1、三角形四心1、三角形外心：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：ABC 中，AB,AC 的垂直平分线 DO,EO 相交于点 O求证：O 点在 BC 的垂直平分线上证明：连结 AO,BO,CO，DO 垂直平分 AB，AO=BOEO 垂直平分 AC，AO=COBO=CO即 O 点在 BC 的垂直平分线上三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心 .2 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心
2、在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.BOC=2 BAC，AOB=2ACB，COA=2 CBA6.SABC=abc/4R2、三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心) 。三角形三条角平分线必交于一点证明己知：在ABC 中，A 与B 的角平分线交于点 O，连接 OC求证：OC 平分ACB证明：过 O 点作 OD,OE,OF 分别垂直于 AC,BC,AB,垂足 分别为 D,E,FAO 平分 BAC,OD=OF；BO 平分ABC,OE=OF ；OD=OFO 在ACB 角平分线上 CO 平分ACB性质：1.三角
3、形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r3.r=2S/(a+b+c)4.在 RtABC 中，C=90，r=(a+b-c)/25.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S=(a+b+c)r/2 (r 是内切圆半径 )3、三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用 H 表示 )。三角形的三条高必交于一点已知：ABC 中，AD 、BE 是两条高，AD、BE 交于点 O，连接 CO 并延长交 AB 于点 F求证：CFAB证明：连接 DE ADB=AEB=90,且在 AB 同旁，A
4、、B、D、E 四点共圆 ADE= ABE （同弧上的圆周角相等）EAO=DAC AEO=ADC =90AEO ADC AE/AD=AO/AC 即 AE/AO=AD/ACEADOAC ACF=ADE= ABE又ABE+BAC=90 ACF+BAC=90 CFAB三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它 旁心三角形的垂心3. 垂心 O 关于三边的对称点，均在ABC 的外接圆圆上。4.ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个) 相似的直角三角形，且AOOD=BOOE
5、=COOF5. H、A、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心( 并称这样的四点为一垂心组)。6.ABC，ABO ，BCO，ACO 的外接圆是等圆。7.在非直角三角形中，过 O 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q ，则 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。9.设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三
6、角形的内接三角形( 顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角ABC 内有一点 P，那么 P 是垂心的充分必要条件 是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。14.设 H 为非直角三角形的垂心，且 D、E、F 分别为 H 在 BC，CA，AB 上的射影，H1，H2，H3 分别为AEF，BDF，CDE 的垂心，则 DEFH1H2H3。15.三角形垂心 H 的垂足三角形的三边，分别平
7、行于原三角形外接圆在各顶点的切线。4、三角形的重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。三角形的三条中线必交于一点已知：ABC 的两条中线 AD、CF 相交于点 O，连结并延长 BO，交 AC 于点 E。求证：AE=CE证明：延长 OE 到点 G，使 OG=OBOG=OB,点 O 是 BG 的中点 又点 D 是 BC 的中点OD 是BGC 的一条中位线ADCG点 O 是 BG 的中点，点 F 是 AB 的中点 OF 是BGA 的一条中位线 CF AGADCG，CFAG,四边形 AOCG 是平行四边形 AC、OG 互相平分,AE=CE三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离
8、之比为 2：1 。2.重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。3.重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。5、三角形的旁心 ：1、三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心。2、旁心常常与内心联系在一
9、起，旁心还与三角形的半周长关系密切，三角形有三个旁心。三角形旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。4、三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。欧拉线：非等边三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。其中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证法 1：作ABC 的外接圆，连结并延长 BO，交外接圆于点 D。连结 AD、CD、AH、CH 、OH。作中线 AM，设 AM 交 OH 于点 G B
10、D 是直径 BAD、BCD 是直角 ADAB，DC BC CHAB，AHBC DACH，DCAH 四边形 ADCH 是平行四边形 AH=DC M 是 BC 的中点，O 是 BD 的中点 OM= 1/2DC OM= 1/2AH OMAH OMG HAGAG/GM=2/1 G是ABC 的重心 G 与 G重合 O、G、H 三点在同一条直线上如果使用向量,证明过程可以极大的简化 ,运用向量中的坐标法 ,分别求出 O G H 三点的坐标即可.欧拉线的证法 2：设 H,G,O,分别为ABC 的垂心、重心、外心。连接 AG 并延长交 BC 于 D, 则可知 D 为BC 中点。连接 OD ，又因为 O 为外心
11、，所以 ODBC。连接 AH 并延长交 BC 于 E,因 H 为垂心, 所以 AEBC 。所以 OD/AE，有 ODA=EAD。由于 G 为重心，则 GA:GD=2:1。连接 CG 并延长交 BA 于 F,则可知 F 为 AB 中点。同理，OF/CM.所以有OFC= MCF连接 FD，有 FD 平行 AC,且有 DF:AC=1:2。FD 平行 AC，所以DFC=FCA，FDA=CAD ，又OFC=MCF，ODA=EAD，相减可得OFD= HCA,ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以 OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1 所以 OD:HA=GA:GD=2:1又ODA= EAD，所以OGDHGA。所以OGD=AGH,又连接 AG 并延长，所以AGH+ DGH=180,所以OGD+DGH=180。即 O、G、H 三点共线。欧拉线的证法 3：设 H,G,O,分别为ABC 的垂心、重心、外心.则向量 OH=向量 OA+向量+OB+向量 OC向量 OG=（向量 OA+向量 OB+向量 OC）/3 ，向量 OG*3=向量 OH所以 O、G、H 三点共线
