1、5.2 换面法 1基本概念 在 V/H 投影体系中，三角形 ABC 是铅垂面，若欲得出三角形 ABC 的实际形状可以建立一个新的投影体系 V1/H。在建立新的体系 V1/H 时，使 V1ABC。换面法： 在上述实例中，原投影体系中的 V 为旧投影面，H 为保留（不变）投影面。V1 为新建投影面。新投影面的选择应符合如下条件：1) 新建投影面与保留投影面垂直,形成一个新的两面体系。2) 新建投影面在处于有利解题的位置，使问题简化。图 5-12点的换面 旧的两面体系 V/H，保留 H 面，新建 V1垂直 H，形成新的二面体系 V1/H。 点 A 向V1做投影 a1。在图 5-2 中，a1到 ox1
2、轴的距离反映了空间点 A 到 H 面的距离，在投影变换中，A到 H 的距离没有发生变化。而在旧的体系 V/H 中，A 点的 V 面投影 a到 ox 轴的距离=A 到 H 面距离 。因此,投影图 5-3 中，a1ax1=aax图 5-2 图 5-3换 H 面 （图 5-4）-（图 5-5）体现做图过程：无论变换点的正面投影还是水平投影 ，点在新，旧两投影体系中的投影之间，如下投影规律:1)新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴 2)新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离图 5-4 图 5-5 点的换面规律（1） 点的新图影和保留图影的连线垂直于新的图影轴；（2） 点的新图影到保留图影的距离等
3、于被替换的图影到旧图影轴的距离。3直线的换面3.1 将一般位置直线变换为投影面平行线例 5-1 如图 5-6，在 V/H 体系中有一般位置直线 AB，求 AB 的实长和 角。图 5-6 图 5-7分析： 我们知道，当直线平行于某个投影面时，直线在该投影面的投影反映直线的实长并且投影与投影轴的夹角反映直线对相应投影面的倾角，所以，欲求 AB 的实长和 角，可以建立一个新的投影面 V1，使 AB 与之平行；保留 H 面，去掉 V 面，即使新的投影轴 OX1ab（使图中红色部分出现）做图步骤：1）做 OX1ab2) 按点的换面规律，求出 a1,b13) 连接 a1b其即为 AB 的实长，且 a1b与
4、 OX1 夹角= （在 H/V1 二面体系中，AB 是 V1 面的平行线） 若欲求 AB 的实长和 AB 对 V 面的倾角 则可以保留 V 面，去掉 H 面，建立一个新的投影面 H1，使 AB 平行于 H1，如图 5-7,a1b1=AB 实长，a1b1 与 OX1 夹角=3.2 将投影面平行线变换为新投影面的垂直线例 5-2 如图 5-8,在 V/H 体系中有一正平线 AB。作投影变换，使之成为新建投影面的垂直线分析：在一个二面体系中，直线是某个投影面的垂直线，在这个投影面内，直线的投影积聚为一点，对于另一个投影面，直线是平行线现在 AB 对 V 面是平行线，故保留V 面，建立新的投影面 H1
5、 V，并使 ABH1 做图步骤：1）做 OX1ab2）按点的换面规律作出 a1, b1图 5-83.3 将一般位置直线变换为某投影面的垂直线。例 5-3, 如图 5-9，直线 AB 在 V/H 体系中是一般位置直线，利用换面法使它成为某个投影面的垂直线应进行二次换面，首先利用一次换面将直线变换为平行线，再进行二次换面将平行线变换为垂直线。做图步骤： 1）作 O1X1ab2）求出 a1, b13）作 O2X2a1b14）求出 a1, b1图 5-9例 5-4（直线换面应用）已知直线 ABCD ，求 AB 与 CD 之间的距离。分析：AB、CD 在 VH 体系中是一般位置直线；它们在 V 或 H
6、面上投影之间距离不能反映 AB 与 CD 的实际距离；故利用换面法使 AB,CD 与新的投影面垂直；在该投影面上AB,CD 的投影分别积聚为点；两点之间的距离反映了空间 AB,CD 的距离作图：1）第一次换面，使 AB,CD 平行新投影面，作 O1X1ab；2）作出 a1b1, c1d1；3）做 o2x2a1b1；4）作出 a2b2(重合)，c2d2（重合）；5）a2b2 与 c2d2 之间距离即为所求。图 5-104.平面的换面4-1 将一般位置平面变换成投影面垂直面在 V/H 两面体系中，平面 P 是一般位置平面，AB 是 P 与 H 面的交线， L1,L2是P 内与 H 平行的直线。分析
7、：现欲建立一个新的投影面 V1,使 V1P,且保留 H 面，则 V1 应H。V1 与 H面可形成一个新的二面体系，P 在这个二面体系 V1/H 中是 V1 的垂直面新建投影面 V1同时应与 H 面和 P 面垂直，则只要使 V1 与 H 面和 P 平面的交线垂直即可。进一步阐述，因 L1,L2,是平面 P 内的水平线，L1,L2交线 AB,则新建投影面 V1平面 P 内的水平线即可。图 5-11例 5-5用换面法使平面 ABC新建投影面 V1（保留 H 面）。如图 5-11做图步骤：1）在 ABC 内做一条水平线 Al(alox,l在 BC 上)2）做轴 o1x1al3）将 ABC 三点的 V1
8、 面投影作出，即为所求4-2 将投影面垂直面变换成投影面平行面分析：根据投影面平行面的投影特点，例如水平面 ABC 的 H 投影反映实形， V 面投影积聚为一条直线，且平行于相应投影轴，即 ABC V 面。例 5-6如图 5-12 现 ABC 平面H 面。欲建立新投影面使 ABC 与之垂直。图 5-12作图步骤：1）作轴 o1x1abc2）做 A,B,C,在新投影面上的投影 a1，b1，c13）连接 a1b1c1即为所求 ABCV1 面，在 V1 面内 ABC 投影，反映其实形。4-3 将一般位置平面变换为投影面平行面(如图 5-13)在 V/H 二面体系中,ABC 是一般位置平面，欲求其实形
9、。解：首先将 ABC 变换为投影面垂直面。第二次变换为投影面平行面。步骤：1）在 ABC 内作 A1 使 A1H 面2）做 O1X1a13）作出 a1b1c14）作 O2X2a1b1c15）作出 a2b2c2图 5-13例 5-7 求平面 ABC 与平面 CBD 的夹角当平面 ABD 和 CBD 同时垂直于投影面 Q 时(如图 5-14)，两平行面在 Q 上的投影分别积聚为直线，这两条直线之间的夹角反映了两平行面的夹角，故建立新的投影面使两平面的交线与新投影面垂直图 5-14做图步骤：(如图 5-15)1）做 o1x1bc 建立 V1 投影面2）将 ABCD 点的 V1 面投影作出， a1b1c1d13）做 o2x2c1b1建立新 H1 投影面4）作出 ABCD 在 H1 面上的投影（在 H1 投影面上 ABC,BCD 分别积聚为直线）图 5-15
