1、1课时规范练 41 直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.如图,在直角梯形 ABCD 中, AB CD, BCD=90,BC=CD,AE=BE,ED平面 ABCD.(1)若 M 是 AB 的中点,求证:平面 CEM平面 BDE;(2)若 N 为 BE 的中点,求证: CN平面 ADE.22.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且B1D A1F,A1C1 A1B1.求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F.3.3如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 ABCD,底面 ABCD 是直角
2、梯形, ADC=90,AD BC,AB AC,AB=AC=,点 E 在 AD 上,且 AE=2ED.2(1)已知点 F 在 BC 上,且 CF=2FB,求证:平面 PEF平面 PAC;(2)若 PBC 的面积是梯形 ABCD 面积的 ,求点 E 到平面 PBC 的距离 .43导学号 215005614.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为棱 C1D1的中点, F 为棱 BC 的中点 .(1)求证: AE DA1;(2)在线段 AA1上求一点 G,使得 AE平面 DFG.4综合提升组5.如图,Rt ABC 中, ACB=90,BC=2AC=4,D,E 分别是 AB,BC 边的中
3、点,沿 DE 将 BDE 折起至 FDE,且 CEF=60.(1)求四棱锥 F-ADEC 的体积;(2)求证:平面 ADF平面 ACF.6.如图(1),五边形 ABCDE 中, ED=EA,AB CD,CD=2AB, EDC=150.如图(2),将 EAD 沿 AD 折到PAD 的位置,得到四棱锥 P-ABCD,点 M 为线段 PC 的中点,且 BM平面 PCD.图(1)5图(2)(1)求证:平面 PAD平面 ABCD;(2)若四棱锥 P-ABCD 的体积为 2 ,求四面体 BCDM 的体积 .37.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA底面 ABCD,且 PA=
4、2,E 是侧棱 PA 上的动点 .(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积 .(2)如果 E 是 PA 的中点,求证: PC平面 BDE.(3)是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置,都有 BD CE?证明你的结论 .导学号 21500562创新应用组8.6如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA底面 ABCD,AD=AP=2,AB=2 ,E 为棱 PD 中点 .7(1)求证: PD平面 ABE;(2)求四棱锥 P-ABCD 外接球的体积 .9.如图(1),在平面六边形 ABFCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,且 AB=4,BC=2,AE=DE= ,BF=CF= ,
5、点2 2M,N 分别是 AD,BC 的中点,分别沿直线 AD,BC 将 ADE, BCF 翻折成如图(2)的空间几何体 ABCDEF.(1)利用下面的结论 1 或结论 2,证明: E,F,M,N 四点共面;结论 1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个 .(2)若二面角 E-AD-B 和二面角 F-BC-A 都是 60,求三棱锥 E-BCF 的体积 .图(1)图(2)7导学号 21500563参考答案课时规范练 41 直线、平面垂直的判定与性质1.证明 (1) ED 平面 ABCD,ED AD,ED BD,ED CM.AE=BE ,
6、Rt ADERt BDE,AD=BD.连接 DM,则 DM AB,AB CD, BCD=90,BC=CD, 四边形 BCDM 是正方形, BD CM.又 DE CM,BD DE=D,CM 平面 BDE,CM 平面 CEM, 平面 CEM平面 BDE.(2)由(1)知, AB=2CD,取 AE 中点 G,连接 NG,DG,在 EBA 中, N 为 BE 的中点,NG AB 且 NG= AB,12又 AB CD,且 AB=2CD,NG CD,且 NG=CD,8 四边形 CDGN 为平行四边形,CN DG.又 CN平面 ADE,DG平面 ADE,CN 平面 ADE.2.证明 (1)在直三棱柱 ABC
7、-A1B1C1中, A1C1 AC.在 ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE AC,于是 DE A1C1.又因为 DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1A A1C1.又因为 A1C1 A1B1,A1A平面 ABB1A1,A1B1平面 ABB1A1,A1A A1B1=A1,所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1,所以 A1C1 B1D.又因为 B1D A1F,A1C1平面 A1C1F,A1
8、F平面 A1C1F,A1C1 A1F=A1,所以 B1D平面 A1C1F.因为 B1D平面 B1DE,所以平面 B1DE平面 A1C1F.3.(1)证明 AB AC,AB=AC, ACB=45. 底面 ABCD 是直角梯形, ADC=90,AD BC, ACD=45,AD=CD ,BC= AC=2AD.2AE= 2ED,CF=2FB,AE=BF= AD,23 四边形 ABFE 是平行四边形,AB EF.又 AB AC,AC EF.PA 底面 ABCD,PA EF.PA AC=A,EF 平面 PAC.EF 平面 PEF, 平面 PEF平面 PAC.(2)解 PA 底面 ABCD,且 AB=AC,
9、PB=PC ,取 BC 的中点 G,连接 AG,则 AG BC,AG=CD=1.设 PA=x,连接 PG,则 PG= ,2+1 PBC 的面积是梯形 ABCD 面积的 倍,43 2PG= (1+2)1,即 PG=2,求得 x= ,12 4312 39AD BC,AD平面 PBC,BC平面 PBC,AD 平面 PBC, 点 E 到平面 PBC 的距离即是点 A 到平面 PBC 的距离,V A-PBC=VP-ABC,S PBC=2S ABC, 点 E 到平面 PBC 的距离为 PA= .12 324.(1)证明 连接 AD1,BC1(图略) .由正方体的性质可知, DA1 AD1,DA1 AB,又
10、 AB AD1=A,DA 1平面 ABC1D1.AE 平面 ABC1D1,AE DA1.(2)解 所求点 G 即为点 A1,证明如下:由(1)可知 AE DA1,取 CD 的中点 H,连接 AH,EH(图略),由 DF AH,DF EH,AH EH=H,可得 DF平面 AHE.AE 平面 AHE,DF AE.又 DF A1D=D,AE 平面 DFA1,即 AE平面 DFG.5.解 (1) D ,E 分别是 AB,BC 边的中点,DE AC,DE BC,DE=1.12依题意, DE EF,BE=EF=2,EF EC=E,DE 平面 CEF,DE 平面 ACED, 平面 ACED平面 CEF.作
11、FM EC 于 M,则 FM平面 ACED, CEF=60,FM= ,3梯形 ACED 的面积 S= (AC+ED)EC= (1+2)2=3.12 12四棱锥 F-ADEC 的体积 V= Sh= 3 .13 13 3=3(2)(法一)如图,取线段 AF,CF 的中点 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ AC,1210NQ DE,四边形 DEQN 是平行四边形, DN EQ.EC=EF , CEF=60, CEF 是等边三角形, EQ FC,又 DE平面 CEF,DE EQ,AC EQ,FC AC=C,EQ 平面 ACF,DN 平面 ACF,又 DN平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF
12、.(法二)连接 BF,EC=EF , CEF=60, CEF 是边长为 2 等边三角形 .BE=EF , EBF= CEF=30,12 BFC=90,BF FC.DE 平面 BCF,DE AC,AC 平面 BCF.BF 平面 BCF,AC BF,又 FC AC=C,BF 平面 ACF,又 BF平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.6.(1)证明 取 PD 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN CD,且 MN= CD,又 AB CD,AB= CD,12 12MN AB,MN=AB, 四边形 ABMN 是平行四边形,AN BM,又 BM平面 PCD,AN 平面 PCD,AN PD,AN CD,由 ED=EA,即 PD=PA,及 N 为 PD 的中点,得 PAD 为等边三角形, PDA=60,又 EDC=150, CDA=90,CD AD,又 AN AD=A,CD 平面 PAD,又 CD平面 ABCD,
