1、2011年第4期 中学数学月刊 49 柯西不等式的取等条件在解题中的妙用 康小峰 (江苏省拼茶高级中学 226406) 柯西不等式足我们在解决不等式问题时使 一是， ：一6y一 一是，所以旦士鱼#： 用频率较高的一个不等式，其基本形式为：对于任 十 十 意实数“ ， ，“Jl及任意非零实数) ，6 ， 一 一 5由此即得 一芸 6 有“2，) (ai扫 ) ，当且仅当 一 评注 本题若直接求解，过程较繁借助柯 西不等式顺利地实现了从不等到相等的转化 干 鲁一一 时取等号关于它的各种变形及使用 净利落其中不等式等号成立的条件及其适当的 技巧的文章可谓铺天盖地，但等号成立的条件似 变形是实现这一转
2、化的桥梁 乎没有得到足够的重视，其实等号成立的条件具 例2 已知7sin +24cos a一25，求sin a的 有潜在的功能，它对于很多等式求值、等式证明 值(2007年全国数学联赛河南省预赛题) 和解方程等问题起着四两拔千斤的作用下面笔 简析 由已知等式及sin a+c。s a一1联想 者通过几道例题谈谈柯西不等式的取等条件在解 到柯西不等式625一(sin +cos：a)(7 +24 ) 题中的妙用，供大家参考 (7sin a 4-24cos d) ：25 1625，上式等号成立，其 l 善用取等条件解决条件求值问题 充要条件是翌 一百COS，即tan 一 知 “ R + +f 评注 题
3、可 推广为：若 i 。+6 。 25，2Z“ 4-v。+ 一36， ，+6y+( ：30，求 一一一 一 垒_丁 _L 的值(1992年“友谊杯”国际数学邀请 一 且“ +6 一( ，则 an_一 利用柯西不等式 L赛九i年y 试题) 取 件可以很快证明此结论，并且思维简约，过 由， 知 式 ， 取等条件解决等式证明问题 2536一(“ 4-6 4-(- )( +v + 。)(甜 、 一 一 十6 +c ) 一3o 上式等号成立，其充要条件是 例3 已知 ， 为锐角，且 + 一1， 一 一 ，不妨设 一詈一 是，则。 T丰号 求一I,IL -一i- 一 (1 996年香港国际奥林匹克竞赛 V
4、V _丁I T 小 p u T 日付 cIJ、 J 几儿 一2 c詈 i )一z ( +暑、 ( + ( + ) ! ， 、rl工2 】一 l 。、rl 。 2 J 左边不等式得证当且仅当署一 一 即2(1+ ) 。(1+ ) (1土 ) J_ 一 ” 意一 一 ，即 一 !一 c时，等号成立 断以2 _z十r ( +鲁) (1-r 3“2) (1+ ) (2)再证右边不等式一一方面 右边不等式得证当且仅当生一生一一 f1 4-生1 4- f1 4-生1 4-+ f1+ 1 4- _、 一 生： ，即 一 一一 ，时，等号成立 1+ 2 +T” 一 刷 一 一一。 叫寸 ： 一2 综上，原不等
5、式得证 一 ， 。一 27l+ 2+ ， 另一方面，由加权算术一几何平均值不等式得 参考文献 f1+生1 4- f1 4-生)+ (1+： ) 1 郭要红有奖解题擂台(96)J-I学数学教学， 一一 _、 2009(2)：63 71十r 十十Z 试题) 简析 已知等式的左边可视为两数的平方 和，且两个分母的和为1，利用柯西不等式，有 11 CsOinS。 2+ s。ins。a9一(sin + cos。卢)(辩+端)(cos2a+sinea)e-1上 式等号成立，其充要条件是 华： ，即 兰垡 兰 sin COS B sin ?sin。dCOS。J8cos。a又由a，卢为锐角，可得 cos(a+
6、卢)一0，结合0口4- 7c进而可得 + 卢：= ff4已 ， + 一 ，求 证：si + =： (1992年安徽省奥林 匹克学校招生试题) 简析 已知等式的左边可视为两数的平方 和，利用柯西不等式可得1一(a+6)： a十0 (s in一4a+ )(n+ )(sin2 +cos2)。=1，上 翌： cos2 式等号成立的充要条件是 一 ，1I sin2a a t) u ：COS2ff b 设曼 一_COSaa：是，则是一sina 4“_costa a o 61一。 1所以 sinsa+ 一 + + 一 80526X 2O11004 3 善用取等条件解决解方程( 住 luJ翘 f,Z7+y+
7、一3， 例5 解方程组 。+y。+ 。：3，(第2届 J 一 I27 +y 十 一3 美国数学奥林匹克试题) 简析 原方程为高次方程组，难以直接求 解由前两个方程联想到柯西不等式，可得33一 (z 十y。+ )(1 +1 +1 )( 1+y1+ 1) 一3 上式等号成立的充要条件是5gY z，又27+y十z一3，所以 Y一21，它同时满 足,27 +y + =3，故原方程组的解为 Yz 一1 例6 求满足方程z +( 一1) +(z )。 一的一切实数对( ， ) 简析 引入待定参数 ，u， ，由柯西不等式 有：( +u + ) 。-I-( 一1) 4-( ) + ( 一1)+ (zj，) 二
8、=( 4- ) +( 一60)yu ， 令 + 一0，u一 一0，可取 一一1，u= ： 1，代入上述不等式得 LE“ +(3，一1) +( Ly)。，而已知 + (y1) +( -y)。一，上式等号成立，其充要 条件是- 1一 = ，解得 =专，y一_詈I 以上所举例题说明，构造恰当的柯西不等式 并灵活利用取等条件可以使许多数学问题的解决 变得犹如囊中取物，易如反掌特别是用柯西不等 式的取等条件解决一些技巧性较高的竞赛问题， 更是有化难为易、化繁为简、一招制胜之奇效 中国标准 连续出版物号 ISSN 1004 1176 CN 3 。2。 。-1。4。4。 4 。O。1 发行范围 公开 定价5()(J元-t 】：l1l2,u J 1a 2875 一一
