1、1半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学教者王春雷 点评凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、 掌握半角公式及推导方法。2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。3、 能熟练、合理地运用公式。二、重点、难点分析1、 重点： 2S， C， 2T公式的推导、识记及熟练运用。2、 难点： ， 公式中双重符号的选择、 三个公式的灵活运用。2T三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。四、教学过程设计（一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下： cosin2si222 sin1csico （师生合作回
2、答，然后用投影显示）ta1ta评：从复习与新知相关的旧知入手， 为探讨新课题作铺垫。下面，我们一起来看一道习题： ，求 4cos和 的),0(,542cos2值。 （投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。师：那好，下面我们就一起来完成这道题： 2571)4(21cos2)(cos4 09cs212103cos2（生集体回答，师板书）103cos评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式
3、子，这时就需要考虑函数值的符号了。现在，我们再来看另一道习题，已知： ，求 2cos的值。),0(,54cos（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设 疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。生：不能。师：但如果我们把看成上题的 角，那 角就变成了上题的什么角？2生： 角。师：所以， 2cos的值是（稍作停顿）生： 。103师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的 角换成 角，把公式中的 角换2成 2角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式” 。 （师板书课题）评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知
4、的欲望与热情。（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式” 。先探讨如何将公式变形得出 2sin与 角的三角函数关系。生：由 ，从中解出 2sin。2sin12sico师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出 ，能否用更简洁的方法来求解呢？生：可以利用 得出 ，从而 2sincos12sin1co2cossi2师：（板书）对，但公式中“”号的确定是关键，是不是两个都要呢？生：（稍作讨论后回答）不是，应根据 角所在的范围中正弦的符号来选取。师：具体的说，就是 角在第一、二象限时取（稍作停顿）2生：“+”号。3师：当 角在第三、四象限时取（稍作停顿）2生：
5、“-”号。师：如果没有指明 角的范围呢？生：“”号都要。评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺 利地解决了“ ”号的确定这一关键性问题。师：很好。下面我们接着来研究 角的余弦。2生：利用 得出 ，从而 2cos1cos。1cos22cs1cos师：（板书）这里又出现了“”号，请大家参照刚才的方法总结一下。生：当 角在第一、四象限时取“+” ，在第二、三象限时取“-” ；如果没有指明 角的范围时， “”号两个都要。评：有了“半角正弦” 的推导作样板， “半角余弦”的导出自然水到渠成。师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦
6、公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？生：能。由商数关系得： cos12cos1cosin2ta 评：点拔恰当，在此使学生感受到“ 联想”的作用。师：（板书）由于分子、分母都有“”号，能否把“”号约掉？ 生：不能。师：那么又如何理解结果中的“”号呢？生：是分子、分母的“”号搭配的结果当分子、分母同号时取“+” ，分子、分母异号时取“-” 。师：由这一搭配的结果，你能根据 角所在的范围说出如何选取正切符号吗？2生：能。当 角在第一、三象限时取“+” ，在第二、四象限时取“-” ；当没有指明 角2 2的取值范围时，应该同时取“”号。师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符
7、号呢？（生困惑，议论）评：问题提得好，将学生自然引 导到对“ 半角正切”公式的深层探讨上。师：我们能不能利用乘除符号性质来判断 与 是同号还是异号呢？2cosin2cosi生：能，是同号。4师：那么 2tan与 呢？si生：也是同号。师：根据这种思路，下面我们进一步来研究 的公式，使它变得更简单，更便于使2tan用。由于 2cosinta，将 的分子、分母同时乘以 2 sin或 2 cos，使si2sin变成 ，那么会得到什么结果呢？i生： cos1in2csosncta或 sinicsi2sitan（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。下面，我们
8、一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。 （投影显示公式）2sincos1 （ ）2Sco。 （ ）2C （ 2T）cos12tanisin （ 2） 师：首先明确公式成立的条件，即 角的取值范围，先看、。生：公式、的条件是 。R师：再看公式、。生：对于公式、，需满足左、右两式均有意义，即： k2，且，所以 。0cos1Zk,)12(师：那么公式的条件呢？5生： k2，且 ，即： ，且 ，所以0sinZk,)12(k， 。Z师：公式、都是从式子 推出的，为什么成立的条件不相同呢？2cosita生：（稍作议论后回答）因为同乘以 2 in时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的等价性，需添上条件 ，
9、即 ，所以增加了公式的使用条件。kk师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。（投影显示图表）公 式 左端 取值范围右端 取值范围从左到右 取值变化2sincos1RR未变co未变cos1incs2tan)12(k)12(k未变i1变小,缩小范围为 k2师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列这四个式子， ， ， ， （投影显示）进行判cosinsi1sincosi1断，是否是 公式的表达式？2ta生：都不是。师：对，在 的表达式中，只含有三种不同的式子： cos1， s和 in，tn而 cos1若出现一定会在分母上，如、；若 出
10、现则一定出现出分子上，如、；而、两个公式，一旦分子或分母确定下来，另一个位置肯定就是 in。同时，根据 的性质，我们就可以很容易地建立起2cosintacos1与 2i，1与 的联系。当然，最好的记忆方法还应该是在6公式的应用中熟悉、并掌握下来。评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其 结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到 识记作用。 这样做可拓展学生的思 维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。3、巩固练习师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影：例：已知 ，根据下列条件求 2sin，cos，的值。54sin2tan ； 为第四象限的角。)2,(师：我们应
11、该用什么方法来解这道题呢？生：用半角公式。师：还需要什么条件吗？生：还需要知道 和 角的范围。cos2师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下。生：（板书）解： ),3(，4253cos211sin53cos2cocsinta21师：做得很好。特别值得肯定的是对 角范围的指出，因为公式中“”号的选择要看角的范围。2评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评价，非常重要，可使学生感受成功的乐趣。师：下面，我们来做。由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。生： 为第四象限， ，即 。kk22)(,24Zk当 k为偶数时， 为第四象限的角；当 为奇数时， 为第二象限的
12、角。7当 为第二象限时， 为正， 为正， 为负， 为负。2cos2incos2tan当 为第四象限时， 为正， 为负， 为正， 为负。师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？生：中的 是第四象限的角，中的 角也是第四象限的角，为什么只)2,3(有一组解，而却有两组解呢？师：问题提得好。这是因为中的 角是区间角，只是第四象限角中的一部分， 角只2有一种可能；而中的 是象限角， 角有两种可能。所以我们要在解题时一定要2注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。（三）归纳小结这节课我们一起导出了“半角公式” ，并做了初步的理解与应用。在这里我们要注意以下几点： 半角与
13、倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。 对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结合特例记忆（求异）来进行。 要处理好公式中双重符号的选择。 （投影显示以上三点）至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。评：必要的归纳、总结，起到将知识升华及迁移运用，使之转化为能力的作用。则对公式的灵活运用，有待后续课程的强 化。（四）布置作业：课本题 1、2、3 题4P五、课堂设计说明本节课没有直接给出公式，而是采用启发式教学，注重学生的参与度，通过提问、板演、投影、讨论等多种形式引导学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，培养学生联系转化的辩证思想。六、板书设计3
14、.3 半角的正弦、余弦、正切1、 二倍角公式（略）2、 半角公式（略）作业： 1、2、34P倍角公式复习题 半角公式推导 例 题（略）8总评：本课教者从与新知相关的旧知“二倍角公式” 复 习入手，设计了两道习题作为探求新知的引子，将所学新知识转化为用旧知识去研究解决，即符合认识规律，又为探求新知起到前期测诊及扫清障碍的作用。在讲授中，采用师生对话、合作 讨论的启发式教学方法，全程围绕教学目标开展，从旧知自然引申到新知，有层次地引导学生向深层探索，逐步展开，充分显示了教师的主导作用。而学生始终直接参与到学习新知识的活动中去，获得动脑以致动手的实践机会，自觉地积极思维，能 动地获得知识和技能，充分地体现了学生的主体地位。小结中强调的对公式的识记方法，起到了帮助学生对新知进行梳理的作用，而指出的“半角与倍角是相对的” ，起到了培养学生辩证唯物主义观点的作用。倘若有条件，让学生用刚学的“半角公式”和前学的“差角公式” 分别计算， ， 的值，学生会 发现两种结果不 统一，然后让学生思考如15sincos15tan何去解决答案不统一的问题，那效果更佳。
