1、（2） 球与正三棱锥,正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上,球心在高PH上，即在锥体内部,球心在高PH的延长线上，即在锥体外部,球心与底面正中心H重合,度量关系：,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，,或在RtAHO中，,正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）,有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在筝形OKDH 中进行。OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P-BC-A的平面角。,把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，斜高为h ，
2、内切圆半径为r，,正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）,A,解：,设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ABC的中心.,延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，PAM=90,由Rt中的射影定理得：,法二,由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtAHO,有：,题目：,题目：,正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( ),解析：,设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，三侧棱两两垂直，各侧面都是全等的等腰直角三角形。,代入正三棱锥内切球半径公式：,得：,又 正三棱锥外接球半径,D,
3、已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足,同理，PBPC, PCPA , 即PA、PB、PC两两互相垂直,易知，该三棱锥三个侧面均为Rt，所以，其侧面积为,解析：,则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）,A,题目：,提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直,正三棱锥对棱互相垂直，即SBAC,又SBMN,且AMMN,所以，SB平面SAC。故，SBSA,SBSC,进而，SASC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径,设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆的面积为 （ ）,在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，
4、若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）,C,题目：,解析：,C,巩固练习,从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）,因PA与球O相切于点A， OAPA,同理，OBPB,OCPC.,RtPOARtPOBRtPOC PA=PB=PC,又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC为全等的 等边三角形，P-ABC为正四面体；O-ABC为正三棱锥。,解析：先想象一下图形，画出示意图,由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AHPH.在RtPA
5、O中，有：,B,4 球与棱柱切接问题举例,正三棱柱的外接球,球心在上下底面中心连线的中点。,AOB是等腰三角形，OA=OB=R,设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。,正三棱柱的内切球,如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。,解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为.,（2009全国卷理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
6、 , ，则此球的表面积等于 。,真题赏析,（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径为2的球，若两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ,真题赏析,由球面距离公式：,解析：,设正ABC的外接圆半径为r,球心O到平面ABC的距离为,8,一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为,棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ）,B,八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.,解析：,M,N,设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：,作业：,已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为，满 足 ,则三棱锥外接球的体积为,如图, 设A、
7、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且,，则AD两点间的球面距离 .,提示：,由已知得：球心O为正三棱锥底面ABC的中心。如图，则有PAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。,设底面正边长为a，侧棱长为b，则,提示：,AOD为等边三角形.,半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是 ， 点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。,求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比,解：球面距离,OA=OB=OC=1, 设球的内接正方体棱长为a，则,A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两
8、点间的球面距离均为 ，球心为O。,求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比,解：球面距离,OA=OB=OC=1, 设球的内接正方体棱长为a，则,法二：易知AO垂直于平面BOC。,有人抄错题了，把 和 交换了一下，那么，答案还一样吗？,则三棱柱的体积为 （ ）,在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线, 该直线被球面截在球内的线段长为 ( ),一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为,D,C,三棱锥PABC的四个顶点都在半径为5的球面上，球心在三棱锥内，底面ABC所在的小圆面积为16 ，则该三棱锥的高的最大值为 8 .,底面ABC所在小圆半径为,祝同学们学习愉快！ 谢谢！再见！,欢迎批评指导！,
