1、6.3 常用的地基沉降计算方法这里所讲的地基沉降量是指地基最终沉降量，目前常用的计算方法有：弹性力学法、分层总和法、应力面积法和考虑应力历史影响的沉降计算法。所 谓最终沉降量是地基在荷载作用下沉降完全稳定后的沉降量，要达到这一沉降量的时间取决于地基排水条件。对 于砂土，施工 结束后就可以完成；对于粘性土，少 则几年，多则 十几年、几十年乃至更长时间。6.3.1 计算地基最终沉降量的弹性力学方法地基最终沉降量的弹性力学计算方法是以 Boussinesq 课题的位移解为依据的。在弹 性半空间表面作用着一个竖向集中力 P 时 ，见图 6-5，表面位移 w(x, y, o)就是地基表面的沉降量 s：
2、ErP21（6-8）式中 地基土的泊松比；E地基土的弹性模量（或变形模量 E0）； r为地基表面任意点到集中力 P 作用点的距离， 2yxr。对于局部荷载下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。如 图 6-6所示，设 荷载面积 A 内 N（，）点处的分布荷载为 p0（，），则该点微面积上的分布荷载可为集中力 P= p0（， ）dd 代替。于是，地面上与 N 点距离 r =22)()(yx的 M（x, y）点的沉降 s（x, y），可由式（6-8）积分求得：AxdExs 22002)()(,1, （6-9）从式（6-9 ）可以看出，如果知道了应力分布就可以求得沉降；反过来，若沉降已知又可以
3、反算出应力分布。对均布矩形荷载 p0（，）= p0=常数，其角点 C 的沉降按上式积分的结果为：图 6-5 集中力作用下地基表面的沉降曲线 图 6-6 局部荷载下的地面沉降（a）任意荷载 面；（b）矩形荷载面021bpEsc（6-10）式中 c角点沉降影响系数，由下式确定： )1ln()1ln( 22mmc（6-11）式中 m=l/b。利用式（6-10 ），以角点法易求得均布矩形荷载下地基表面任意点的沉降。例如矩形中心点的沉降是图 6-6（b）中的虚线划分为四个相同小矩形的角点沉降之和，即 020021)/(14bpEpEsc（6-12）式中 c20中心沉降影响系数。图 6-7 局部荷载作用下
4、的地面沉降（a）绝对柔性基础；（b）绝对刚性基础以上角点法的计算结果和实践经验都表明，柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面范围之内，而且 还影响到荷载面之外，沉降后的地面呈碟形， 见图 6-7。但一般基础都具有一定的抗弯刚度，因而沉降依基础刚度的大小而趋于均匀。中心荷载作用下的基础沉降可以近似地按绝对柔性基础基底平均沉降计算，即AdxysA/),(（6-13）式中 A基底面积，s(x, y)点（x, y）处的基础沉降。对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：021bpEsm（6-14）式中 m平均沉降影响系数。可将式（6-10 ）、式（6-12）、式（6-14）统一成为地基沉降的弹性力学公式的一
5、般形式： 021bpEs（6-15）式中 b矩形基础（荷载）的宽度或圆形基础（荷载）的直径，无量纲沉降影响系数，见表 6-1。基础沉降影响系数 值 表 6-1方形 矩 形（l/b）基础形状基础刚度圆形1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.1 100.0c0.64 0.56 0.68 0.77 0.89 0.98 1.05 1.11 1.16 1.20 1.24 1.27 2.0001.00 1.12 1.36 1.53 1.78 1.96 2.10 2.22 2.32 2.40 2.48 2.54 4.01柔性基础 m0.85 0.95 1.15
6、 1.30 1.52 1.20 1.83 1.96 2.04 2.12 2.19 2.25 3.70刚性基础 r0.79 0.88 1.08 1.22 1.44 1.61 1.72 2.12 3.40刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（6-15）取 r计算，基底倾斜的弹性力学公式如下：圆形基础： 30216tanbPeE（6-16a）矩形基 础 ： 8tK（6-16b）式中 基 础倾斜角；P基底竖向偏心荷载合力；e偏心距；b荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；K计 算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按 l/b 取值，如图 6-8，其中 l为矩
7、形基底另一边长。通常按式（6-15）计算的基础最终沉降量是偏大的。这是由于弹 性力学公式是按匀质线性变形半空间的假设得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土，即使是均质的土层，其变形模量 E0 一般随深度而增大。因此，利用弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的 E0值能否反映地基变形的真实情况。地基土层的 E0值 ，如能从已有建筑物的沉降观测资料，以 弹性力学公式反算求得，则这种数据是很有价值的。图 6-8 计算矩形刚性基础倾斜的系数 K此外，弹性力学公式可用来计算地基的瞬时沉降，此时认为地基土不产生体积变形，例如风或其它短暂 荷载作用下，构筑物基 础 的倾斜可按式（6-16）计算，注意式中的
8、 E0应取为地基弹性模量，并取泊松比 =0.5。在大多数实际问题中，土层的厚度是有限的，下卧 坚硬土层。 Christian 和Carrier（1978）提出了 计算有限厚土层上柔性基础的平均沉降计算公式： 01Ebps（6-17）式中， 0取决于基础埋深和宽度之比 D/b， 1取决于地基土厚度 H 和基础形状。取泊松比 =0.5 时 和 如图 6-9 所示。对于成层土地基，可利用叠加原理来计算地基平均沉降。式（ 6-17）主要用于估计饱和粘土地基的瞬时沉降，由于瞬时沉降是在不排水状态下发生的，因此，适宜的泊松比 应取 0.5，适应的变形模量 E0应取不排水模量 Eu。例题 6-1 某矩形基础
9、 底面尺寸为 4m2m，其基底压力 p0=150kPa，埋深1m，地基土第一层为 5m 厚的粘土，不排水 变形模量 Eu=40MPa，第二层为 8m 厚的粘土，E u=75MPa，其下 为坚硬土层。 试估算基础 的瞬时沉降。解：D/b=0.5 ，查图 6-9， 0=0.94考虑上层粘土，H/b=4/2=2， l/b=2，具有 Eu=40MPa查图 6-9， 1=0.60因此 m23.40156.940s考虑二层粘土均具有 Eu=75MPaH/b=12/2=6，l/b=2，查图 6-9， 1=0.85因此 2.3758.94.02s图 6-9 地基沉降计算系数 0和 1考虑第一层粘土，具有 Eu
10、=75MPa，则 m26.75106.94.03s因此，总的瞬时沉降为： 17.53.321s6.3.2 计算地基最终沉降量的分层总和法（一）一维压缩课题在厚度为 H 的均匀土层上面施加连续均匀荷载 p，见图 6-10a，这时土层只能在竖直方向发生压缩变形，而不可能有侧向变形，这同侧限压缩试验中的情况基本一样，属一维压缩问题 。施加外荷载之前，土层中的自重应力为图 6-10b 中 OBA；施加 p 之后，土层中引起的附加应力分布为 OCDA。对整个土层来说 ，施加外荷载前后存在于土层中的平均竖向应力分别为 p1=H/2 和 p2=p1+p。从土的 压缩试验曲线（图 6-10c）可以看出，竖向应
11、力从 p1增加到 p2，将引起土的孔隙比从 e1 减小为 e2。因此，可求得一 维条件下土层的压缩变形 s与土的孔隙比 e 的变化之 间存在如下关系：Hs12（6-18）这就是土层一维压缩变形量的基本计算公式。式（6-18）也可改写成： pHeapeas121)(（6-19）或 Amsv（6-20）或 sEp（6-21）式中 a压缩系数；图 6-10 土层一维压缩vm体积压缩系数；Es压缩模量；H土层厚度；A附加应力面积，A=pH。（二）沉降计算的分层总和法1 基本原理分别计算基础中心点下地基各分层土的压缩变形量 si，认为基础的平均沉降量 s 等于si 的总 和，即 ni1（6-22）式中
12、n计算深度范围内土的分层数。计算时 si，假设土层只发生竖向压缩变形，没有侧向变形，因此可按式（6-18）式（6-21）中的任何一个公式进行计算。2 计算步骤1）选择沉降计算剖面，在每一个剖面上选择若干计算点。在计算基底压力和地基中附加应力时，根据基 础的尺寸及所受荷载的性质（中心受压、偏心或倾斜等），求出基底压力的大小和分布；再结合地基土层的性状，选择沉降计算点的位置。2）将地基分层。在分层时天然土层的交界面和地下水位面应为分层面，同时在同一类土层中分层的厚度不宜过大。一般取分层厚 hi0.4b 或 hi=12m ，b 为基础宽度。3）求出计算点垂线上各分层层面处的竖向自重应力 c（应从地面
13、起算），并绘出它的分布曲线。4）求出计算点垂线上各分层层面处的竖向附加应力 z，并绘出它的分布曲线，取 z=0.2 c（中、低压缩 性土）或 0.1 c（高压缩性土）处的土层深度为沉降计算的土层深度。5）求出各分层的平均自重应力 i和平均附加应力 zi，见图 6-11：)(21下上 ciici下上 ziizi式中 上ci、 下 i第 i 分层 土上、下 层面处的自重应力；上z、 下 第 i 分层土上、下层面处的附加应力。6）计算各分层土的压缩量 si。认为各分层土都是在侧限压缩条件下压力从cip1增加到 zicip2所产生的变形量 si，可由式（6-18）式（6-21）中任一式计算。7）按式（
14、6-22 ）计算基础各点的沉降量。基础中点沉降量可视为基础平均沉降量；根据基础角点沉降差，可推算出基础的倾斜。例题 6-2某柱基础，底面尺寸 lb=42m2，埋深 d=1.5m。传至基础顶面的竖向荷载 N=1192KN，各土层计算指标见例表 6-1 和例表 6-2。试计算柱基础最终沉降量。假定地下水位深 dw=2m。图 6-11 分层总和法沉降计算图例土层计算指标 例表 6-1 土层侧限压缩试验 ep 曲线 例表6-2土层(kN/m2)a(MPa1)Es(MPa)p(kPa)土层 0 50 100 200粘土 19.5 0.39 4.5 粘土 0.820 0.780 0.760 0.740粉质
15、粘土 19.8 0.33 5.1粉质粘土 0.740 0.720 0.700 0.670粉砂 19.0 0.37 5.0 粉砂 0.890 0.860 0.840 0.810粉土 19.2 0.52 3.4 粉土 0.850 0.810 0.780 0.740解：基底平均压力 p： kPa1795.20419blNG基底附加压力 p0： .7d取水的重度 w10kN/m3，则有效重度 ，基础中心线下的自重应力和附加应力计算结果见例图 6-1。到粉砂层层底，z=14.4kPa30z(m) 0.3 0.6 0.8 1.0 1.2 1.5按式（6-31 ）所确定的沉降计算深度下如有较软土层时，尚应向
16、下继续计算，直至软弱土层中所取规定厚度 z 的计算沉降量满 足式（6-31）的要求为止。当沉降计算深度范围内存在基岩（不可压缩层）时，z n 可取至基岩表面为止。当无相邻荷载影响，基础宽度在 150m 范围内，基础中点的地基沉降计算深度 zn(m)也可按下式估算： )ln5.02(bzn（6-32）式中 b基础宽度（m）。（三） 考虑回弹影响的地基沉降量当建筑物地下室基础埋置较深时，应考虑开挖基坑时地基土的回弹，建筑物施工时又产生地基土再压缩的状况。类似于式（6-30）， 建筑地基基础设计规范推荐该部分沉降量按下式计算：ciiinicc Ezps/)(11 （6-33）计算深度取至基坑底面以下
17、 5m。式中 sc考虑回弹影响的地基沉降量；考虑回弹影响的沉降计算经验系数，无经验时可取 c=1.0；pc基坑底面以上土的自重应力，地下水位以下取有效重度；Ec土的回弹再压缩模量。例题 6-3 已知条件同例题 6-2，地基承载力标准值 fk=200kPa。试用应力面积法计算地基最终沉降量。解：由例题 6-2 知，基底附加压力 p0=150kPa，预取压缩层深度 z=7.5m，即取基底以下 zn=6.0m，本例是矩形面积上的均布荷载，将矩形面积分成四个小块，计算边长 l1=2m，宽度 b1=1m，各分层沉降计算结果见 例表 6-5。因此 m.74is因为 b=2m，根据表 6-7 应从 z=6.
18、0mm 上取 0.3m，计算 z=5.76.0m 土层的沉降量，以验算压缩层厚度是否满足要求。按 l/b=2, z/b=5.7 查表 6-2， 1i=0.1061，因此：6048.1.75iz m9.5/).2.(04siiinEzpS3/9./ s因此，压缩层计算深度满足要求。各分层沉降量计算程序 例表 6-5分层i深度z(m) 1blziz)(41iz)(410izpEs(MPa) siiiEzp/)(4100 0 2 0 0 01 0.5 2 0.5 0.2468 0.1234 0.4936 74.04 4.5 16.452 4.5 2 4.5 0.1260 0.5670 1.7744 266.16 5.1 52.193 6.0 2 6.0 0.1021 0.6126 0.1824 27.36 5.0 5.47确定经验系数 c： 56.3761.045iA 1.740.5/321/2/7)/( siEMPa9.43查表 6-4， =0.905因此 m.67.05.s
