1、复习 1无穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即： 存在，称级数收敛。1limnkSu2.若任意项级数 收敛， 发散，则称 条件收敛，若 收敛，则称级数1nu1nu1nu1n绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。.1nu2. 任何级数收敛的必要条件是 lim0nu3.若有两个级数 和 ，1nu1nv11,nnsv则 ， 。1()ns11nnu 收敛， 发散，则 发散。1nu1nv1()nv若二者都发散，则 不确定，如 发散，而 收敛。1()nu 1, k10k4三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：a) 等比级数： 0 11nar,收 敛 ， r发 散 ，b) P 级数： 1
2、pn收 敛 ，发 散 ，c) 对数级数： 2lpn收 敛 ， 1发 散 ，5.三个重要结论 收敛 存在 正项（不变号）级数 收 收，11()nalimnana2n反之不成立 ， 和 都收敛 收， 收2n2nbnbnnab 或复习 26常用收敛快慢正整数 由慢到快ln(0)(1)!nna连续型 由慢到快xxx7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1. 达朗贝尔比值法 1,limlim0),n nnlul 收发 （ 实 际 上 导 致 了单 独 讨 论 （ 当 为 连 乘 时 ）2. 柯西根值法 li1,nnul收发 （ 当 为 某 次 方 时 ）单 独 讨 论3. 比阶法 代数式 1111
3、nnnnnvuv收 敛 收 敛 ， 发 散 发 散 极限式 ，其中： 和 都是正项级数。limnuA1n1nv111111110 n nnnnnnn n nnnAuvuvuvkvvuvuvu是 的 高 阶 无 穷 小 收 敛 收 敛 ， 发 散 发 散 。是 的 同 阶 无 穷 小 和 敛 散 性 相 同 。是 的 高 阶 无 穷 小 收 敛 收 敛 ， 发 散 发 散 。， 32 21112lllnn n，也可选用基准级数 就可知原级11132200021nnnxxdudx 312n8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧 莱布尼茨判交错级数 （任意项级数的特例） 收lim0nu1nu0()n
4、u敛。这是一个必要条件，如果不满足，则 必发散，若只有不满足，则不一定0(1)n收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。复习 3 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。 任意项级数判敛的两个重要技巧：微分积分法 。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。a阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，bk9.幂级数 00()nnax1阿贝尔（Abel）定理如果级数 当 点收敛，则级数在圆0nax 2001 , =0nxxax 因 为 显 然 收 敛域 内绝对收敛；如果级数 当 点发散，则级数在圆域 外发散。由0xna 1x阿贝尔（Abel
5、 ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除 外，该定理0 并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如推论：如果 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个0nax0x确定的正数 存在，使得：R 1 nx Rax 当 时 ， 幂 级 数 绝 对 收 敛 ；当 时 ， 幂 级 数 发 散 ；当 与 时 ， 幂 级 数 可 能 收 敛 ， 也 可 能 发 散 ， 我 们 称 为 的 收 敛 半 径 。10幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知 ，若 ；则根据比值判敛法有
6、：00()nnax1limlinnaa或收敛。1000+11lim=limn naxxR 收 敛收敛半径 ： 。R1li, 00, nax全 平 面 收 敛 ,=只 有 一 个 收 敛 点复习 4收敛区间 ：级数在 收敛；幂级数的收敛00, xR000, xRxxR区间是非空点集，对 至少在 处收敛，对 至少在 处收敛。由阿00()nnax00na贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径 上）收敛性待定，故收敛域是R、 、 或 四种情况之一。00, xR00, xR00, x00, xR3在收敛区域内的性质(1) 的和函数 连续并有
7、任意阶导数；0naxfx(2) 可逐项微分 0n 10()nnfaxx(3) 可逐项积分 0n 1000()()xxnnnafdd(4) 绝对收敛。0nax11利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。 01nu(1,) 0()n(,) 0!nue(,)u 210si()!nn(,) 210co()!nnu(,)复习 5 11()ln(1)()ln2nnuu(,1u 0 0()()!nnn C (,)2130tanu 2130()rctnu1,u ，21 1 101 0 ln()1 ! !n
8、 n nnn nxxxxe e 5. 幂级数求和方法 函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述 10 各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法构造辅助幂级数法。付立叶级数 1周期函数展开成付里叶级数为在 上周期为 的周期函数，则()fx, l2l01 1()cos()(cossin), inlnn lafxdxa lf xbxllb 其 中特别地，当 时l011()cos()(cosin) 2 innn afxdafxxbb 其 中当 是偶函数()f复习 60 01012()cos ()cos2 lnnnxnxfxaafdl llfa当 是奇函数()fx 011 2
9、sin ()sin()i lnnx xfbbfdl llf 2非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数 只是定义在区间 ，两种区间可以令 相互转换，fx0, , l或 txl为了利用付里叶级数展开，必须将 拓展，其方式有两种，即：fx（1）偶拓展 令 ，使 成为 上的周期偶函数，展开后() 0lFxf()Fx, l取 上的函数值即为 的付里叶展开。0xl（2）奇拓展 令 ，使 成为 上的周期奇函数，展开() 0fxxl()x, l后取 上的函数值即为 的付里叶展开。0xlf3狄利克雷收敛定理设函数 在 上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，fx, l则 的付里叶级数收敛。并且：f 01 , 0(cosin) 2 2 n fxxfaSxxbfllxl 当 为 连 续 点， 当 为 第 一 类 间 断 点， 当 为 区 端 点
