1、1曲线系方程的共交点在解题中的应用共交点的曲线系：设两已知曲线 S1： ，S 2： ， （因为0)y,x(f0)y,x(g方程组 的公共解肯定满足方程 ，其中 为任意常0)y,x(gf ,数，所以此方程对应的曲线肯定过 S1 和 S2 的交点。 ）因此可设过两曲线 S1、S 2 的交点的曲线系方程是： ，但曲线系中不包括 S2。这种共交点0)y,x(g),(f的曲线系方程也具有广泛的应用，我们常见的求轨迹问题是一个定位描述的问题，只要给多一个条件，就可以确定其轨迹方程。本文尝试利用共交点的曲线系方程解题方面作一些探讨。一、共交点曲线系方程的一般性运用例 1：求经过两圆 的交点0yx23:C0y
2、x3:C221 和及点 P（1，1）的圆的方程。分析：因为 C1、C 2 是圆的方程，所以 C1+C 2=0 是过两圆交点的圆系方程。代入交点的坐标，解出 即可。例 2：求经过两条曲线 和 的交点的0yx320yx32直线方程。分 析 ： 此 题 可 先 求 出 两 个 交 点 再 求 直 线 方 程 ， 但 计 算 量 较 大 。 若 从 曲 线 与方 程 的 关 系 这 一 角 度 出 发 ， 只要理解了曲线上点的坐标与方程的解之间的关系，利用共交点的曲线系方程解题，可避免大量的计算。二、共交点曲线系方程的灵活性运用从曲线系方程 结构看，若 为圆系方程，0)y,x(g),(f 0)y,x(
3、g),(f不要求 f（x， y）=0 与 g（ x，y）=0 都是圆的方程，只要其中有一个是圆的方程，它就是圆系方程，因此可延展到直线与圆相交的情形。从运动的角度看：直线也可以看成圆，因为直线可理解为半径趋于正无穷大的圆；点也可以看成圆，因为点可理解为半径为零的圆，即点圆；因为圆系方程可延展到直线与圆相交的情形，因此圆上的切点也可理解为圆的相交直线2运动到相切的位置，即视切点为切线。例 1：求过直线 的交点，且经过点015y8x404yx22和 圆Q（5，6）的圆的方程。分析：当圆系方程中 C1 与 C2 有一条是直线 L 时，C 1+L=0 仍表示过 C1 与L 交点的圆系方程，L 可理解为
4、由圆退化的直线。例 2：求与圆 相切于点 P（3，6） ，且经过点05y8x42Q（5，6）的圆的方程。分析：由例 2 可知题设中的直线可理解为由圆退化的直线，所以也把此题中的切点 P（3， 6）视为由圆退化的点。即点圆： 。0)6y()3x(22解法一：切点 P（3，6）在已知圆上，将它视为 “点圆”：，0)y()x(22故建立圆系方程 ，0)6y()3x(15y8x422将点 Q（5，6）的坐标代入方程，解得 。故所求的圆的方程是： 。0762分析：若利用运动的观点看待此题：点 P 可看成一条与圆相交的直线运动到与圆有且只有一个公共点的情形，因此切点 P（3， 6）又可视为退化的切线。解法
5、二：与圆相切于点 P（3，6）的切线方程为： 即015)y(4)x(2y63 015y2x故可设所求的圆系方程为： ，)(84x2将点 Q（5，6）代入得 。故所求圆的方程是 075y1682三、共交点曲线系方程的构造性运用在实际问题的解决中，可不拘泥于曲线系方程 的结构形0)y,x(g),(f式，其中 f（ x，y）与 g（x，y）都可由一些代数式经过运算得到，我们注意到两个二元一次代数式相乘的结果为二元二次代数式的情形。3例 1：已知双曲线 与直线 有四个交点，4y2x01yx2,01yx求过此四个交点且过点 的二次曲线方程。)0,1(分析：如直接求，则计算量太大，故采用二次曲线系研究，则
6、需将两个二元一次方程合并成一个二次方程，即 。0SL21例 2：求与抛物线 相切于点 P（0，3 ） ，Q 两点，且过点9x5y:C2)2,1(A 的圆锥曲线方程。)1,(分析：此题若直接设圆锥曲线方程为： 五个0edycxbayx22 代定系数，从题中找出五个方程可以解出来，但计算量太大。若用共交点的曲线系方程解题，则关键在于如何设出曲线系方程。方法一：（由例 3 得到启示：可将两切点分别看作两条退化的切线。 ）解：与抛物线 相切于点 P（0，3）的切线方程为：9x5y2即 相切于点 Q 的切线方程为：9)0x(25y3186)2,1(即 。14因此可设所求的曲线方程是： ，0)18y6x5
7、)(3y4x5(9y2 因曲线过点 A（ ）代入上式得 。化简整理得所求的圆锥曲线方程是：,271。026x190y3x1025方法二：（由例 4 得到启示，求出 P、Q 两切点所在的直线方程 L，则可用运动的观点认为直线 L 是由两条与抛物线相交的直线运动到重合的情形。 ）解：过 P（0， 3）和 Q 两切点的直线方程是 ，设所求的)2,1(03yx5曲线方程是 。因曲线过点 A（ ）代入上式得03yx59y2 1,2。化简整理所求的圆锥曲线方程是：31。27610x0252例 3：四条直线 L1： ，L 1： ，L 3：x+5y=0，L 4：y=05y306ykx4围成一个四边形，试求出一
8、个 k 的值，使得四条直线围成的四边形有一个外接圆，并求此外接圆的方程。分析：一、对已知条件进行分析。四条直线中三条直线已确定，而 L2 是过定点（ 0， 的动直线。)6此四边形是由四条直线围成的，所以四条直线必须两两相交，而四条直线两两相交会有六个交点，因此必须从六个交点中选出符合条件的四个交点。二、对图形进行分析通过对图形的研究发现，围成的四边形有四种类型，但根据圆的内接四边形内对角互补的几何性质，可排除两种，由于题目只要求求出一个 k 值，因此可根据图形，找一种情形进行求解。通过观察可知，所求的外接圆方程，必须过直线 L1 与直线 L2 的交点 A，直线 L2 与直线 L3 的交点 B，直线 L3 与直线 L4 的交点 O，直线 L1 与直线 L4 的交点 C。利用共交点的曲线系方程求解有关圆锥曲线方程的问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料。BAL2L1L4L3OCyx515-6
