1、1.2充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件,【知识提炼】充分条件与必要条件,充分,必要,充分,必要,【即时小测】1.思考下列问题:(1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗?提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x3是x0的充分条件,x5,x10等都是x0的充分条件.,(2)“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件?提示:“若p,则q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即qp,故p是q的必要条件.,2.“x=3”是“x2=9”的条件(填“充分”或“必要”).【解析】当x=3时,x2=9;故x=3x2=9.所以“x=3”是“x2=9”的充分条件.答案:充分
2、,3.若向量v=(x,2)(xR),则“x=1”是“|v|= ”的条件(填“充分”或“必要”).【解析】当x=1时,v=(1,2),则|v|= .因此“x=1”是“|v|= ”的充分条件.答案:充分,4.若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的条件.【解析】由题意知pq,qr,故pr,所以p是r的充分条件.答案:充分,5.“ab0”是“a0,b0”的条件(填“充分”或“必要”).【解析】当a0,b0时,显然ab0成立,但反过来不一定成立,故“ab0”是“a0,b0”的必要条件.答案:必要,【知识探究】知识点 充分条件与必要条件观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:要判断p是q的充分条
3、件需要判断什么?问题2:若qp时,则p是q成立的什么条件?,【总结提升】1.对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6x2=36,但是,当x6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36”的充分条件.,2.对必要条件的两点说明(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为qp
4、,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.,【题型探究】类型一充分条件与必要条件的判断【典例】1.(2015福州高二检测)若aR,则“a=1”是“|a|=1”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法判断,2.指出下列各题中哪些命题中p是q的充分条件?(1)在ABC中,p:AB,q:BCAC.(2)对于实数x,y,p:x+y8,q:x2或y6.(3)在ABC中,p:sinAsinB,q:tanAtanB.(4)已知x,yR,p:x=1;q:(x-1)(x-2)=0.,【解题探究】1.典例1中“若a=1,则|a|=1”,此命题是真命题吗?逆命题呢?提示:该命题是
5、真命题,逆命题为假命题.2.典例2中判断的关键是什么?提示:首先分清条件和结论,然后判断条件p能否推出结论q,即若p则q的真假判断.,【解析】1.选A.因为a=1|a|=1,但反过来不一定成立,故选A.2.(1)在ABC中,由大角对大边知,ABBCAC,所以p是q的充分条件.(2)对于实数x,y,因为x=2且y=6x+y=8,所以由x+y8x2或x6,故p是q的充分条件.(3)在ABC中,取A=120,B=30,则sinAsinB,但tanAtanB,故p q,故p不是q的充分条件.(4)由x=1(x-1)(x-2)=0,故p是q的充分条件.故(1)(2)(4)命题中p是q的充分条件.,【方法
6、技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:确定谁是条件,谁是结论;尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.,(2)命题判断法:如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.,【变式训练】(2015深圳高二检测)若aR,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的条件.(填“充分”或“必要”)【解析】若“a=2”,则“(a-1)(a-2)=0”,即a=2(a-1)(
7、a-2)=0.若“(a-1)(a-2)=0”,则“a=2或a=1”;故(a-1)(a-2)=0不一定能推出a=2.答案:充分,类型二充分条件与必要条件的应用【典例】已知p:实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0;q:实数x满足x2-x-60.若p是q的必要条件,求实数a的取值范围.【解题探究】本例中若不等式x2-4ax+3a20与x2-x-60的解集分别为A,B,那么根据条件判断A与B有何关系?提示:由p是q的必要条件知, qp,即pq,即AB.,【解析】由x2-4ax+3a20且a0得3axa,所以p:3axa,即集合A=x|3axa.由x2-x-60得-2x3,所以q:-2x3,即集合
8、B=x|-2x3.因为qp,所以pq.所以AB,所以 - a0,所以a的取值范围是,【延伸探究】1.(变换条件)本例中条件“a0”,若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.,【解析】因为p是q的充分条件,所以pq,所以qp.由x2-4ax+3a20得ax3a,所以p:ax3a,即集合A=x|ax3a.由x2-x-60得-2x3,所以q:-2x3,即集合B=x|-2x3.因为pq,所以qp所以BA,所以 无解.,2.(变换条件)将“q:实数x满足x2-x-60”改为“q:实数x满足x2+3x0”其他条件不变,求实数a的取值范围.,【解析】由x2-4ax+3a20且a0得3axa,所以p:3axa
9、,即集合A=x|3axa.由x2+3x0得-3x0,所以q:-3x0,即集合B=x|-3x0.因为qp,所以pq.所以AB,所以 -1a0,q:x2-2x+1-a20.若p是q的充分条件,求正实数a的取值范围.,【解析】不等式x2-8x-200的解集为A=x|x10或x0的解集为B=x|x1+a或x0.依题意pq,所以AB.于是有 解得00的解集为A=x|x10或x0的解集为B=x|x1+a或x0.依题意qp,所以BA.于是有 解得a9.所以正实数a的取值范围是9,+).,2.(变换条件)本题中的两个不等式的“”改为“”其他条件不变,求正实数a的取值范围.,【解析】不等式x2-8x-200的解
10、集为A=x|-2x10;不等式x2-2x+1-a20的解集为B=x|1-ax1+a,a0.依题意pq,所以AB.所以 解得a9.所以正实数a的取值范围是9,+).,易错案例 根据必要条件(充分条件)求参数的范围【典例】(2015昆明高二检测)已知P=x|a-4xa+4,Q=x|1x3,“xP”是“xQ”的必要条件,则实数a的取值范围是 .,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号,实际上本题中的不等式中的等号能取到,即,【自我矫正】因为“xP”是“xQ”的必要条件,所以QP,所以所以-1a5.答案:-1,5,【防范措施】利用充分条件和必要条件求参数时要注意的两点(1)集合关系中等号的处理在已知两集合间的关系求参数的值或范围时,等号问题常有以下两种处理方法:一是借助数轴分析法;二是假设等号成立求出字母的值,再验证其是否符合题意.,(2)转化思想的应用在由充分和必要条件求参数的值或范围时,常转化为集合间的关系,转化时要明确对应集合间的包含关系.,
