1、- 1 -用 动 态 圆 解 决 磁 场 中 粒 子 源 问 题在电磁学的学习中，经常遇到“粒子源”的问题，由于这类问题涉及的研究对象不明确，对空间想象能力要求较高，有的题目还需要挖掘隐含条件和分析临界状态，因此学生求解这类问题感到很困难。本文试图通过认识动态圆来解决“粒子源”问题。高中物理中粒子源问题有两类：第一类是在同一平面内沿某一方向发射的速率不同的同种带电粒子；第二类是在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子。 第一类粒子源问题粒子源能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子（如电子、质子、 粒子等）。这些带电粒子垂直于磁感线射入匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动，
2、它们的轨迹是如图 1 所示的一簇与初速度方向相切的随速度增大而逐渐放大的动态圆。它们有下列特点：（1）各带电粒子的轨迹有一个公共切点，且它们的圆心分布在同一条直线上的一簇动态圆。 （2）各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等。 （3）速率大的带电粒子所走过的路程大，对应大圆。 例 1：如图 2 所示，匀强磁场的磁感应强度为 B，宽度为 d，边界为 CD 和 EF。一电子从 CD 边界外侧以速率 垂直射入匀强磁场，入射方向与 CD 夹角为 。已知电子的质量为0v m，电荷量为 e，为使电子从 EF 边界射出。求电子的速率至少多大？【解析】电子速率不同，其轨道半径不同，随着速率增加，其轨迹构成如图所示
3、的一簇动态圆，为使电子 EF 边界射出，轨道半径 R 至少大于与 EF 相切圆的半径。由几何关系得 dRcosveB2)cos1(me为使电子从 EF 边界射出，其速率 )cos1(meBdv【总结】带电粒子在磁场中以不同的速率运动时，圆周运动的半径随着速率的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径 R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径 R 与 R0的大小关系确定范围。第二类粒子源粒子源能在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子，这些带电粒子垂直于磁感线射入匀强磁场，做同方向旋转的
4、匀速圆周运动。这类问题可以归结为这样一个几何模型:如图 3 所示,有一半径为 R 的圆，绕圆周上的一点 O 转动一周，圆平面扫过的区域就是以 O 为圆心，2R 为半径的圆。要准确把握这一模型，需要认识和区分三种圆 v0图 2CDEFR图 3O图 4O图 1- 2 -（1）轨迹圆：各带电粒子的圆轨迹半径相等，运动周期相等。随着入射速度方向的改变，它们构成一簇绕粒子源 O 旋转的动态圆（图 4 中细实线所示）（2）圆心圆：各带电粒子轨迹圆的圆心分布在以粒子源 O 为圆心， 为半径的qBmvR一个圆周上（图 4 中细虚线所示）。 （3）边界圆：带电粒子在磁场中可能经过的区域是以粒子源 O 为圆心，2
5、R 为半径的大圆（图 4 中粗虚线所示）。 例 2（05 年全国理综）如图 5 所示，在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B ，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为 m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率 v，沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 。图 6 中哪qBvR个图是正确的？ 【分析】：如图 7 所示，粒子在磁场中沿逆时针方向运动，射入磁场的方向如图 7 所示。不同粒子的轨迹不同，这些轨迹是以半径为 R 且绕 O 点转动的一簇圆，由于所有带电粒子在磁场中可能经过的区域
6、应该是轨迹圆扫过的区域，所以，只要判定出区域右侧边界是速度沿 ON 方向的粒子的圆轨道，就能迅速地得到 A 答案。 【总结】本题通过“轨迹圆”的旋转形成“边界圆”来确定粒子达到的范围。例 3：如图 8 所示，S 为电子射线源，能在图示纸面上 360范围内向各个方向发射速率相等的质量为 m、电量为 e 的电子。MN 是一块足够大的竖直挡板且与 S的水平距离 OSL，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；若电子的发射速率为 V0，要使电子一定能经过点 O，则磁场的磁感应强度 B 满足什么条件？若磁场的磁感应强度为 B，要使 S 发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？若磁场的磁感应强度为 B，
7、从 S 发射出的电子的速度为 ，则meBL2档板上出现电子的范围多大？【分析】 电子从 S 发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从 S 射出的方向不同，其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析可知，只有从点 S 向与 SO 成锐角且位于 SO 上方发射出的电子才可能经过点 O。由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕 S 点旋转的一簇动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图 9 所示，最低点为动态圆与 MN 相切时的交点 P1，最高点为动态圆与 MN 相割的 P2点，且 SP2为直径。【解析】要使电子一定能经过点 O
8、，即 SO 为圆周的一条弦，OMNS图 8P2P1S O图 9图 7O N- 3 -则电子做圆周运动的轨道半径必满足 ，由得：2LR2eBmv0eLmv20要使电子从 S 发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的 O 点，故仍有粒子圆周运动半径 ， 由有： 2LReBmv00当从 S 发出的电子的速度为 时，电子在磁场中的运动轨迹半径作出图示的临界轨迹 ， ，故电子击中档板的范围在 P1P2间；qBmv SP1 SP2对 由图知 SP1 L3)2(O1对 由图知 SP2 542【总结】本题通过“轨迹圆”的旋转，且充分利用“直径是圆的最大弦”这一临界条件来寻找引起范围的“临界轨迹”，进而解决问
9、题。例 4.如图 10 所示，电子质量为 m，电荷量为 e，从坐标原点 O 沿 xoy 平面射入第一象限，射入时速度方向不同，但大小都为 ,现在某一区域加一垂直于 xoy 平面向外的匀强磁v场。磁感应强度为 B。若这些电子穿过磁场后都能垂直打到平行于 y 轴的荧光屏 MN 上。求：（1）荧光屏上光斑的长度。 （2）所加磁场范围的最小面积。【解析】（1）如图 11 所示，若粒子的速度方向从 x 轴正方向逐渐偏向 y 轴正方向，则其轨迹将是绕 O 点转动的一簇动态圆，这些轨迹的圆心绕着 移动。要使粒子能垂直打到荧光屏 MN 上， DEF粒子射出磁场时速度方向必与其轨道半径垂直，所以粒子射出磁场的轨
10、道半径应该与 y 轴平行，且绕着 向下平移，故磁 DEF场的左边界应该是 向上平移 形成的，即 。 DEF eBmvR ABC沿 x 轴正方向射出的粒子运动到 A 点后，沿直线 AG 打到 G 点。沿 y 轴正方向射出的粒子运动到 C 点后，沿直线CH 打到 H 点。其他方向射入的粒子应打在 GH 之间，荧光屏上光斑的长度为： eBvR（2）沿任一方向射入第一象限的电子经过磁场偏转后都能垂直打在荧光屏 MN 上，所加磁场的最小面积是如图 11 中阴影部分（包括边界）的面积。此面积： 222 )(14143eBmvS【总结】本题利用了动态圆法，通过圆心圆的平移来寻找磁场的“临界边界”，然后利用几何关系确定光斑的长度和所加磁场范围的最小面积。综上所述，求解粒子源问题，同学们一定要建立动态圆的模型，充分利用动态圆的缩放、平移、旋转来确定“临界条件”和“边界条件”，这是解决粒子源问题的关键。OMNyxV0图 10ABC图 11yxODFEMNHG
