然i有多种取值可供选择，但在决定某个特定的x轴上的传感器环的位置时，i只能在范围内选择，表达式为i = ( 17)例如一个具体的 = 1.2037,f = 49.7494m ,共32个传感器环，其中每个传感器环包含6个传感器的椭球阵列，在圆柱坐标系下每个传感器的位置在表1中（坐标系的转换见 23），图2说明了传

11、感器阵列的几何布设。图2.2.每个传感器环包含66个传感器( N( N= 6)= 6)，共3232个传感器环( N( N= 32)= 32)的椭球阵列几何图形，椭球体磁源长轴为100m100m，直径为10m10m。i i ( m )( i = 1, 2,，32)X i ( m )( i = 1, 2, , 32) j j (角度)( j = 1, 2, , 6)1 8. 2680 - 58.0127 1 02 14.0914 - 54.2700 2 603 17.8912 - 50.5272 3 1204 20.8073 - 46.7845 4 1805 23.1756 - 43.0417 5

12、 2406 25.1514 - 39.2990 6 3007 26.8216 - 35.55628 28.2405 - 31.81349 29.4443 - 28.0707表1.1.椭球阵列（=1.2037,1.2037,f = 49.7494f = 49.7494m ,m ,3232个感应器环，每个感应器环包含66个感应器）在圆柱坐标系(ii,jj,ii)下的布设位置( i = 1,( i = 1,2,2, ,32;32;j = 1,j = 1,2,2, ,6.6.总共32326=1926=192个传感器.).)多极子图提取这部分会解释怎样用选择函数从有限的磁场测量数据中提取多极子图，以及怎

13、样产生选择函数和从椭球阵列提取多极子图的大体思想。然后，根据椭球阵列这种特定的阵列对选择函数进行修改，从而提高磁场模型的准确率。根据前面的讨论，在一个给定的位置，磁场可以表示为多极系数和偕函数的乘积和的形式。等式13到15用由 , , 三个要素构成的椭球体偕函数描述了磁场，然而在实际中磁性传感器在这三个要素方向很难布设。相反的，在和x方向布设就简单的多，其中 =，和x的正方向是和x数值增加的方向。通过等式13至15和 24中的换算方法，我们可以得到椭球偕函数的x, y, z要素。要素可以从下面的关系得到：( 18)椭球偕函数中的Bx和B表达式为等式19和20：10 30.4587 - 24.3

14、27911 31.3020 - 20.585212 31.9878 - 16.842413 32.5260 - 13.099714 32.9239 - 9.356915 33.1865 - 5.614116 33.3170 - 1.871417 33.3710 1. 871418 33.1865 5. 614119 32.9239 9. 356920 32.5260 13.099721 31.9878 16.842422 31.3020 20.585223 30.4587 24.327924 29.4443 28.070725 28.2405 31.813426 26.8216 35.5562

15、27 25.1514 39.299028 23.1756 43.041729 20.8073 46.784530 17.8912 50.527231 14.0914 54.270032 8. 2680 58.0127( 19)( 20)椭球偕函数中任何e要素都可以写成( 21)其中是r点在场中的e要素；和是决定磁源多极子图的偕函数系数；或者可以看作由单位强度多极子或产生的特定磁场。例如，或在椭球偕函数中为( 22)( 23)等式22和23可以从等式19中得到。假设有N个传感器在点，这N个传感器用来测量e要素场，由此等式21的无穷序列简化为, i = 1, 2, , N .( 24)为了得到较好

16、的复原磁场，本文将通过正交函数选择理想的多极子。多极子的选择函数被定义为从磁场数据中得到的理想多极子强度的函数。我们期望通过对传感器阵列应用选择函数来获得多级子强度，而要获得选择函数就必须计算出该强度和的乘积和。对于从提取的选择函数和从提取的选择函数，均满足下面的等式：, , ( 25)把等式24代入等式25，选择函数和满足：( 26)( 27)这部分内容解释了怎样利用选择函数从磁场数据中得到多极子图。现在假设x轴是椭球阵列的对称轴，如图1所示。椭圆阵列的大小是由参数决定的，这里让 = 0。如果椭球体直径为D，长轴为L，则半焦距f为， 0为。设阵列沿x轴有N个传感器环，每个传感器又由N个传感器

17、均匀分布，而且传感器的方向是沿x轴的。从传感器阵列得到的磁场数据为( 28)其中是点( 0 , )的磁场测量值, i = 1, 2, , N , j = 1, 2, , N。因为阵列是沿轴线对称的，因此由等式16得到。由等式22和23可以得到：,( 29)其中现在考虑正弦和余弦函数和的正交特性。如果N 1 = 2 ，从等式29可以得到：, ( 30)其中p=0, 1, , mma x , i = 1, 2, , N。, ( 31)其中p=0, 1, , mma x , i = 1, 2, , N。所以，只有当p等于0和时，等于1，否则都等于0.对于p的每个值，等式30和31可以被写成向量式：,

18、 a nd（32）,（33）其中和的i t h行是和，而且向量的i t h行是。系数和可以从等式32和33得到，如果我们可以设计一个大小为N的选择函数向量，使之满足; ( 34)等式34成立的必要条件为( 35)图3显示了一些正交的选择函数和例子，其中传感器根据表1的位置布设，方向沿x轴方向，而且mma x和v ma x等于分别等于2和21.图3( a) .3( a) .椭球阵列的选择函数,andand作为函数。传感器根据表11布设，方向沿xx轴方向( v( vmaxmax= 21= 21,mmmaxmax= 2)= 2)表3( b ) .3( b ) .椭球阵列的选择函数,andand作为函

19、数xx，传感器根据表11布设，方向沿xx轴方向( v( vmaxmax= 2= 21,1,mmmaxmax= 2)= 2)标准磁源本文将采用三种标准磁源用作测试磁源，来测试复原磁场的性能。这些磁源是N a valP os t gr a duat e s c hool的M . A. Mor gan教授在 15提供的，但为了更好的模拟现实环境中的磁场，磁源的强度较原始的模型扩大了104倍。假设一个直径为10m，长轴为100m的椭球体外壳，那么每种磁源包含椭球体x轴上的8个双极子，且正方向为x轴正方向。如图4所示，铁磁性外壳厚度均匀，为0.1 m。表2.2.磁源11到33的双磁极子的分布和大小图4.

20、4.标准磁极的几何图形图5.5.磁源11到33的多极子cc00nn的强度，n = 0,n = 0,1,1,2,2, ,3131双极子编号位置X ( m )磁矩mx ( 102 A m2 )磁源1磁源2磁源31 - 49 1 0. 0308 - 1.63832 - 35 1 0. 3077 - 1.27453 - 21 1 0. 5846 - 0.80914 - 7 1 0. 8615 - 0.27725 7 1 1. 1385 - 0.27726 21 1 1. 4154 - 0.80917 35 1 1. 6923 - 1.27458 49 1 1. 9692 1. 6383图6给出了深度为

21、33.3333m，大小为360m360m的平面上磁源1产生的磁场总特性图，x方向磁场图，y方向磁场图和z方向磁场图。平面上有55个测量点分布在x轴上，2 5个测量点分布在y轴上。图8给出了深度为300m，大小为1800m1800m的平面上磁源1产生的磁场，测量点布设位置不变。根据磁源1的多极子，图7和9给出了磁场总特性的累加均方根，x方向磁场的累加均方根，y方向的累加均方根和z方向的累加均方根。图10-17给出了磁源2和3的以上这些特性。从图中可以看出，当深度为33.3333m时，为了更好的模拟磁场需要10个或者更多的偕函数系数，然而，深度为300m时仅仅需用几个偕函数系数就可以使累加场饱和。

22、在300m的深度，除了不包含双极子要素的磁源3，其它两个磁源中双极子对平面上的场有很大作用。这一结论和我们预想的低阶数多极子可以对距离磁源很远的区域产生较大影响的结论吻合。这也可以从磁场标量函数中的第二类联合勒让德函数的渐近线特点得出结论。( 35)根据前面的描述，椭球面坐标系下的参数表征了一点到磁源的距离（磁源到坐标轴原点）。如果在距离磁源很大距离r时，参数接近，所以等式36可以改写成( 36)等式36表明当距离r很大时，n的取值越小，,的取值越大，从而磁场标量函数越大。如果磁源本身的长度远大于它的宽度，D. A. N i xon和F . E . Ba ke r提出以上的方法足够代表线性磁化

23、作用的磁源 1 8。两位科学家还证明了这种线性磁化可以用多极子图（m = 0和1）来模拟。图6.6.磁源11在深度为33.3333m33.3333m的360360mm360360mm平面上产生的磁场( a)( a),( b ) B( b ) Bxx,( c ) B( c ) Byy,( d )( d )BBzz图7.7.磁源11的多极子ccoo11,ccoo22, ,ccoo100100在深度为33.3333m33.3333m的360360mm360360mm平面上的| B | B |,B,Bxx,BByy,andandBBzz的累加场图8.8.磁源11在深度为300m300m的1801800

24、0mm18018000mm平面上产生的磁场( a)( a)| B | B |,( b ) B( b ) Bxx,( c ) B( c ) Byy,( d )( d )BBzz图9.9.磁源11的多极子c o1,c o1,c o2,c o2, ,c o100c o100在深度为300m300m的18018000mm18018000mm平面上的| B | B |,B x,B x,B y,B y,andandB zB z的累加场图10.10.磁源22在深度为33.3333m33.3333m的360360mm360360mm平面上产生的磁场( a)( a)| B | B |,( b ) B( b )

25、Bxx,( c ) B( c ) Byy,( d )( d )BBzz图1 1.1 1.磁源22的多极子ccoo11,ccoo22, ,ccoo100100在深度为33.3333m33.3333m的360360mm360360mm平面上的| B | B |,BBxx,BByy,andandBBzz的累加场图12.12.磁源22在深度为300m300m的18018000mm18018000mm平面上产生的磁场( a)( a)| B | B |,( b ) B( b ) Bxx,( c ) B( c ) Byy,( d )( d )BBzz图13.13.磁源22的多极子ccoo11,ccoo22,

26、 ,ccoo100100在深度为300m300m的18018000mm181800mm平面上的| B | B |,BBxx,BByy,andandBBzz的累加场图14.14.磁源33在深度为33.3333m33.3333m的360360mm360360mm平面上产生的磁场( a)( a)| B | B |,( b ) B( b ) Bxx,( c ) B( c ) Byy,( d )( d )BBzz图15.15.磁源33的多极子ccoo11,ccoo22, ,ccoo100100在深度为33.3333m33.3333m的360360mm360360mm平面上的| B | B |,BBxx,

27、BByy,andandBBzz的累加场图16.16.磁源33在深度为300m300m的18018000mm18018000mm平面上产生的磁场( a)( a)| B | B |,( b ) B( b ) Bxx,( c ) B( c ) Byy,( d )( d )BBzz图17.17.磁源11的多极子ccoo11,ccoo22, ,ccoo100100在深度为300m300m的18018000mm18018000mm平面上的| B | B |,B,Bxx,BByy,andandBBzz的累加场数值仿真这部分内容将通过数值仿真结果来说明传感器阵列的效果和多极图的复原技术（最小平方法和选择函数法

29、磁场误差比较结果表面：在理想环境下，选择函数法和最小平方法用椭球阵列都成功的复原了磁源的多极子图，但是选择函数法得到的结果更准确。这是因为利用单位多极子特定磁场的对称性可以把多极子分成不同类别的对称。测试B与测试A和相似，除了测试B用到了三个标准磁源。结果表面选择函数法可以成功的复原磁场，而最小平方法却失败了。表4给出了测试的结果。表4.4.理想环境下，运用选择函数法( S F )( S F )和最小平方法( LS )( LS )得到的磁源11到33的磁场最大值和磁场复原误差误差( %)S F 1. 00E+ 00 0. 00E+ 00 - 1.26E- 15 0. 00E+ 00 - 1.2

30、1E- 19 1. 38E- 13L S 1. 00E+ 00 - 4.42E- 16 1. 06E- 15 5. 59E- 17 4. 73E- 17 3. 79E- 12S F 0. 00E+ 00 1. 00E+ 00 0. 00E+ 00 - 1.39E- 18 0. 00E+ 00 6. 54E- 14L S - 2.31E- 15 1. 00E+ 00 - 1.07E- 14 3. 42E- 16 - 3.03E- 15 7. 54E- 10S F 2. 35E- 15 0. 00E+ 00 1. 00E+ 00 0. 00E+ 00 6. 47E- 19 3. 35E- 1 1L

31、 S - 2.31E- 16 - 2.13E- 16 1. 00E+ 00 2. 69E- 17 - 1.51E- 17 1. 37E- 08S F 0. 00E+ 00 - 4.19E- 16 0. 00E+ 00 1. 00E+ 00 0. 00E+ 00 8. 56E- 14L S - 1.41E- 15 - 7.69E- 15 4. 79E- 16 1. 00E+ 00 3. 05E- 16 3. 22E- 12磁源1磁源2磁源3最大值Bx r ms ( nT) 91.15 1 15.64 124.79Bxma x ( nT) 336.75 580.08 424.94复原场的误差S F

32、 1. 48 10- 4 1. 52 10- 4 3. 04 10- 4L S 1. 51 10- 4 1. 57 10- 4 3. 34 10- 4总结与展望本文的目标就是运用反向法模拟舰船产生的磁场。首先，由磁源附近的一系列磁场测量值得到复原的磁源。然后又由复原的磁源得到磁场。对于反向法，磁源是不能被单独决定的，因为很多种磁源都可以产生某一特定磁场，所以复原磁场需要一定的磁场测量值才可以实现。磁源可以被分散的双极子磁源，电流源，磁场标量函数的偕函数系数或者磁场多极子图模拟。本文选择用椭球偕函数的磁场多极子图来模拟狭长的磁源。可以证明，对于狭长复杂的磁源，这是非常好的一种模型，因为这种模型允

33、许靠近磁源布设磁性传感器，而且函数收敛很快。为了复原多极子图，本文提出了椭球阵列，而且结果很理想。尽管其复杂的形状和闭环特性使得椭球阵列在实际中很难布设，但 16中证明了这种阵列的可操作性。更重要的是，本文用高阶多极子仿真了磁源，而且假设磁源关于轴对称。鉴于直接使用最小平方法来解决这个问题会有较大误差，本文提出另一种方法选择函数法。通过比较仿真的结果，可以确定在理想环境下用选择函数法提取多极子图可以提高仿真的准确度。在真实的测量环境中选择函数法的效果是今后值得研究的问题。本文仿真舰船磁场都是假设在理想条件下得到令人满意的结果。可是，在真实的系统中，位置误差，传感器方向误差和噪声都是难以避免的。

34、也就是说，真实测量环境下的椭球阵列选择函数法的效果还有待研究。另外，怎样布设传感器也是今后研究的方向。本文使用的独立参量决定传感器位置的方法并不是最优的。为了得到最好的复原磁极，对未知舰船的初步了解也会帮助我们获得布设传感器的最佳方式。参考文献 1 G. R . Ka h l e r a nd E . D. T o r r e , “ Mi n i m i z i ng t he def or m a t i on of a s t a t i c m a gnet i c f i e l d by t heP r e s e nce of a F e r r o m a gnet i c B

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38、l e quipme nt :m e t hodsi n des i gn a nd m a nufa c t ur i ng ” , i n O C E A N S 98 C onfe r e nce pr o c e e dings, N i c e , F r a nce , vol.3, S e pt . 1998,p p. 1468-1472. 6 X . Br unott e , G. Me unie r , a ndJ. P . Bongir a ud, “ S hip m a gnet i z a t i ons m odel i ng by t he f i nit ee l

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40、A R E L E C1999,Br e s t , F r a nc e , J ul. 1999,pp.243-254. 8 C . R a nnou,“ C ompar i s on of s ome i nver s e m odel s f or t he c omputa t i on of t he s t a t i c m a gnet i cs i gnat ur e of s hips “ , i n MA R E L E C 1999C onfe r e nce P r o c e e dings, Br e s t , F r a nce , J ul. 1999pp

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42、 pl a n, “ S pher i c a l a nd s pher oida l s he l l s a s m odel s i n m a gnet i cdet e c t i on“, I E E E T r a ns. Ma gn., vol. 35, no. 5, S e pt . 1999,p p. 4151-4158. 1 1 M . T e j e dor, H. R ubio, L . E l ba i l e , a nd R . I gle s i a s , “ E t e r na l f i e l ds c r e a t e d by unif or

43、 m l ym a gnet i z e d e l l i ps oids a nd s pher oids “ , I E E E T r a ns. Ma gn,. 31,no.1, J a n. 1995,p p. 830-836. 12 L . L . R ouve, J . P . Bongi r a ud, P . L e t hie c , M . L e gr i s , a nd J . L . C oulomb “ A ppli c a t i on ofhar m onic m odel s t o i dent i f y t he m a gnet i c s t

44、a t e of a s ys t e m a nd t o e xt r a p ol a t e i t s s i gnat ur e “ , i nMA R E L E C 1999C onfe r e nce P r o c e e dings, Br e s t , F r a nce , J ul. 1999,pp.319- 330. 13 R . Ka m ondet dac ha, J . A. N yenhuis , a nd A. V . K i l dis hev, “ E f f e c t of nois e a nd l oc a l i z a t i on e

45、 r r orof m a gnet i c f i e l d s e nsor s on t he c har a c t e r i z a t i on of t he c omple x m a gnet i c s ourc e s “ ,J . A ppl. P hys. , vol. 91,no.10,Ma y 2002,pp.8891-8893. 14 A. V . K i l dis hev, J . A. N yenhuis a nd R . Ka m ondet dac ha, “ P r e dic t i on of t he m a gnet i c f i e

46、l dbel ow a n a xis m e t r i c pla nar s e nsor a r r a y“, i n I N T E R M A G E ur ope2002Ma gnet i c s C onfe r e nce ,D i ges t of T e c hnic a l P a per s , A m s t e r dam , T he N e t her l a nds, A pr . 2002,p . D T 9. 15 A. V . K i l dis hev, J . A. N yenhuis , a nd M . A. Mor gan, “ Mu l

47、t i pole i m a g i ng of a n e l ongat e d s ourc eby a c yl i ndri c a l s e nsor a r r a y“, I E E E T r a ns. Ma gn., vol. 38, no. 5, S e pt . 2002,pp.2465-2467. 16 M . A. Mor gan, S . W. Yo pp, a nd A. V . K i l d i s hev, “ O pt i m a l s e nsor pla c e m e nt f or m a gnet i cs i gnat ur e pr

48、e dic t i on“, i n I N T E R M A G E ur ope 2002Ma gnet i c s C onfe r e nce , D i ges t of T e c hnic a lP a per s , A m s t e r dam , T he N e s her l a nds, A pr . 2 002. p . D T 1 1. 17 A. V . K i l dis hev, R . Ka m ondet dac ha, a nd J . A. N yenhuis , “ P r e dic t i on of t he m a gnet i c f i e l dbeyonda r e c t a ngula r a r r a y of s e ns or s “ , J Appl. P hys. , vol. 93, no.10, Ma y 2002,p p. 7074-7076. 18D . A. N i xon a nd F . E . Ba ker , “ Us i ng p r ola t e s pher oida l m a gnet i z a t i on dis t r i buti

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