1、资产组合的有效集定理(一)资产组合收益与风险的测定1、资产组合的收益资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。设一项资产组合中含有 n 项资产，令 ri表示第 i 种资产的收益率， wi表示第 i 种资产在组合中的比例。则组合 P 的预期收益率为：E(rP)=E(w1r1+ w2r2+ wnrn)= w1E(r1)+ w2E(r2)+ wnE(rn)= wiE(ri)其中， wi =1， i=1，2， n。2、资产组合的风险衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。资产组合的方差不仅和其组成资产的方差有关，同时还与组成资产之间的相关程度有关。对于有 n 项资产的组合 P 来说，
2、其总方差为： P2= wi wjcov(ri， rj)； wi和 wj分别表示资产 i 和资产 j 的投资权重其中当 i=j 时， cov(ri， rj)表示资产 i 收益的方差，即 cov(ri， rj)= i2当 ij 时， cov(ri， rj)表示资产 i 和资产 j 收益间的协方差。用公式表示：cov(ri， rj) =E ri- E(ri) rj- E(rj)协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。如果 cov(ri， rj)0，即协方差为正数，那么证券 i 和证券 j 的收益呈同向变化，即当证券 i 的收益大于其预期收益 E(ri)时，证券 j 的收益也大于它的预期收益。反之，如
3、果 cov(ri， rj)04、马克维茨有效集的形状凹形(1)凹性相对于 X 轴(2)含义：(3)凹形的判断方法请参考前面判断投资者风险类型的方法凹形：将曲线上任意两点相连，连线低于曲线根据 有效 的含义：同一风险、最大收益；同一收益，最小风险投资者总是更偏好均值方差图中左上方的点，即更高的收益、更低的风险。所以，将有效边界 AB 上的任意两点 L 和 H 连线，点 C 是 LH 连线上的一点。其中，点 L 代表风险资产的一种有效组合，点 H 代表风险资产的另一种有效组合。由于点 C 是 LH 连线上的一点，因此点 C 是风险资产有效组合 L、H 所构成的一种新的线性组合。例如，E(R C)=
4、WLE(RL)+ WHE(RH)而点 D 是马克维茨有效集 AB 上的一点，点 D 与点 C 的风险水平相同。根据凹形的含义：曲线上的点高于任意两点连线上的点，即点 D 高于点C，因此，E(R D)E(R C)可见，马克维茨有效集上的点 D 满足同一风险、最大收益。同样地，将点 C 与马克维茨有效集 AB 曲线上的点 E 相比，点 C 与点 E 处于同一收益，但是点 E 的标准差要小于点 C。说明，马克维茨有效集上的点 E 满足同一收益、最小风险。反之，如果马克维茨有效集呈凸性，则有效边界上的点不符合同一风险水平下，最大收益；同一收益水平下，最小风险。所以，有效边界必然呈凹形。（五）无差异曲线
5、与最优投资组合1、无差异曲线确定投资组合的有效集后，投资者可根据自己对风险的个人偏好从这个有效集中选出更适合自己的投资组合。投资者的个人偏好可以用无差异曲线来描述。这里的无差异曲线和消费者效用函数中的无差异曲线非常类似，是指能为投资者带来同等效用水平（即满足程度）的收益和风险的不同组合。风险偏好不同的投资者，其无差异曲线的形状也不同。尽管如此，绝大多数投资者的无差异曲线具有凸性，这是因为绝大多数的投资者都是风险厌恶者。凸性的无差异曲线表明随着投资风险的上升，投资者要求以越来越多的收益作为承受风险的补偿。换言之，投资者越来越难以忍受风险。风险厌恶者的无差异曲线具有以下六个特点：(1)无差异曲线是
6、由左至右向上弯曲的曲线-说明投资者要么喜欢低风险、低收益的组合，要么喜欢高风险、高收益的组合。(2)每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面。同时，由于不同的无差异曲线代表不同的满足程度，因此不同的无差异曲线不会相交。(3)同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。(4)不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。(5)无差异曲线的位置越高，其上的投资组合给投资者带来的满意程度就越高。投资者总是更偏好于均值方差平面上靠近左上方的无差异曲线上的组合，因为它代表着更高的收益和更小的风险。(6)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。2、最优投资组合最优投资组合是指一
7、个投资者选择一个有效的投资组合并且具有最大效用。有效边界是客观存在的一条曲线，它告诉我们哪些组合是有效的。但是投资者具体选择有效边界上的哪一点进行投资，则取决于投资者的个人主观偏好。投资者的个人偏好可以通过无差异曲线来反映。因此，在确定最优投资组合时，必须同时考虑有效边界和无差异曲线。对于投资者而言，无差异曲线的位置越高越好，此时投资者可以在更低的风险水平上获取更高的收益。投资者需要在有效边界上找到一个具有下述特征的有效组合：相对于其他有效组合，该组合所在的无差异曲线位置最高。这样的投资组合便是他最满意的有效组合，而它恰恰是无差异曲线与有效边界相切的切点所表示的组合。如下图所示，在均值方差平面上，由于无差异曲线具有凸性，表示随着风险的增加，投资者要求更多的收益作为补偿；有效边界具有凹形，表示随着风险的增加，收益增加的幅度在减慢。因此，对于每一个具体的投资者而言，在其众多的无差异曲线中，必然有一条与有效边界相切，如下图中的无差异曲线 l2与有效边界 AB 相切于点 O。切点 O 就是该投资者的最优投资组合，代表投资者能够实现的最大效用。
