圆锥曲线速算公式和结论系统梳理.pdf

1、 【考纲解读】 15.圆锥曲线与方程 （理） （ 1） 圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 。 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 。 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 。 了解圆锥曲线的简单应用 。 理解数形结合的思想 。 （ 2） 曲线 与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 。 15.圆锥曲线与方程 （文 ） 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 。 掌握椭圆 的定义、几何图形、标准方程及简单 几何 性质 。 了解双曲线 、抛物线 的定义、几何图形和标准方

2、程，知道它 们 的简单几何性质 。 理解数形结合的思想 。 了解圆锥曲线的简单应用 。 一、 椭圆 1、 方程 、离心率 的公式 、 结论 切线 方程 、切点弦所在直线方程 ： 过椭圆 x2a 2 +y 2b 2 =1 （ a b 0 ） 上一点 P x 0 ， y 0( ) 的切线方程为 ：x 0 xa 2 +y 0 yb 2 =1从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ） 外一点 P x 0 ， y 0( ) 往椭圆作两条切线分别交椭圆于 A 、 B 两点 ， 则 AB 所在直线的方程为 ：x 0 xa 2+y 0 yb 2=1 离心率取值范围： 【例题 】 答案： 1/3，

3、 1） 【 变式题 】 过焦点 直线 倾斜角与离心率 关系 ： （三大圆锥曲线均满足） 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ） 的两个焦点分别是 F 1 、 F 2 ，若椭圆上存在点 P 使得 P F 1 =2 P F 2 ， 则离心率 e 的取值范围为 _ 。若椭圆上存在点 P 使得 P F 1 = P F 2 0 且 1( ) ， 则有离心率 e - 1+ 1 ， 1 ）。过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ） 焦点 F c ， 0( ) 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点 ， 若 AF = FB 0( ) ， 则有 ： c o s = -1e

4、 + 1( )，若直线斜率 k 存在 ， 则有 k 2 = e 2 + 1 -1( )2-12、焦点 相关公式、结论 焦半径倒数和： （三大圆锥曲线均满足 ，双曲线 AB 需在同一支 ） 焦点弦垂直平分线结论： （三大圆锥曲线均满足） 焦点三角形结论： 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ） 焦点 F c ， 0( ) 且不平行于坐标轴的弦为 AB ，AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P ， 那么有结论 ：PFAB=e2椭圆x2a2+y2b2=1 （ a b 0 ） 上一点 P x0， y0( )， F1P F2= ， 那么有结论 ：（ 1 ） c os =2 b2P F1P

5、 F2-1 ， 故 m a x= F1B F2（ 2 ） P F1P F2 b2， a2 （ 3 ） PF1 PF2 2b2- a2， b2 （ 4 ） SF1P F2= b2 t an2过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ） 焦点 F c ， 0( ) 且不平行于坐标轴的弦为 AB ，则两条焦半径倒数和为 ：1AF+1BF=4L=2ab 2椭 、 双( ) =2P抛( )3、 其他 公式、 结论 中心三角形 结论 顶点 三角形结论： 中点弦 结论： 已知椭圆x2a2+y2b2=1 （ a b 0 ）， 直线 L 与椭圆交于 A 、 B 两点 ， 在 A O B 中 ，AB

6、边上的高为 OD ， 则有（ 1 ） A O B 90 等价于 1OD21a2+1b2；（ 2 ） A O B 90 等价于 1OD21a2+1b2；（ 3 ） A O B 90 等价于 1OD21a2+1b2。已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ）， 直线 L ： y = kx+ m 与椭圆交于 A 、 B 两点 ，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， 则直线 L 过定点a a 2 - b 2( )a 2 + b 2， 0( )已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （ a b 0 ）， 直线 L ： y = kx+ m 与椭圆交于 A 、 B 两点 ，且 AB 中点

7、为 M （ x 0 ， y 0 ）， 则有 k= b 2a 2x 0y 0二、 双曲线 1、 方程 、离心率 的公式 、 结论 切线 方程： 焦点到 渐近线 距离： 离心率取值范围： 2、焦点 相关公式、结论 焦点三角形结论： 双曲线 x2a 2 y 2b 2 =1 的一个焦点到其渐近线的距离为 b过双曲线 x2a 2 y2b 2=1 上一点 P x 0 ， y 0( ) 的切线方程为 ：x 0 xa 2y 0 yb 2=1若双曲线上存在点 P 使得 P F 1 = P F 2 1( ) ， 则有离心率 e （ 1 ， 1 1 。双曲线x 2a 2y 2b 2=1 （ a 0 ， b 0 ）

8、上一点 P x 0 ， y 0( ) ， F 1 P F 2 = ， 那么有结论 ：（ 1 ） c os =1 2 b 2P F 1 P F 2（ 4 ） S F1 P F 2=b 2t an2 顶点 三角形结论： 中点弦结论： 三、 抛物线 1、方程 的 公式 、 结论 切线 方程 、切点弦所在方程 ： 2、焦点 相关公式、结论 焦点 弦公式 ： 过抛物线 y 2 = 2 p x （ p 0 ） 上一点 P x 0 ， y 0( ) 的切线方程为 ： y 0 y = p x+ x 0( )过抛物线 y 2 = 2 p x （ p 0 ） 外一点 P x 0 ， y 0( ) 往抛物线作两条切

9、线分别切抛物线于 A 、 B ， 则 AB 所在直线的方程为 ： y 0 y = p x+ x 0( )已知双曲线x 2a 2y 2b 2=1 （ a 0 ， b 0 ）， 直线 L ： y = kx+ m 与双曲线交于 A 、 B 两点 ，且以 AB 为直径的圆过双曲线的右顶点 ， 则直线 L 过定点a a 2 b 2( )a 2 b 2， 0( )已知双曲线x 2a 2y 2b 2=1 （ a 0 ， b 0 ）， 直线 L ： y = kx+ m 与双曲线交于 A 、 B 两点 ，且 AB 中点为 M （ x 0 ， y 0 ）， 则有 k=b 2a 2x 0y 0过抛物线 y 2 =

10、2 p x （ p 0 ） 焦点 F 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点 ，则 AB = 2ps i n 2 焦点三角形结论： 3、 其他 公式、 结论 顶点 三角形结论： 切点弦直径结论： 【 切记 】 推过的才是你自己的东西，加油！ 过抛物线 y 2 = 2 p x （ p 0 ） 焦点 F 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点 ，则 S A O B =p 22 s i n 已知抛物线 y 2 = 2 p x （ p 0 ）， 直线 L ： y = kx + m 与抛物线交于 A 、 B 两点 ，且以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 ， 则直线 L 过定点 2p ， 0( )过抛物线 y 2 = 2 p x （ p 0 ） 焦点的直线 L 与抛物线交于 A 、 B 两点 ，则过 A 、 B 两点的切线互相垂直且交点在准线上 。