1、圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学 ，242300） 圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文1给出了两个较为简洁的结论：命题 1 椭圆 ，点 对应的极线 .12byax0,yxP120byax双曲线 ，点 对应的极线 .20, 20抛物线 ，点 对应的极线 .pxy0,yP0pxy命题 2 圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线. 反之亦然. 称为极点与相应极线对偶性.以上结论在文2中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题 1
2、、 （2010 湖北文 15）.已知椭圆 的两焦点为 12,F,点 满12:yxC0,yxP足20xy,则| 1PF|+ 2|的取值范围为_ ，直线 与椭圆 C 的0yx公共点个数_.P 在椭圆内 P 在椭圆外解析：第一个问题，依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为.2,第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为 在椭圆 的0,yx12:yxC内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 并不经过0.还有学生看到 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共0,yxP120yx点.事实上， 是 对应的极线， 在椭圆0yx0,yxP0,yxP的内部，由命题 2 画
3、出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数12:yxC为 0 个. 如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决 .而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题 2、 （2010 重庆文 21）已知以原点 O为中心， (5,0)F为右焦点的双曲线 C的离心率 5e.（）求双曲线 C的标准方程及其渐近线方程；（）如题图，已知过点 1(,)Mxy的直线 1l： 14xy与过点 2(,)Nxy（其中 21x）的直线 2l： 24的交点 E在双曲线 C上，直线 M与双曲线的两条渐近线分别交于 G、 H两点，求 的值. O解析：（I）C 的标准方程为 .142yxC 的渐近线方程为 .1y（II）如图，直
4、线 和:1yxl上显然是椭圆 的两条切线，由题意点 在直线4:12yxl 42),(Eyx和 上，MN 即是由 E 点生成的椭圆的极线.因此直线1:12yxlMN 的方程为 .4yxEMN 的方程求出后剩下工作属常规计算.设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 及 的交点，02yxyx由方程组 ,402,4yxEE及解得 .2,2,ENECyxyxy故 42EOGxy .412Eyx因为点 E 在双曲线 所以.4,1422Eyx有上 23.EOGH分析：如果是常规方法求直线 MN 的方程，只能是观察：由题意点 在直线),(yx和 上，因此有4:1yxl 4:12yxl故点 M、N 均在直线 上
5、，因此直线EE1, 4yxEMN 的方程为 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.yx题 3、 （2010 江苏 18） 、在平面直角坐标系 xoy中，如图，已知椭圆 的左、1592yx右顶点为 A、B，右焦点为 F.设过点 T（ mt,）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点M ),(1yx、 ),(2yxN，其中 m0, 021y.（）设动点 P 满足 42BF,求点 P 的轨迹；（）设 31,21x，求点 T 的坐标；（）设 9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）.解析：（） （）很简单，略.（）我们先看看常规做法：点 T 的坐标为 (9,)直线 ，与椭圆
6、联立得)3(12:xmyTA )804,)(322mM直线 ，与椭圆联立得)(6:B ),)(22N当 12x时，直线 MN 方程为： 2222 0)(380)(3804mxmy 令 0y，解得： 1x.此时必过点 D（1，0） ；当 12x时，直线 MN 方程为： x，与 x 轴交点为 D（1，0 ）.所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0 ）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点 T 的坐标为 ，事实上 T 的轨迹是 ，可以看成是一条极线：m,99x，所以它一定过定点 D（1，0）. 150yx题 4、已知椭圆 C 的离心率 ，长轴的左右端点分
7、别为 ， 。3e21A2,2,0（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线 与 交于点 S。试问：当 mxmy11P2Q变化时，点 S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆 的方程为 。 1 分C2xy1ab0a ， ， ， 。 4 分a2c3ea2c22bc椭圆 的方程为 。 5 分xy14（）取 得 ，直线 的方程是m0,3P,Q,21AP3yx,6直线 的方程是 交点为 7 分,2AQyx,1S4,3.若 ，由对称性可知交点为3P1,22,.若点 在同一条直线上，则直线只能为 。8 分S:x4
8、以下证明对于任意的 直线 与直线 的交点 均在直线 上。事实上，由m,1AP2QS:x4得 即 ，2xy1424y,24ym30记 ，则 。 9 分12Px,Q,1212,设 与 交于点 由 得A0S(4,y)01y,x106y.x设 与 交于点 由 得 1020(,)02,20.1206yx12216ymy3x12124my6yx，12 分221m40 ，即 与 重合，这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。 13 分0y0S mS:x4解法二：（）取 得 ，直线 的方程是 直线m,3P1,Q,21AP3y,6的方程是 交点为 72AQ3yx,21S4,.分取 得 ，直线 的方程是 直线 的
9、方程是m1,83P,Q0,151AP1yx,632AQ交点为 若交点 在同一条直线上，则直线只能为 。yx,22S4,.S:x48 分以下证明对于任意的 直线 与直线 的交点 均在直线 上。事实上，由,1P2QS:得 即 ，记 ，则2xy14m24y,2m4y3012Px,yQ,。9 分12123,的方程是 的方程是 消去 得AP1yx,2AQ2yx,y, 以下用分析法证明 时，式恒成立。要证明式恒12yx24成立，只需证明 即证 即126y,x12213ymy3,证 式1212my3. 226m0,4恒成立。这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。S:x4解法三：（）由 得 即 。2xy14
10、m2y,2y30记 ，则 。 6 分12Px,yQ,12123,4m4的方程是 的方程是 7 分A1x,AQ2yx,由 得 9 分12y,x,12y,x2x即 2112yxA2112ym3yA121my3A 12 分1223m44.y这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。 13 分S:x2006 高考全国卷（21） （本小题满分为 14 分）已知抛物线 的焦点为 F，A、B 是热线上的两动点，且 过24xy (0).AFBA、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。（I）证明 为定值；.FM（II）设 的面积为 S，写出 的表达式，并求 S 的最小值。()f（21） （本小题满分 13
11、分）设 ，点 A的坐标为（1,1） ，点 B在抛物线 yx上运动，点 Q满足 Bur，经过 点与 Mx轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P满足Pr,求点 的轨迹方程。（20 ） （本小题满分 13 分）点 在椭圆 上， 直线0(,)Pxy21(0)xyab00cos,in,.2xayb与直线 垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为 ，直线 的倾斜2l012:lab l角为 .（I）证明: 点 是椭圆 与直线 的唯一交点；P21xy1l（II）证明: 构成等比数列。tan,ta我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.参考文献：1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线两高考试题的统一背景与解法J.中学数学教学，2006（6）2 梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何M.北京：高等教育出版社，1983
