1、1单元质检卷八 立体几何( A)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.若 l,m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ,则“ l m”是“ l ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2017 浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A. +1 B. +3 C. +1 D. +32 2 32 323.(2017 河北邯郸一模,理 10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 9+36 6+
2、36 3+36 12+36(第 2 题图)2(第 3 题图)4.(2017 福建莆田一模,理 10)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,平面 过直线 BD, 平面 AB1C, 平面 AB1C=m,平面 过直线 A1C1, 平面 AB1C, 平面 ADD1A1=n,则 m,n 所成角的余弦值为( )A.0 B. C. D.12 22 325.(2017 四川成都三诊,理 11)如图,某三棱锥的主视图、左视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形,若该三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.27 B.48 C.64 D.816.(2017 辽宁沈阳三模,理 10)已知某
3、三棱锥的三视图如图所示,图中的 3 个直角三角形的直角边长度已经标出,则在该三棱锥中,最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 导学号 2150063613 55 12 23(第 5 题图)(第 6 题图)二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.(2017 安徽安庆二模,理 14)正四面体 ABCD 中, E,F 分别为边 AB,BD 的中点,则异面直线 AF,CE 所成角的余弦值为 . 38.(2017 山西太原二模,理 15)已知三棱锥 A-BCD 中, AB=AC=BC=2,BD=CD= ,点 E 是 BC 的中点,点 A2在平面
4、BCD 上的射影恰好为 DE 的中点,则该三棱锥外接球的表面积为 . 导学号21500637 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)(2017 河南郑州一中质检一,理 18)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB平面 ABC, SAB是等边三角形,已知 AC=2AB=4,BC=2 .5(1)求证:平面 SAB平面 SAC;(2)求二面角 B-SC-A 的余弦值 .10.(15 分)(2017 辽宁沈阳三模,理 19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 AA1B1B底面 ABC, ABC和 ABB1都是边长为 2 的正三角形 .(1)过 B1作出三棱柱的截
5、面,使截面垂直于 AB,并证明;(2)求 AC1与平面 BCC1B1所成角的正弦值 .11.(15 分)(2017 河南焦作二模,理 19)在三棱柱 ABC-A1B1C1中, CA=CB,侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形,点 E,F 分别在线段 AA1,A1B1上,且 AE= ,A1F= ,CE EF.12 34(1)求证:平面 ABB1A1平面 ABC;(2)若 CA CB,求直线 AC1与平面 CEF 所成角的正弦值 .导学号 215006384参考答案单元质检卷八 立体几何( A)1.B 解析 由“ m 且 l m”推出“ l 或 l ”,但由“ m 且 l ”可推出“ l m”
6、,所以“ l m”是“ l ”的必要不充分条件,故选 B.2.A 解析 V= 3 12+ 21 +1,故选 A.13 ( 12 12 )=23.A 解析 由三视图可得,直观图为圆锥的 与圆柱的 组成的组合体,12 34由图中数据可得几何体的体积为 12 122= ,故选 A.1213 3+34 9+364.D 解析 如图所示, BD 1平面 AB1C,平面 过直线 BD, 平面 AB1C, 平面 即为平面 DBB1D1.设 AC BD=O, 平面 AB1C=OB1=m. 平面 A1C1D 过直线 A1C1,与平面 AB1C 平行,而平面 过直线 A1C1, 平面 AB1C, 平面 A1C1D
7、即为平面 . 平面 ADD1A1=A1D=n,又 A1D B1C,m ,n 所成角为 OB1C,由 AB1C 为正三角形,则 cos OB1C=cos .故选 D.6=325.C 解析 由三视图可知直观图如图所示 . ABC 是边长为 6 的等边三角形, 外接球的球心 D 在底面 ABC 的投影为 ABC 的中心 O.5过点 D 作 DE VA 于点 E,则 E 为 VA 的中点,连接 OA,DA,则 DE=OA= 3 =2 ,AE= VA=2,DA 为外接球的半径 r,r= =4,23 3 3 12 2+2 外接球的表面积 S=4 r2=64 .故选 C.6.A 解析 由三视图还原原几何体如
8、图 .几何体是三棱锥 A-BCD,满足平面 ACD平面 BCD,且 AD CD,BC CD.最短棱为 CD,最长棱为 AB.在平面 BCD 内,过点 B 作 BE CD,且 BE=CD,连接 DE, 四边形 BEDC 为正方形,可得 AE=2 ,2在 Rt AEB 中,求得 AB= =3, cos ABE= .12+(22)2=13即最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦值为 .故选 A.137. 解析 如图 ,连接 CF,取 BF 的中点 M,连接 CM,EM,16则 ME AF,故 CEM 即为所求的异面直线所成角 .不妨设这个正四面体的棱长为 2,则 AF=CE=CF= ,EM= ,CM
9、= ,332 132 cos CEM= .34+3-1342323=16故答案为 .168. 解析 由题意, BCD 为等腰直角三角形, E 是其外接圆的圆心,60116点 A 在平面 BCD 上的射影恰好为 DE 的中点 F,则 BF= ,1+14=52AF= ,4-54=112设球心到平面 BCD 的距离为 h,则 1+h2= ,h= ,r= ,14+( 112 -)2 211 1+411=1511 该三棱锥外接球的表面积为 4 .1511=60119.(1)证明 在 BCA 中, AB= 2,CA=4,BC=2 ,5AB 2+AC2=BC2,故 AB AC.又平面 SAB平面 ABC,平
10、面 SAB平面 ABC=AB,AC 平面 SAB.又 AC平面 SAC,所以平面 SAB平面 SAC.(2)解 如图建立空间直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0, ),C(0,4,0),3=(1,-4, ), =(-2,4,0), =(0,4,0), 3 设平面 SBC 的法向量 n=(x,y,z),由 则 n= .-2+4=0,-4+3=0, (2,1,233)设平面 SCA 的法向量 m=(a,b,c),由 m=(- ,0,1),4=0,-4+3=0, 3 cos=- , 二面角 B-SC-A 的余弦值为 .21919 2191910.解 (1)设 AB 中点为 O
11、,连接 OC,OB1,B1C,则截面 OB1C 为所求 .证明: OC,OB1分别为 ABC, ABB1的中线,所以 AB OC,AB OB1,7又 OC,OB1为平面 OB1C 内的两条相交直线,所以 AB平面 OB1C,(2)以 O 为原点, 方向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,易求得 B(1,0,0),A(-1,0,0),C(0, ,0),B1(0,0, ),C1(-1, ),3 3 3, 3=(1,- ,0), =(1,0,- ), 3 1 3=(0, ),1 3, 3设平面 BCC1B1的一个法向量为 n=(x,y,z),由 解得平面 BCC1B1的一个法向量为 n=(
12、 ,1,1),1- 3=0,- 3=0,3|cos|= ,1|1|1|=3+365=105所以 AC1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 .10511.(1)证明 取 AB 的中点 D,连接 CD,DF,DE.AC=BC ,D 是 AB 的中点,CD AB. 侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形, AE= ,A1F= ,12 34A 1E= ,32EF= ,(34)2+(32)2=354DE= ,12+(12)2=52DF= ,22+(1-34)2=654EF 2+DE2=DF2,DE EF,又 CE EF,CE DE=E,CE平面 CDE,DE平面 CDE,8EF 平面 CDE,又 C
13、D平面 CDE,CD EF,又 CD AB,AB平面 ABB1A1,EF平面 ABB1A1,AB,EF 为相交直线,CD 平面 ABB1A1,又 CD平面 ABC, 平面 ABB1A1平面 ABC.(2)解 平面 ABB1A1平面 ABC, 三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱, CC 1平面 ABC.CA CB,AB=2,AC=BC= .2以 C 为原点,分别以 CA,CB,CC1为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图所示 .则 A( ,0,0),C(0,0,0),C1(0,0,2),E ,F .2 (2,0,12) (528,328,2) =(- ,0,2), .1 2=( 2,0,12),=(528,328,2)设平面 CEF 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0, 令 z=4,得 n=(- ,-9 ,4).2+12=0,528+328+2=0, 2 2 n=10,|n|=6 ,| |= . cos= .1 5 1 6 11|1|=3018 直线 AC1与平面 CEF 所成角的正弦值为 .3018
