1、布朗运动与伊藤引理的运用唐雨辰 3112352013 统计 2107一、引言1827 年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900 年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文投资理论中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格 不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所著名数学家 H.P.McKean 的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看
2、涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973 年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为期权和公司负债定价的论文，推导出了著名的 Black-Scholes 公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在 期权的理性定价理论 一文中提出了与 Black-Scholes 类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。二、相关概念和公式推导1、 布朗运动介绍布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运
3、动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。（1） 、标准布朗运动设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量 z 在 时间内的变化，遵tzt循标准布朗运动的 具有的两种特征：z特征 1： 和 的关系满足下式：t(2.1)z其中， 代表从标准正态分布（即均值为 0、标准差为 1.0 的正态分布）中的一个随机值。特征 2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。tz从特征 1 可知， 本身也具有正态分布特征，其均值为 0，标准差为 ，方z t差为 。t从特征 2 可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。现在我
4、们来考察遵循标准布朗运动的变量 z 在一段较长时间 T 中的变化情形。我们用 z（T）-z（0）表示变量 z 在 T 中的变化量，它可被看作是在 N 个长度为 的小时间间隔中 z 的变化总量，其中 ，因此，t /Nt(2.2)1()Nizt其中 是标准正态分布的随机抽样值。从特征 2 可知， 是1,2i i相互独立的，因此 z（T） -z（0）也具有正太分布特征，其均值为 0，方差为，标准差为 。Nt由此我们可以发现两个特征： 在任意长度的时间间隔 T 中，遵循标准布1朗运动的变量的变化值服从均值为 0，标准差为 的正态分布。 对于相互独2立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。当
5、 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：0tdzt（2.3）（2） 、普通布朗运动为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率：漂移率是指单位时间内变量 z 均值的变化值。方差率是指单位时间的方差。标准布朗运动的漂移率为 0，方差率为 1.0。漂移率为 0 意味着在未来任意时刻 z 的均值都等于它的当前值。方差率为 1.0 意味着在一段长度为 T 的时间段后，z 的方差为 。我们令漂移率的期望值为 ，方差率的期望值为 ，1.Ta2b就可以得到变量 x 的普通布朗运动：datbz（2.4）其中，a 和 b 均为常数， dz 遵循标准布朗运动。这个过程指出变量 x 关于时间和 dz
6、 的动态过程。其中第一项 adt 为确定项，它意味着 x 的期望漂移率是每单位时间为 a。第二项 bdz 是随机项，它表明对 x 的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的 b 倍给出的。从上式（2.1）和（2.4）可知，在短时间 后，x 值的变化值 为：txxatt因此， 也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为atbt。同样，在任意时间长度 T 后 x 值的变化也具有正态分布特征，其均值为2bt，标准差为 ，方差为 。aTb2b2、 伊藤引理普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x 的漂移率和方差率当做变量 x 和时间 t 的函数，我们可以从公式（2.4 ）得到伊藤过
7、程。其中，dz 是一个标准布朗运动，a 、b 是变量 x 和 t 的函数，变量 x 的漂移率为 a，方差率为 。2b在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数 G 将遵循如下过程：21()Gdabdtzxtxx（2.5）其中，dz 是一个标准布朗运动。由于 和 都是 x21GabxtxG和 t 的函数，因此函数 G 也遵循伊藤过程，他的漂移率为：，方差率为 。公式（ 2.5）就是著名的伊藤引理。21Gabxtx2()bx3、 证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为 ，方差为 的伊藤过程来表示：S2SdStdz（2.6）两边同时除以 S
8、 得：dtz（2.7）其中 S 表示证券价格， 表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率， 表示证券收益率单位时间的方差， 表示证券收益率单位时间的标准2差，简称证券的波动率。公式（2.7）又被称为几何布朗运动。从式（2.7）可知，在短时间 后，证券价格比率的变化值 为：tSStt可见， 也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为tt。换句话说2t(,)St:其中， 表示均值为 m，标准差为 s 的正态分布。,)s在式（2.7）中，我们涉及两个符号， 和 ，其大小取决于时间计量单位。在本文中，以年为时间的计量单位。根据资本资产定价原理， 值取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平
9、、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此 的决定本身比较复杂。接下来我们将证明衍生证券的定价与标的资产的预期收益率（ ）是无关的。相反，证券价格的波动率（ ）对于衍生证券的定价则是相当重要的。证券价格的波动率可以理解为证券价格的“脾气” 。我们可以通过历史数据来观察各种证券“ 脾气” 的大小，然后通过公式（ 2.7）来确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，公式（2.7）把 当做常数，实际上， 会随时间的变化而变化。4、 证券价格自然对数变化过程利用伊藤引理来对到证券价格自然对数 lnS 变化所遵循的随机过程。令 G=lnS，由于， ，1GS221S0Gt根据式（2.5） ，我们可
10、以得出证券价格对数 G 也遵循的随机过程为：2()ddtz（2.8）由于 和 是常数，所以上式说明证券价额对数 G 也遵循普通布朗运动，它具有恒定的漂移率 ，和恒定的方差率 。由前面的分析可知，在当2/2前时刻 t 和将来某一时刻 T 之间 G 的变化都是正态分布的，其均值为，方差为 。2(/)(Tt2()t令 t 时刻 G 的值为 lnS，T 时刻 G 的值为 lnST，其中 S 表示 t 时刻（当前时刻）的证券价格，S T 表示 T 时刻（将来时刻）的证券价格，则在 T-t 期间 G 的变化为： lnTS这意味着：2l(),TTtt:（2.9）也就是说，证券价格对数的变化呈正太分布。根据正
11、太分布的特性，从式（2.9）可以得到：2lnl(),TSTtt:（2.10）三、布朗运动伊藤引理的运用本文运用布朗运动和伊藤引理，选取了云南白药（000538）1993 年2013 年的收盘价进行数据分析，数据来源于：通信达。经过计算，得到云南白药股价的波动率为每年 99.92%，预期收益率为每年21.33%，2013 年 5 月 16 日的市价为 87.88 元。1、假设该股票不付红利，计算一周后该股票价格变化的概率分布因为 ， ，其股价过程为：0.230.92.1.dStdz在随后短时间时隔后的股价变化为： 0.213.92Stt由于一周等于 0.0192 年，因此87.(40.138)0
12、362S上式表示一周后股价的增加值是均值为 0.3603 元，标准差为 12.147 元的正态分布的随机抽样值。2、假设该股票在 6 个月内不付红利，计算该股票 6 个月后价格ST 的概率分布。由式（2.10）可知，6 个月后的价格 ST 的概率分布为：0.986lnl87.(.213).5,0213.TS:l4.,5由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95.45%，因此，置信度为 95.45%时：4.031ln4.63TS569702987因此，6 个月后云南白药的股价落在 56.3397 元到 102.9867 元之间的概率为 95.45%。根据式（2.10）和对数正态分布的特性，可知 ST 的期望值 E(ST)为：()()TtTESe这与作为预期收益率的定义相符。S T 的方差 var（S T）为：22()()var()1TttT因此，云南白药在 6 个月后股票价格的期望值和标准差分别为： 0.213.5()879704TESe元.86.5var.1=90.36e半年后云南白药股票价格的期望值为 97.7704，方差为 6190.136，标准差为78.677。
