1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果
2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河北经贸大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 马博飞 2. 周雨佳 3. 段英英 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 9 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：天然肠衣的优化搭配摘要天然肠衣搭配问题属于优化问题。由于肠衣被分割成长度不等的小段（原料） ，
3、而原料又按长度分档，故此优化问题可归为整数优化问题。由成品规格表可知，原料可被组装成三种规格的成品。每种规格的成品所用原料相互独立，互不影响，故将问题装出的成品总捆数最大转化为分别求三种规格成品的最大捆数，然后将其结果相加。在特定规格下，根据每种规格的规定，用 求得每捆成品中原料的平均NL长度。再根据原料表上的原料实际数据，利用均值最近原则进行每捆成品原料的分配，得到原料分配图表。进而根据图表写出优化方程，利用 WinQSB 软件求解，得到最优解。利用所得结果分析哪些分配方案可行，哪些方案不可行，可行方案组装多少捆。并可以知道每种规格原料余量为多少，进而对剩余原料进行微调，重新组装成捆，即可得
4、到每种规格成品捆数的最大值，然后将三种规格成品捆数的最大值相加即为总捆数的最大值。在解题的过程中，把均值最近原则放入到分配方案，即在一组数据中求得它们的平均值之后，选取临近均值最近的两个数据为起始分配结点，根据约束条件，以此展开其他节点的求取，此为均值就近原则。再此原则下，把各种规格的原料描述表利用数学软件带入运行得到分配方案后，我们建立线性方程组为约束条件，然后将我们建立的模型带入到 WinQSB 软件中，对多个分配方案的取舍进行筛选，最后得到最优方案。在理论上，根据原料总根数和总长度以及每捆成品的根数和总长度，可求得规格一成品捆数的上限为 14 捆；规格二成品的捆数的上限为 41 捆；规格
5、三成品的捆数的上限为 135 捆；总捆数为 190 捆。但在现实操作中，理论值经常无法达到。通过制定分配方案，可知在现实操作中，规格一成品的捆数最多为14 捆；规格二成品的捆数最多为 35 捆；规格三成品的捆数最多为 134 捆；总捆数为 183 捆。关键词：优化问题 WinQSB 软件 均值就近原则一 问题重述在工厂进行食品加工时肠衣是作为原材料之一加工成捆的。肠衣是制作或出售火腿、香肠等肉制品时必须的一种包装，而天肠肠衣，主要是利用动物内脏中最长的小肠做成包装，使产品与外部隔绝，保持卫生。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段，再进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算
6、，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。原料按长度分档，通常以 0.5 米为一档，如：3-3.4 米按 3 米计算，3.5 米-3.9 米按 3.5 米计算，其余的依此类推。成品规格和原料描述如图所示：表1 成品规格表最短长度 最大长度 根数 总长度3 6.5 20 897 13.5 8 8914 5 89表2 原料描述表长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9根数 43 59 39 41 27 28长度 6-6.4 6.5-6.9 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9根数 34 21 24 24 20 25长度 9-9.
7、4 9.5-9.9 10-10.4 10.5-10.9 11-11.4 11.5-11.9根数 21 23 21 18 31 23长度 12-12.4 12.5-12.9 13-13.4 13.5-13.9 14-14.4 14.5-14.9根数 22 59 18 25 35 29长度 15-15.4 15.5-15.9 16-16.4 16.5-16.9 17-17.4 17.5-17.9根数 30 42 28 42 45 49长度 18-18.4 18.5-18.9 19-19.4 19.5-19.9 20-20.4 20.5-20.9根数 50 64 52 63 49 35长度 21-2
8、1.4 21.5-21.9 22-22.4 22.5-22.9 23-23.4 23.5-23.9根数 27 16 12 2 0 6长度 24-24.4 24.5-24.9 25-25.4 25.5-25.9根数 0 0 0 1本题要求建立数学模型设计一个原料搭配方案,按题中所给规格完成原料搭配方案，并符合如下要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介
9、于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。二 问题分析天然肠衣由于规定的档次（长度）不同，规格也不一样，所以每个规格的每捆肠衣成品长度不同，考虑到要在相同的成品捆数方案里找出最短长度最长的方案，我们想到了整数规划问题的解决办法。我们首先把肠衣成品的分配问题分开考虑，按下表中的成品规格表的规格将原料分成三类,即：长度分布在36.5 米的原料为规格一；长度分布在 713.5 米的原料为规格二；长度分布在1425.5 米的原料为规格三。三 模型假设1. 肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料） ，原料在组装过程中长度不发生变化。
10、2. 原料按长度分档，分档后原料不可再被分割。3. 将原料长度视为离散变量。4. 为提高原料使用率，每捆总长度允许有0.5 米的误差，每规格的成品总根数允许比标准少一根。四 符号约定：表示原料组装成成品的第 种方案,且if i ni,.321：表示在方案 下组装的成品捆数, 且ixi: 表示每捆规定总长度L: 表示每捆规定根数N：表示第 档原料的备选总根数ini：表示在第 种分配方案下，每捆第 种原料的所用根数ijAj五 模型建立与求解根据每种规格的规定，用 求得每捆成品中原料的平均长度。再根据原NL料表上的原料实际数据，利用均值最近原则进行每捆成品原料的分配。分配方案： ，共有 种。对应的捆
11、数： 。mff,.21 mx,.21（一） 建立数学模型 mxxMa.321且 为 整 数,0.1imijxAtsn（二） 模型分析与求解1、对规格一的分析：由前面所描述的均值最近原则和所给原料数据列出几种假设方案，根据（一）中的数学模型 mxxMa.321且 为 整 数,0.1imijxAtsn找出几种预选方案，找出目标函数，并联立线性方程，如下所示： 4321xMas.t.2183471283953814142xx利用 WinQSB 软件解上述线性方程组表 3 规格一的预选方案表由表 3 可知所提方案可以作为最优方案，整理后可得表 4 规格一方案表表 4 规格一方案表3 3.5 4 4.5
12、 5 5.5 6 6.51f2 2 0 8 8 0 0 022 2 8 0 0 8 0 03f3 8 0 1 0 0 8 048 0 1 2 0 0 0 8由上表可知第一规格可行的方案有 4 种，即按方案一捆扎 3 捆，按方案二捆扎 3 捆、按方案三 4 捆，按方案四捆扎 2 捆，总捆数为 12 捆。在理论上，由数据可求得最大捆数为 292/20=14.6，取整为 14 捆。又因为原料有剩余，故将剩余原料进行微调，可知剩余原料又可组装成 2 捆。所以规格一的成品的最大捆数为 14 捆。2、对规格二的分析：由前面所描述的均值最近原则和所给原料数据列出几种假设方案，根据（一）中的数学模型 mxxM
13、a.321且 为 整 数,0.1imijxAtsn找出几种预选方案，找出目标函数，并联立线性方程，如下所示：长度（米根数（根）方 案2321019 187165143121098765432xx xxxMa 2542534182 59435271438325220.198171097653 32487216371522076213431958 320613961071858 xxxxxxxxx xts利用 WinQSB 软件解上述线性方程组表 5 规格二的预选方案表由表 5 可知所提方案可以作为最优方案，整理后可得表 6 规格二方案表表 6 规格二方案表7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
14、 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.51f0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 0 0 0 020 0 0 0 0 0 1 3 0 0 4 0 0 03f0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 4 0 040 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 4 05f0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 460 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 37f0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 381 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 3f2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 591 2 0 0 0 0 0
15、0 0 0 0 0 0 510f1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 21f0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0长度（米根数（根）方 案12f0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 4 0 031 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 014f0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 050 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 416f1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 170 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 418f0 0 2 0 0 0
16、1 0 0 0 0 5 0 091 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 020f0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 4 0 011 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0由上表可知第二规格可行的方案有 8 种，即按方案一捆扎 3 捆，按方案二捆扎5 捆、按方案三 5 捆，按方案五捆扎 3 捆，按方案九捆扎 2 捆，按方案十四捆扎 2 捆，按方案十五捆扎 1 捆，按方案二十一捆扎 5 捆，总捆数为 26 捆。在理论上，由数据可求得最大捆数为 3705.5/89=41.6，取整为 41 捆。又因为原料有剩余，故将剩余原料进行微调，可知剩余原料又可组装成 9 捆。所以
17、规格二的成品的最大捆数为 35 捆。3、对规格三的分析首先根据原文表 2 对本批次原料描述，做出第三规格每档长度的根数的折线图，建图后发现数据大多集中在 18 米19.5 米，如图图 1 第三规格每档长度对应根数第 三 规 格 每 档 长 度 对 应 根 数01020304050607014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25长 度根数根 数所以设计方案时应以 1819.5 米为优先考虑区域，设计的方案图如下：由前面所描述的均值最近原则和所给原料数据列出几种假设方案，根据（一）中的数学模型 mxxMa.321且 为 整 数,0.1imijxAtsn找出几种预选方案
18、，找出目标函数，并联立线性方程，如下所示：23210 1981761541321098765431xx xxxxMa 1621627354962642504 4933 4528495.231231050944813172760 231531 7618784 231512109865109012132 2120198765xxxxxxxxx xxts利用 WinQSB 软件解上述线性方程组表 7 规格三的预选方案表由表 7 可知所提方案可以作为最优方案，整理后可得表 8 规格三方案表表 8 规格三方案表1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.
19、52222.52323.52424.52525.51f0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03f0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 040 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05f0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 060 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0
20、 0 0 0 0 0 0 0 07f0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 080 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09f0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0100 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0f0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0长度（米根数（根）方 案12f0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1
21、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 030 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 014f0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 051 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 016f1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 071 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 018f1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
22、0 0 0 0 0 0 0 091 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 020f1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 02f1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 030 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1由上表可知第三规格可行的方案有 8 种，即按方案三捆扎 14 捆，按方案四捆扎 7
23、捆、按方案十 30 捆，按方案十一捆扎 14 捆，按方案十六捆扎 22 捆，按方案二十捆扎 12 捆，按方案二十一捆扎 1 捆，按方案二十三捆扎 1 捆，总捆数为 101 捆。在理论上，由数据可求得最大捆数为 677/5=135.4，取整为 135 捆。又因为原料有剩余，故将剩余原料进行微调，可知剩余原料又可组装成 33 捆。所以规格三的成品的最大捆数为 134 捆。（三） 模型结论在理论上，根据原料总根数和总长度以及每捆成品的根数和总长度，可求得规格一成品捆数的上限为 14 捆；规格二成品的捆数的上限为 41 捆；规格三成品的捆数的上限为 135 捆；总捆数为 190 捆。但在现实操作中，理论值经常无法达到。通过制定分配方案，可知在现实操作中，规格一成品的捆数最多为14 捆；规格二成品的捆数最多为 35 捆；规格三成品的捆数最多为 134 捆；总捆数为 183 捆。参考文献1姜启源， 数学模型（第三版） ，北京：高等教育出版社，2003 2胡运权，郭耀煌， 运筹学教程（第三版） ，北京：清华大学出版社，2007 3刘卫国， Matlab 程序设计教程 ，北京：中国水利水电出版社，2010
