1、生 产 与 贮存 的 控 制摘 要摘要正文 ：本文研究的是以变分法建立模型的（即动态优化模型 ） 。 动态过 程常常 用微分 方程模 型描述 ，基于 动态过 程的优 化问题 一般要 归结为求最 优化控 制函数 使某个 泛函达 到极值 。当控 制函数 可以事 先确定 为某种特殊 的函数 形式时 ，问题 又简化 为求普 通函数 的极值 。求解 泛函极 值通常有的 两种方 法：古 典变分 法和最 优控制 论。本 文采用 的是最 优控制 论方法求解问题。 关键词：变分法，加权因子，状态反馈，指标函数符号说明（ 1） x(t)为 t时刻的存储量；（ 2） u(t)为单位时间的产量；（ 3） v(t)为单
2、位时间的销量；（ 4） 0u为合理的设生产率；（ 5）0x为合理的贮存量；（ 6）mv 为单位时间的销量的最大值；（ 7）mu 为单位时间的产量的最大值； 问题X44、 一家集生产 ,销售于一体的公司 ,希望生产率和贮存量都尽量稳定在预 先设定 的水平 上 ,如果 销售量 可以预 测 ,公司 需要制 订一个 根据贮 存量控制生产率的策略 .(1)以在一定时间 T内生产率和贮存量与设定值误差的 (加权 )平方和最小为目标 ,给出泛函极值问题 .(2)设销售量为常数 ,求出最优解 ,并在 T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系 .假设与建模假设在某个时间区间 0,T内讨论某个产品 ， 销售与贮
3、存问题 。 设时 刻t的存储量为 x(t)， 单位时间的产量和销量分别为 u(t)和 v(t)， 则状态方程为() () ()dxt ut vtdt = （ 1）为确定起见，不妨设贮存量 x(t)的端点条件为x(t)=0,x(T)=0,（ 2）实际上对生产率和贮存量都会有所限制，不妨设为0 () ,0 ()m mut u vt v , （ 3）控制生产率 u(t)的目的是在满足条件 （ 1） ， （ 2） ， （ 3） 下使生产率和贮存量都尽可能的平稳。设合理的设生产率为 u0，合理的贮存量为0x，那么指标泛函就可以用二次型函数的积分表示，即使22 20 00 1 () () () 2 2TJ
4、ut ut u xt x dt = + （ 4）达到最小值 。 其中 是加权因子 ， 用来调节 u（ t） 稳定和 x（ t） 稳定二者之间 的重要 程度， 并应具 有时间 倒数的 量纲。 这样， 问题就 归结为 在约束条件 (1)， (2)， (3)下求 u（ t）使（ 4）的泛函 J达到最小值。这就是生产与贮存控制的一般函数。模型求解从 （ 1） 式中解除 u（ t） 代入 （ 4） ， 为简化求解过程 ， 设销量为已知常数即 v（ t） =0v，有2 2 20 0 00 1 () () () 2 2TJxt xt v u xt x dt = + + （ 5）先考 虑由（ 2）与 （ 5）
5、式 构成的 固定端 点的泛 函极值 。由变 分法， 根据欧拉方程可得最优解 x（ t）应满足方程2 0 0 0( ) ( ) 0dx x x v udt + =即2 0 ( ) 0x x x = （ 6）（ 6）在端点条件（ 2）下的解为0 0(1 ) ( 1)() T T T TT Te e e ext x x e e + = （ 7）将（ 7）代入（ 1）式得0 0(1 ) ( 1)() T T T TT Te e e eut v x e e + = （ 8）（ 7）和（ 8）分别为最优状态函数和最优控制函数。 模型分析为了研究最优解 u（ t） 和 x（ t） 之间的关系 ， 由 （ 7
6、） ， （ 8） 两式可以得到00 0 2 (1 )() () TTT Tx eut v x xt ee e = + 令 T（ 即稳定状态的情形 ） ， 则对任意有限的 t， 上式右端最后一项趋于零，于有0 0( )u v x x= + （ 9）此式表明：在稳定情况下，最优控制函数 u（ t）可以用状态函数 x（ t） 的线性关系表示 ， 成为状态反馈 。 当贮存量 x（ t） 增加时 ， 应降低生产率 ;x(t)减少时，则提高生产率。这种控制方式称为状态负反馈。他比形如（ 9） 式的 显含 时间 t的 控制 函数 应 用起 来方 便得 多 ，只 需根 据易 于 观测 的状 态 x就可以决定控
7、制量 u。在来考虑约束条件（ 3） 。利用双曲函数可将（ 7） ， （ 8）两式重新表示为0 ( )() 1 chaT t shatxt x shaT += （ 10）0 0 ( )() chaT t shatut v x shaT = + （ 11）根据（ 10） ， （ 11）式，图 2-2画出了最优解 x（ t）和 u（ t）的示意图。由图可见，只要 0,mx x 就有 0 () mxt x ，即兴 x（ t）满足条件（ 3） ， 而给出的参数mx 和 0x自然应该有 0mx x 。别一方面，因为0 0 000 001m ax()1m in()t T mt TchaTut u v x s
8、haTchaTut u v x shaT= = += = 所以只 要 (0) mu u 。在这 样的条件下 （ 7） ， （ 8）两式 给出的 x（ t） ， u（ t）也就考虑到约束条件 （ 3） 的原问题的最优解 ， 因为在约束条件的边界上泛函极值问题（ 2） ， （ 5）不可能得到优于（ 7） ， （ 8）的解。但是，如果（ 7） ， （ 8）表示的 x(t),u(t)超出了条件（ 3）的限制，这时就会出现模型求解非常复杂，变分法无能为力的情形杭州纹身 http:/ /参考文献1姜启源数学建模 .北京；高等教育出版社， 19932林珍变分法与最优控制哈尔滨；哈尔滨工业大学出版， 19873彭旭麟变分及其应用武汉；华中工学院出版社， 1983
