1、第 1 页 版权所有 不得复制高中数学 空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师 刘咏霞 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 郑建彬一、考点突破知识点 课标要求 题型 说明空间向量巧解平行、垂直关系1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。2. 理解直线的方向向量与平面的法向量。3. 能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用。选择题填空题解答题注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。考点一：直线的方向向量与平面的法向
2、量1. 直线 l 上的向量 a 或与 a 共线的向量叫作直线 l 的方向向量。2. 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ，此时向量 a 叫作平面 的法向量。【核心归纳】 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的。第 2 页 版权所有 不得复制【随堂练习】 已知 A（1，1，0） ，B（1，0，1） ，C （0，1，1） ，则平面 ABC 的一个法向量的单位向量是（ ）A. （1，1，1） B. 3(,)C. D
3、. (,)3 ,思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。答案：设平面 ABC 的一个法向量为 n（x ，y，z） ， （0，1，1） ，AB（1，1，0） ， （1，0，1） ，则 ，xyz，BCACC又单位向量的模为 1，故只有 B 正确。技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：（1）设出平面的法向量为 n（x，y，z） 。（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量 a（a 1，b 1，c 1） ，b（a 2，b 2，c 2） 。（3）根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组 0.n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。考点二：用向量法证明空间中的平行关系、
4、垂直关系线线平行 设两条不重合的直线 l，m 的方向向量分别为 a（a 1，b 1，c 1） ，b（a2，b 2，c 2） ，则 lmab（a 1，b 1，c 1）k （ a2，b 2，c 2）线面平行 设 l 的方向向量为 a（a 1， b1，c 1） ， 的法向量为 u（ a2，b 2，c 2） ，则 lau au 0a1a2b 1b2c 1c20面面平行 设 ， 的法向量分别为 u（a 1，b 1，c 1） ，v（a 2，b 2，c 2） ，则 uv（a1，b 1，c 1）k（a 2，b 2，c 2）线线垂直 设两条不重合的直线 l，m 的方向向量分别为 a（a 1，b 1，c 1） ，
5、b（a2，b 2，c 2） ，则 lmabab0a 1a2b 1b2 c1c20线面垂直 设 l 的方向向量为 a（a 1， b1，c 1） ， 的法向量为 u（ a2，b 2，c 2） ，则 lau ak u（a1，b 1，c 1）k（a 2，b 2，c 2） （kR ）面面垂直 设 ， 的法向量分别为 u（a 1，b 1，c 1） ，v（a 2，b 2，c 2） ，则 uv uv0a1a2b 1b2c 1c20【核心突破】 用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了
6、由“形” 转 “数”的转化思想。 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： 第 3 页 版权所有 不得复制建 立 立 体 图 形 与 空 间向 量 的 联 系 ， 用 空 间向 量 表 示 问 题 中 涉 及的 点 、 直 线 、 平 面 ，把 立 体 几 何 问 题 转 化为 向 量 问 题 。 通 过 向 量 运 算 ， 研 究点 、 直 线 、 平 面 之 间的 位 置 关 系 以 及 它 们之 间 的 距 离 和 夹 角 等问 题 。 把 向 量 的 运 算 结 果“翻 译 ”成 相 应 的 几何 意 义 。 例题 1 （浙江改编）如图，在四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，BCC
7、D，AD2，BD 2 ，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且AQ3QC。证明：PQ平面 BCD。思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。答案：证明：如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD 、OP 所在射线为 y、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz 。由题意知，A（0， ，2） ，B（0， ，0） ，D （0， ，0） 。22设点 C 的坐标为（x 0，y 0，0） 。因为 ，所以 Q 。3AC031,42xy因为 M 为 AD 的中点，故 M（0， ，1） ，又 P 为 BM 的中点，故 P ，,所以 。PQ0032,
8、4xy又平面 BCD 的一个法向量为 a（0，0，1） ，故 a0。Q又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD。技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。第 4 页 版权所有 不得复制例题 2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABCA 1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点。求证：AB 1平面 A1BD。思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。答案：证明：如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO，因为ABC 为正三角形，所以AOBC 。在正三棱柱
9、 ABCA1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1，取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 x 轴，y 轴，zOA轴建立空间直角坐标系，则 B（1，0，0） ，D （1，1， 0） ，A 1（0，2， ） ，A（0，0，3） ，B 1（1，2，0） 。3（1，2， ） ， （2，1，0） 。 =（1，2， ）A3设平面 A1BD 的法向量为 n（x ，y，z） ，因为 n ，n ，故 ，B130AxyzD令 x1，则 y2，z ，故 n（1，2， ）为平面 A1BD 的一个法向量，3而 （1，2， ） ，所以 n，所以 n，故 AB
10、1平面 A1BD。 1B技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面的法向量平行。例题 3 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABBC，ABBC 2，BB 11，E 为BB1 的中点，求证：平面 AEC1平面 AA1C1C。思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。答案：证明：由题意得 AB，BC，B 1B 两两垂直，以 B 为原点，分别以 BA，BC，BB 1所在直线为 x，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第 5 页 版权所有 不得复制则 A（2，0，0） ，A 1（2，0，1） ，C （0，2，0） ，C
11、1（0， 2，1） ，E （0，0， ） ，12则 （0，0，1） ， （2，2，0） ， （2，2，1） ，A（2，0， ） 。E设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1（x，y，z） ，则 10Cn20zxy令 x1，得 y1，n 1（1，1，0） 。设平面 AEC1 的一个法向量为 n2（x 0，y 0，z 0） ，则 210AEn002xyz令 z04，得 x01，y 01。n 2（1，1，4） 。n 1n2111（1）04 0，n 1n 2.平面 AEC1平面 AA1C1C。技巧点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面
12、垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直。向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系。恰当建系或用基向量表示后，只须经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化” ，降低了思维难度。利用向量解决立体几何中的探索性问题【满分训练】在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，棱 BB1 上是否存在一点 M，使得 D1M平面 EFB1。思路分析：设出点 M 的坐标，利用线面垂直列方程组求解。答案：建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，设正方体的棱长为 2，则E（2， 1，0） ，F（1，2，0）
13、，D 1（0，0，2） ，B 1（2，2， 2） 。设 M（2，2，m） ，则 （1，1，0） ， （0， 1，2） ，EF1BE（2，2，m2） 。1DD 1M平面 EFB1，D 1MEF， D1MB 1E， 0 且 0，第 6 页 版权所有 不得复制于是 ，m 1。20()故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M平面 EFB1。技巧点拨：对于“是否存在” 型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再进一步论证。另一种是利用空间向量，先设出假设存在的点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“ 存在点” ，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定 “不存在”。（答题时间：40 分钟）1.
14、 （东营高二检测）已知平面 的法向量为 a（1，2，2） ，平面 的法向量为b（2，4，k） ，若 ，则 k（ ） A. 4 B. 4 C. 5 D. 52. （青岛高二检测）若 ，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是（ ABCDE）A. 相交 B. 平行 C. 在平面内 D. 平行或在平面内3. 已知 （1，5，2） ， （3，1，z） ，若BC ， （x1，y，3） ，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为（ ）ABCPA. ， ，4 B. ， ，4 C. ， 2，4 D. 4， ，15750707074. （汕头模拟）如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为
15、 3，点 E 在 AA1 上，点 F在 CC1 上，且 AEFC 11。（1）求证：E，B，F ，D 1 四点共面；（2）若点 G 在 BC 上，BG ，点 M 在 BB1 上，GMBF，垂足为 H，求证：EM 23平面 BCC1B1。5. 下列命题中，正确的是_。 （填序号） 若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n1n 2 ； 若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n1n20； 若 n 是平面 的一个法向量，a 与平面 共面，则 na0； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。6. 平面上有四个互异的点 A，B，C，D，已知（ 2 ）（ ）BDCAB
16、C第 7 页 版权所有 不得复制0，则ABC 的形状是 三角形。7. 如图，直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，AB 2，AD 1 ，AA 13，M 是 BC 的中点。在 DD1 上是否存在一点 N，使 MNDC 1？并说明理由。8. （衡水调研卷）如图所示，在四棱柱 ABCD 中， 平面 ABCD，底1ABCD1面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 2。1（1）证明：AC ；1AB（2）是否在棱 A1A 上存在一点 P，使得 ，且面 AB1C1面 PB1C1。A1第 8 页 版权所有 不得复制1. D 解析：，ab，a b282k 0， k5。2. D 解
17、析： ， 、 、 共面，则 AB 与平面 CDE 的位ABCDEABCDE置关系是平行或在平面内。3. B 解析： ， 0，即 352z0，解得 z4，又BP平面 ABC， ， ，则 ，解得P1602xy。40715xy4. 证明：（1）以 B 为原点，以 BA，BC，BB 1 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则 B（ 0，0，0） ，E（3，0，1） ，F（0，3，2） ，D 1（3，3，3） ，则（3，0，1） ， （0，3，2） ， （3，3，3） ，所以 。由向EFBDBEF量共面的充要条件知 E，B，F，D 1 四点共面。（2）设 M（0，0，z
18、0） ，G ，则 ，而 （0，3，2） ，2,3GM02,3zBF由题设得 3z 020，得 z01。故 M（ 0，0，1） ，有BF（ 3，0， 0） 。E又 （ 0， 0，3） ， （ 0，3，0） ，所以 0， 0，1CE1BEBC从而 MEBB 1，ME BC。又 BB1BCB，故 EM平面 BCC1B1。5. 解析：一定正确，中两平面有可能重合。6. 等腰 解析：（ 2 ）（ ）DA（ ） （ ） 0，故ABC 为等腰三角形。DBADAC7. 解：如图所示，建立以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴的坐标系，则 C1（ 0，2，3） ，M（ ，2
19、，0） ，D （0，0，0） 。设 N（0，0，h） ，1第 9 页 版权所有 不得复制则 （ ，2，h） ， （0，2，3） ，MN11DC由 （ ，2 ，h） （0，2，3）43 h.1DC当 h 时， 0，此时 。存在 NDD 1，使 MNDC 1。431MN18. 证明：以 DA，DC，DA 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A 1（0，0， ） ，B（1，1，0） ，3D1（1，0， ） ，B 1（0， 1， ） ，C 1（1，1， ） 。3（1） （1，1，0） ， （1，1， ） ， 0，ACA 1B.C1（2）假设存在一点 P， ，P（ ，0， ） 。设平面 AB1C1 的一个法向量为 n1（x 1，y 1，z 1） ， （1，1， ） ， （2，1， ） ，AB3AC31102.xyzn令 z1 ，则 y13，x 10。n 1（0，3， ） 。同理可求面 PB1C1 的一个法向量为 n2（0， ，1 ） ，n 1n20， 0，即 4。P 在棱 A1A 上，与 0 矛盾。这样的一点 P 不存在。
