1、1不变子群判别条件摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系1.判断一个子群为不变子群的条件.1.1与定义等价的判别条件1.H G，即 aG, 有 aH=Ha2. aG,有 aHa =H13. aG,有 aHa H4. aG, hH,有 aha H15. aG,有 aH Ha6. aG,有 H a Ha17.aHbH=abH, a,bG 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在 G中的每个左陪
2、集都是一个右陪集9. aG,有 a Ha=H110. aG,有 a Ha H11. aG, hH,有 a haH112. aG,有 Ha aH213. aG,有 H aHa114.HaHb=Hab, a,bG 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在 G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群 G之子集 H为模的 G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是 G的子群，则 G中由 aRb,当 a bH，所定义的关系 R为同1余关系18.N (H)=G19.若 nN，则所属的 G的共轭元素 C(n) H。即 H由 G的若干整个的共轭类组成。1.2.直接判断一个子群为不变
3、子群的条件1指数为 2的子群为不变子群.证明:设群 G，H 是 G的子群，由题设G:H=2 G=eHaH=HeHaaH=Ha aG, 即 H G2设 G为群，H 是 G的子群, aG, a ha H, 则 H是 G的不变子1群.证明:a ha H a(a Ha)a aHa H aHa 又(a ) Ha11111H 即 aHa H aG,a Ha=H aH=Ha aG 即 H G3.群 G的中心 C是 G的一个不变子群.证明:C 与 G中的每个元素都可交换 对 aG,有 aC=Ca C G4.交换群的子群都是不变子群.证明:设 G是交换群,H 是 G的子群,有 aH=ahhH=hahH 3=Ha
4、 aG H G 5.设 A,B都是 G的不变子群，则 AB 是 G的不变子群.证明:显然 AB 是 G的子群 , aG, xAB, axa A, axa11B1axa AB 即 AB G1推论 1:群 G中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是 G的不变子群.6.设 A,B都是 G的不变子群，则 AB是 G的不变子群.证明:显然 AB 是 G的子群 , gG, xAB, 设 x=ab 2gxg =g(ab)g =gag gbg AB 故 AB G111推论 2:群 G中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是 G的不变子群.7.设 H是 G的真子群，H=n ,且 G的阶数为 n的子群仅有一个
5、，则 H是 G的不变子群.证明: xG 显然 xHx 是 H的子群, 又知 f：hxhx hH, 1 1f是 H到 xHx 的双射, 故 xHx =H=n, 由唯一性, 1xHx =H xG 因而 H的 G不变子群. 18. 设 A,B,H都是 G的不变子群,且 A B，则 AH是 BH的不变子群.证明：AH,BH 显然都是 G的不变子群，A B，AH BH 而 AH是 G的不变子群，故 AH是 BH的不变子群.2.举例应用判别条件2.1判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，例 1：设 G= r,sQ r0 , 10srG对于方阵乘法作成一个群,4H= tQ , 则 H是
6、 G的不变子群.10t证明：法 1（利用定义）：G, H= , H =0sr10sr1srt 10srr01tr,s是取定的有理数,故对 s+t, 方程 rx+s=s+t在 Q中有解, 即 x=t/r故对 AH A= A= A10sr10str10/srtH10sr即 H H , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s在 Q中有sr10解 x=rt故 H H 从而有 H=H r0 10srsr10srsrr,sQ即 H是 G的不变子群.法 2：（利用等价条件 4）：G, = G, 对 H10sr10sr1sr10t有 = =t1t1srrt显然 H , 故 H是10rtG的不变子群.5例
7、2：设 G是一个群，a,bG 符号 a b表示 G中元素 a b ab，称1之为 G的换位元 ,证明 G的一切有限换位元的乘积所成的集合 G是 G的一个不变子群./证明：（利用等价条件 4）：显然，G 是 G的子群，对任意a b和 /gGg a bg=g a b abg=(ag) bagbb g bg=ag bb 1111gG /一般地，对 G 中任一元 a b a b a b / 12n有 g a b a b a b g=(g a b g)(g a b 112n1112g)(g a b g)G,故 g G gG 即 G 是 G的不变子群.n1/注释：1.A G BG 又 eA eB eAB
8、, 设a,bAB则 a,bA 且 a,bB 故 abA 且 abB abAB设 aAB, 则 aA 且 aB a A 且 a B 11a AB ABG1即 AB 是 G的子群2.AB=abaA, bB A G bA=Ab 又ba bA ba =a11b,a A/1/(ab)(a b )=a(ba )b =a(a b)b =(aa )(bb )AB11/1/16又 b a b A=Ab =b a =a b AB ABG 即 AB111b1/是 G的子群参考文献：1吴三品，近世代数M，北京：人民教育出版社，1982，80-87. 2张远达，有限群构造(上册)M, 科学出版社，1982，38-41.3W.莱德曼，群论引论M，北京：高等教育出版社，1987，59-62.4孟道骥，代数学基础M，天津：南开大学出版社，5A.库洛什，群论(上册)M，北京：高等教育出版社，1987，57-62. 6M.赫尔，群论M，科学出版社，1981，30.7徐明曜，有限群导引M，科学出版社，2001，12-14.
