1、华南师大附中 2018 届高三综合测试（三）数学（理）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数 （ 为虚数单位） ，则 为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】故选2. 已知集合 ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，故故选3. “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当“ ”时，则 或 ，此时 可能无意义，故“ ”不一定成立而当“ ”时，则 或 ， “
2、 ”成立故“ ”是“ ”的必要不充分条件故选4. 已知 ，则 的值是（ ）A. B. C. -3 D. 3【答案】A【解析】 ，解得故选5. 如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿 轴折成直二面角，若 、之间的空间距离为 ，则 （ ）A. -1 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】由题设并结合图形可知即 ，故选6. 已知向量 ， ， ，若 与 的夹角为 ，且，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 选 A点睛：（1）在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式（2）要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向
3、量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的7. 已知 ， ， 满足约束条件 ，若 的最小值为 1，则 （ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】试题分析：不等式表示的可行域如图所示，把目标函数 转化为表示的是斜率为 ，截距为 的平行直线系，当截距最小时， 最小，当直线经过点 时， 最小，由得 ，因此 ，解得 ，故答案为 A.考点：线性规划的应用.8. （ ）A. 7 B. C. D. 4【答案】C【解析】 .故选：C9. 已知双曲线 ： ，点 为 的左焦点，点 为 上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为 ，且满足 ，若 ，则 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案
4、】B【解析】由题意可知，双曲线的右焦点 ， 关于原点的对称点为 ，则 ，四边形 为平行四边形则 ，由 ，根据椭圆的定义， ，在 中， ， ，则 ，整理得则双曲线的离心率故选点睛：本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知，四边形 为平行四边形，利用双曲线的定义和性质，求得 ，在在 中，利用勾股定理即可求得 ，根据双曲线的离心率公式即可求得答案。10. 如图是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数 的部分图象得 ，即有 ，从而，而 在定义域内单调递增， ，由函数的部分图象，结合抛物线的对称轴得到： ，解得 ，函数 的零点所在的区间是
5、；故选 B11. 函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 当 时， ，所以当 时， ，且只有一个极值点，所以舍去 B,C,D,选 A.12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题：当 时， ； 函数 有 2 个零点； 的解集为 ； ，都有 .A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】 由题意得，当 ，则 ，因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，所以是正确的；令 ，可解得 ，当 时，可解得 ，又函数 是定义在 上的奇函数，所以有 ，故函数的零点有 2 个，所以是正确的；因为当 时，由 ，解得 ，当 时，由 ，解得 ，故 的解集为 ，
6、所以是不正确的；因为当 时，由 ，图象过点 ，又 ，可知当 时， ，当 时， ，所以函数 处取得极大值 ，且当时，函数值趋向于 ，当 时，函数值趋向于 ， 由奇函数的图象关于原点对称可作函数 的图象，可得函数 ，所以 成立，综上所述正确的个数为 3 个，故选 B.考点：函数性质的综合应用.点睛：本题主要考查了函数的性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用，函数解析式的求解，函数单调性的应用，函数的图象即函数的零点等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题解答中正确把握函数的基本性质和正确作出函数的图象是解答问题的关键.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小
7、题 5 分，共 20 分.13. 曲线 在点 处的切线方程是_【答案】【解析】，故切线方程为 ，即14. 在 中， ， ， 为 ， ， 的对边， ， ， 成等比数列， ， ，则 _【答案】【解析】在 中， ， ，且 ， ， 成等比数列由余弦定理可得即15. 已知函数 ，若 ，满足 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】作函数 图象如下，满足，即故故 的取值范围为点睛：本题是一道关于分段函数的题目，关键是画出函数的图象。首先根据给出的分段函数，画出函数的图象，据此结合 ，满足 ，从而可以得到 的值，从而求得答案。16. 设有两个命题：关于 的不等式 （ ，且 ）的解集是 ；：函数 的定义域为 .如
8、果 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 由题意得，命题 为真命题可解得 ，命题 中，函数 的定义域为 ，当 时不成立，则 ，解得，因为 位真命题， 为假命题，额命题 和 必然一真一假，所以 或 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围是 或 三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17. 设数列 的前 项和为 ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）由 求 ，注意分类讨论：当 时, ，得=2，当 时, 得 （ ） 所以数列an是首项为 2、公比为
9、 2 的等比数列，最后由等比数列通项公式得 （2）因为 ，所以利用裂项相消法求和，本题是各项相消，注意规律，前面有两项，后面也有两项.试题解析：解：（1）由 得， （ ） ，两式相减得（ ） 当 n=1 时， =2，所以数列an是首项为 2、公比为 2 的等比数列，则 （2）由（1）知， ，所以 则数列 的前 n 项和考点：由 求 ，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 （其中a n是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例） ，还有一类隔一项的裂项求和，如
10、 或18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 ， 后，画出如下部分频率分布直方图 .观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.（2）从被抽取的数学成绩是 分以上（包括 分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取 个学生，设这四个学生中数学成绩为 80 分以上（包括 分）的人数为 （以该校学生的成绩的频率估计概率） ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） 分.（2） .（3）见解析.【解析】试题分析：通过各组的频率和等于 ，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可； 分别求出 ， ， 的人数是 ， ， ，然后利用古典概型概率求解即可；判断概率类型 ，即可写出 的分布列和数学期望
