1、1三度、三定理 三度、三定理1.标量场、梯度2.矢量的通量、 散度 散度 散度 散度 散度 散度 散度 散度 、高斯定理3.矢量的环流、 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 、斯托克斯定理4.亥姆霍兹定理“三度 三度 三度 三度 三度 三度 三度 三度 ”、 、 、 、 、 、 、 、 “三定理 三定理 三定理 三定理 三定理 三定理 三定理 三定理 ”21. 标量场、梯度 标量场、梯度 标量场在空间的分布和变化规律 等值面，方向导数，梯度 标量场可以用一个标量函数表示：)(),( ruzyxuu v=等值面 Cruzyxuu = )(),( v 等值 面 等值 面 等值 面 等值
2、 面ba cd等值面 ?3如何了解标量场 如何了解标量场 如何了解标量场 如何了解标量场 如何了解标量场 如何了解标量场 如何了解标量场 如何了解标量场 中某一点的标量 中某一点的标量 中某一点的标量 中某一点的标量 中某一点的标量 中某一点的标量 中某一点的标量 中某一点的标量 函数 函数 函数 函数 函数 函数 函数 函数 U沿某一方 沿某一方 沿某一方 沿某一方 沿某一方 沿某一方 沿某一方 沿某一方向的变化情况？ 向的变化情况？ 向的变化情况？ 向的变化情况？ 向的变化情况？ 向的变化情况？ 向的变化情况？ 向的变化情况？方向导数： 方向导数： 方向导数： 方向导数： 方向导数： 方向
3、导数： 方向导数： 方向导数： 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率 某一方向对距离的变化率方向导数 方向导数 方向导数 方向导数 方向导数 方向导数 方向导数 方向导数等 值 面ba cd lU40cos cos cosuu u ul x y zGl = + +=v方向导数 方向导数 方向导数 方向导数 方
4、向导数 方向导数 方向导数 方向导数 lUlMuMululM = )()(im000xoz),( 0000 zyxM ),( 000 zzyyxxM +xyzl )cos,cos,(cos:0 llvvzerxer yerym ax|uGl= v x y zuuugraduGeeez=+vv v v5标量的 标量的 “梯度 梯度 ”？ ？ ？ ？ “爬山 爬山 爬山 爬山 ”同样的增量情况下，沿什么方向最陡 同样的增量情况下，沿什么方向最陡 同样的增量情况下，沿什么方向最陡 同样的增量情况下，沿什么方向最陡 ”？ ？ ？ ？梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度是表示 是表示 是表示 是表示 是表示
5、 是表示 是表示 是表示 标量 标量 标量 标量 标量 标量 标量 标量 最大空间增长率 最大空间增长率 最大空间增长率 最大空间增长率 最大空间增长率 最大空间增长率 最大空间增长率 最大空间增长率 的大小和方向的 的大小和方向的 的大小和方向的 的大小和方向的 的大小和方向的 的大小和方向的 的大小和方向的 的大小和方向的 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 。 。 。 。 。 。 。 。gradUU=Gradientgrad方向导数中沿那个方向 方向导数中沿那个方向 方向导数中沿那个方向 方向导数中沿那个方向 标量函数对距离的 标量函数对距离的 标量函数对距离的 标量函数对距
6、离的 变化率最大？ 变化率最大？ 变化率最大？ 变化率最大？等 值 面ba cd哈密顿算符： 哈密顿算符： 哈密顿算符： 哈密顿算符： H amiltonianH H H H H H Hx y zeee=+vvv6不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示柱面坐标系中： 柱面坐标系中： 柱面坐标系中： 柱面坐标系中： zeyexe zyx += vvv直角坐标系中： 直角坐标系中： 直角坐标系中： 直角坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系
7、中： += sin11 RaRaRaR rrr zerere zr += vvv 17如何记忆 如何记忆 如何记忆 如何记忆 如何记忆 如何记忆 如何记忆 如何记忆 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？dzadyadxald zyx rrrr +=直角坐标系： 直角坐标系： 直角坐标系： 直角坐标系： 直角坐标系： 直角坐标系： 直角坐标系： 直角坐标系： dld zayaxa zyx += rrr?=ldr8柱面坐标系： 柱面坐标系： 柱面坐标系： 柱面坐标系： 柱面坐标系： 柱面坐标系： 柱面坐标系： 柱面坐标系： dzadradrald zr rrr += )( zararazr += rr1
8、dld?=ldr9球坐标系： 球坐标系： 球坐标系： 球坐标系： 球坐标系： 球坐标系： 球坐标系： 球坐标系： )sin()( dRadRadRald += rrrr += sin11 RaRaRaR rrrdld?=ldr10不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 不同坐标系下 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示 的表示柱面坐标系中： 柱面坐标系中： 柱面坐标系中： 柱面坐标系中： zueyuexueu zyx += vvv直角坐标系中： 直角坐标系中： 直角坐标系中： 直角坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系中：
9、 球坐标系中： 球坐标系中： += uRauRaRuauR sin11rrr zueurerueu zr += vvv 1U1例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题已知： 已知： 已知： 已知： cos),( 0= RVRVV求： 求： 求： 求： 求： 求： 求： 求： 令： 令： 令： 令： 令： 令： 令： 令： Er?=直接法 直接法 直接法 直接法 直接法 直接法 直接法 直接法 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ 球坐标系梯度公式！ += sin11 RaRaRaR rr
10、r ?=VEr ?=sincos 00 VeVeVE R rrv +=12例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题距离矢量 ，求标量场 的梯度R1 )1(RrrRvvv =13源点与场点 源点与场点源点：场点： ),( zyxrr R源点 场点O),(zyx14例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题距离矢量 ，求标量场 的梯度R1 )1(RrrRvvv =zueyuexueu zyx += vvv?=u )()()( zzeyexerrR yx +=vv203)1( RRR vv= 0Rv rrRvvv =是 是 是 是 单位矢量 单位矢量 单位矢量 单位矢量15特例 特例1 1
11、(), ()?R R 1 1() ()R R=162.矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度矢量线 矢量线 矢量线 矢量线 矢量线 矢量线 矢量线 矢量线 -线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 线上每一点的切线方向与该点矢量场的方向相同 向相同 向相同 向相同 向相
12、同 向相同 向相同 向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小0Fdl=vv172.矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量的通量和散度 矢量 矢量 沿某一有向曲面 沿某一有向曲面 的面积分 的面积分 Av Sv矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 在某一 在某一 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 的 的 面积分 面积分 面积分 面积分 面积分 面积分 面积分 面积分 称为 称为 通过该面的 通过该面的 通
13、过该面的 通过该面的 通过该面的 通过该面的 通过该面的 通过该面的 通量 通量 通量 通量 通量 通量 通量 通量 。 。 cosns sAdSAedSAdS= = vvv通量 通量 (Flux)数学描述： 数学描述： 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 有向曲面 ： ： ： ： ： ： ： ： 开表面 开表面 开表面 开表面 开表面 开表面 开表面 开表面 ， ， ， ， ， ， ， ， 右螺旋 右螺旋 右螺旋 右螺旋 右螺旋 右螺旋 右螺旋 右螺旋 闭合曲面 闭合曲面 闭合曲面 闭合曲面 闭合曲面 闭合曲面 闭合曲面 闭合曲面 ，外法线 ，外法线 ，外法
14、线 ，外法线 ，外法线 ，外法线 ，外法线 ，外法线18通量的应用 通量的应用判断闭合曲面内源的性质 0=0 无源负源正源19AAdivVsdAVAdiv Srr rrr= = 0lim散度 散度 散度 散度 散度 散度 散度 散度定义： 定义： 定义： 定义： 定义： 定义： 定义： 定义： 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 净流出的 净流出的 净流出的 净流出的 净流出的 净流出的 净流出的 净流出的 通量，称为散度 通量，称为散度 通量，称为散度 通量，称为散度 通量，称为散度 通量，称为散度 通量，称为散度 通量，称为散度通
15、量 通量 通量 通量 通量 通量 通量 通量 描述整个体积 描述整个体积 描述整个体积 描述整个体积 描述整个体积 描述整个体积 描述整个体积 描述整个体积 “流量 流量 流量 流量 流量 流量 流量 流量 ”的情况， 的情况， 的情况， 的情况， 的情况， 的情况， 的情况， 的情况， 场中某一点附近的 场中某一点附近的 场中某一点附近的 场中某一点附近的 场中某一点附近的 场中某一点附近的 场中某一点附近的 场中某一点附近的 “流量 流量 流量 流量 流量 流量 流量 流量 ”？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？20直角坐标系中散度表达式 直角坐标系中散度表达式 直角坐标系中散度表达式 直角坐标
16、系中散度表达式 直角坐标系中散度表达式 直角坐标系中散度表达式 直角坐标系中散度表达式 直角坐标系中散度表达式( )( )yx zx y z xxyyzzAA AdivA yzeeeeAeAeAA =+=+ +=rvvv vvvv21柱面坐标系中： 柱面坐标系中： 柱面坐标系中： 柱面坐标系中： zAyAxAA zyx +=r直角坐标系中： 直角坐标系中： 直角坐标系中： 直角坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系中： 球坐标系中： += ARARARRA R sin1)sin(sin1)(122r zAArArrA zr += 1)(1r不同坐标系下散度的表示 不同坐标系下散度的表
17、示 不同坐标系下散度的表示 不同坐标系下散度的表示 不同坐标系下散度的表示 不同坐标系下散度的表示 不同坐标系下散度的表示 不同坐标系下散度的表示2散度的物理意义 散度的物理意义1.矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的 函数2.散度代表矢量场的通量源的分布特性0=Ar 0=Ar 0=Ar无源 (无散 )有源 有洞23= VsdAVAdiv S rrr 0lim散度定义 散度定义 散度定义 散度定义 散度定义 散度定义 散度定义 散度定义含义： 含义： 含义： 含义： 含义： 含义： 含义： 含义： 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的 单位体积的
18、净流出 净流出 净流出 净流出 净流出 净流出 净流出 净流出 通量 通量 通量 通量 通量 通量 通量 通量那么： 那么： 那么： 那么： 那么： 那么： 那么： 那么： =SV sdAdvA rrr)( AAdivrr=高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理24高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 高斯定理 =SV sdAdvA rrr)(矢量场 矢量场 矢量场 矢量场 矢量场 矢量场 矢量场 矢量场 散度 散度 散度 散度 散度 散度 散度 散度 的 的 的 的 的 的 的 的 体积分 体积分 体积分 体积分 体积分
19、 体积分 体积分 体积分该矢量穿过 该矢量穿过 该矢量穿过 该矢量穿过 该矢量穿过 该矢量穿过 该矢量穿过 该矢量穿过 包围该体积 包围该体积 包围该体积 包围该体积 包围该体积 包围该体积 包围该体积 包围该体积 的 的 的 的 的 的 的 的 封闭曲面 封闭曲面 封闭曲面 封闭曲面 封闭曲面 封闭曲面 封闭曲面 封闭曲面 的 的 的 的 的 的 的 的 总通量 总通量 总通量 总通量 总通量 总通量 总通量 总通量G aussG G G G G G G s Law25例题（答案 例题（答案 120 )在由 r 5， z 0， z 4围成的圆柱形区域，对矢量 验证散度定理zereAz22vv
20、v += =SV sdAdvA rr)(23 1)(1+= +=r zAArArrA zr r26例题（答案 例题（答案 120 ) 120|)(8 )23()23()(5023 5024020=+= += rr drrrdzddzrdrdvAVVr 120 0|25*2|4*2452= + += = zrS zrr sdAsdAsdAsdA rrrrrrrr 下表面上表面侧面273.矢量的环量和旋度 矢量的环量和旋度矢量的环量 矢量的环量 矢量的环量 矢量的环量 矢量的环量 矢量的环量 矢量的环量 矢量的环量 (流 流 流 流 流 流 流 流 )：矢量 ：矢量 ：矢量 ：矢量 ：矢量 ：矢量
21、 ：矢量 ：矢量 沿 沿 沿 沿 沿 沿 沿 沿 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 的 的 的 的 的 的 的 的 标量线积分 标量线积分 标量线积分 标量线积分 标量线积分 标量线积分 标量线积分 标量线积分矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 矢量 沿 沿 沿 沿 沿 沿 沿 沿 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 闭合路径 的环流 的环流 的环流 的环流 的环流 的环流 的环流 的环流Ar C ldACrrdlaldlrr=CAr28环流的应用 环流的应用环流是描述场的性质的另外一个重要量 0=ldACr
22、r 0ldACrr无旋场 有旋场29矢量的 矢量的 矢量的 矢量的 矢量的 矢量的 矢量的 矢量的 “旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 旋度 ”SldASCrr0lim旋度的定义 旋度的定义 旋度的定义 旋度的定义 旋度的定义 旋度的定义 旋度的定义 旋度的定义 环 量 环 量 环 量 环 量 描 述 的 是 有 向 闭 合 曲 线 所 围 的 区描 述 的 是 有 向 闭 合 曲 线 所 围 的 区描 述 的 是 有 向 闭 合 曲 线 所 围 的 区描 述 的 是 有 向 闭 合 曲 线 所 围 的 区间 环 流 状 态 ， 是 一 个 宏 观 量 ， 场 中 某 点间 环 流 状
23、 态 ， 是 一 个 宏 观 量 ， 场 中 某 点间 环 流 状 态 ， 是 一 个 宏 观 量 ， 场 中 某 点间 环 流 状 态 ， 是 一 个 宏 观 量 ， 场 中 某 点的环流状态？ 的环流状态？ 的环流状态？ 的环流状态？ AArotrr= An0M30不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式 不同坐标系中旋度表示式x y zx y zeeeAxyzAAA=vvvv( )( )( )x y zz y x z y xrotAeAAeAAeAAyz zx xyA =+ =v v vvv直角坐标系 直角坐标系 直角坐标系 直角坐标系 直角坐标系 直角坐标系 直角坐标系 直角坐标系
