1、5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,教学目标：理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。 教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。 教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。,5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,1.二次曲线的渐近方向,定义5.2.1 满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。,事实上，,为渐近方向,可见，对椭圆,，,对双曲线,它有二不同实渐近方向；,它有二相同的实渐近方向；,，,，,它没有实渐近方向；,对抛物线,对双曲线,它也
2、有二不同实渐近方向；,，,定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。,即:椭圆型:I20；抛物型:I20；双曲型:I20,2. 二次曲线的中心与渐近线,定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。,定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I20，分两种情况：,定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中
3、心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。,二次曲线分类：,渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。,定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。,它的渐近线即为中心直线。,定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。,则l与曲线不相交，,5.3 二次曲线的直径,1. 二次曲线的直径,在5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交 的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方 向时
4、，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，,两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.,现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.,求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.,即 ，,解,设 是二次曲线的一个非渐近方向，,那么过 的弦的方程为,它与二次曲线 的两交点(即弦的两端点) 由下列二次方程,(1),从而有,(5.3-1),两根 与 所决定,因为 为弦的中点，所以有,这就是说平行于方向 的弦的中点 的 坐标满足方程,即,(5.3-2),或,上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若,则,一条直线.,(5.3-3),所以(5.3-3)或(5.3-1),是一个二元一次方程，它
5、是,反过来，,这与 是非渐近方向的假设矛盾，,(5.3-1),定理 5.3.1 二次曲线的一族平行弦的中点 轨迹是一条直线.,(5.3-1),那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，,(1),点 就是具有方向 的弦的中点，,因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向,的弦的中点轨迹方程.,得到了结论定理！,下面引进二次曲线直径的概念,定义 5.3.1,二次曲线的平行弦中点的轨迹 叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫 做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于 平行弦方向的直径.,有多少条直径?,（5.3-4）,中心与非中心二次曲线的直径,1. 中心二次曲线,中心满足:
6、,(2),(3),直径方程:,所以, 直径过中心.,所有直径都过中心,1. 非中心二次曲线,非中心二次曲线满足,(2),(3),又分两种情形,或,无心曲线：,直径平行渐近方向,因直径方程:,方向矢量,容易验证,是渐近方向;因为此时：,线心曲线：,直径就是其中心直线,可以化为,因为直径方程,或,定理 5.3.2,中心二次曲线的直径通过曲线 中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向, 线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线.,因此当 ，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；,当 ，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；,例
7、1,求椭圆或双曲线 的直径.,解,(5.3-1),显然，直径通过曲线的中心,根据(5.3-1),共轭于非渐近方向 的直径方程是,例 2,解,求抛物线 的直径.,所以共轭于非渐近方向 的直径为,即,所以抛物线 的直径平行于它的渐近方向,(5.3-1),解,直径方程为,即,例 3,求二次曲线,的共轭于非渐近方向 的直径.,因为已知曲线 的渐近方向为,所以对于非渐近方向 一定有,2. 共轭方向与共轭直径,所以有,其中,(4),我们把二次曲线的与非渐近方向 共轭的直径方向,叫做非渐近方向 的共轭方向，,因此曲线的共轭于非渐近方向 的直径为,因此有,所以,另外又有 ，,因此得以下结论,因为 为非渐近方向
8、，,这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然 是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.,(5.3-5),非渐近方向,当 即二次曲线为中心曲线时， ；,当 即二次曲线为非中心曲线时，,从(5.3-5)式看出，两个方向 与 是对称 的，因此对中心曲线来说，非渐近方向 的共 轭方向为 ，而 的共轭方向就是,由(4)得二次曲线的非渐近方向 与它的 共轭方向 之间的关系,(4),中心曲线的一对具有相互共轭方向 的直径叫做一对共轭直径.,定义 5.3.2,设,代入(5.3-5)，得,(5.3-6),这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式.,(5.3-5),即,(5.3-7),有着关系,例如
9、椭圆,的一对共轭直径的斜率,与,而双曲线 的一对共轭直径的斜率 与有着关系,(5.3-8),在(5.3-5)中，如果设,那么有,因此如果对二次曲线的共轭方向从(5.3-5)作代数的推广,那么渐近方向可以看成与自己共轭的方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径.,(5.3-5),显然此时 为二次曲线的渐近方向.,二次曲线的垂线于其共轭弦的 直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂 直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向., 5.4 二次曲线的主直径与主方向,定义 5.4.1,显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主 直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做 曲线的顶点.,现在我们来求二次曲
10、线,(1),的主方向与主直径.,，那么,(2),或,(3),（4）,1.如果二次曲线(1)为中心曲线,那么与二次曲线(1)的非渐近方向,共轭的直径为,设直径的方向为,根据主方向的定义，,成为主方向的条件是它,垂直与它的共轭方向,在直角坐标系下有，,即,因此 成为中心二次曲线(1)的主方向的条件是,(5.4-1),或把它改写成,这是一个关于 的齐次线性方程组，而不能全为零，所以,成立，其中,(5.4-3),即,那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向,而垂直于它的方向显然为,2.如果二次曲线(1)为非中心二次曲线,因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.4-3)解出 ， 再代入(5.4-1)就能
11、得到它的主方向.,(5.4-),所以非中心二次曲线(1)的主方向：,渐近主方向,（5）,非渐近主方向,（6）,正是非中心二次曲线的渐近主方向(5) 与非渐近主方向(6).,注意到,此时方程(5.4-3)的两根为,把它代入(5.4-1) 所得到的主方向,(5.4-1),因此，一个方向 成为二次曲线(1)的主方向 的条件是(5.4-1)成立，这里的 是方程(5.4-2)或(5.4-3)的根.,定义 5.4.2 方程(5.4-2)或(5.4-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根.,总结:1)从二次曲线(1)的特征方程(5.4-3)求出特征根 , 把它代入(5.4-1).
12、 我们就得到相应的主方向.,2)如果主方向为非渐近方向，那么根据(5.4-1)就能得到共轭于它的主直径.,(5.4-3),(5.4-),证,如果二次曲线的特征根全为零, 那么得,因为特征方程的判别式,所以二次曲线的特征根都是实数.,定理 5.4.2 二次曲线的特征根不能全为零.,证,即,与,从而得,这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征 根不能全为零.,定理 5.4.1 二次曲线的特征根都是实数.,由二次曲线(1)的特征根 确定的主方 向 ，当 时，为二次曲线的非渐近方向； 当 时，为二次曲线的渐近主方向.,定理 5.4.3,证 因为,所以由(5.4-1)得,又因为 不全为零，所以当 时，
13、,为二次曲线(1)的非渐近主方向;,当 时， 为二次曲线(1)的 渐近主方向.,定理 5.4.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非 中心二次曲线只有一条主直径.,证,由二次曲线(1)的特征方程(5.4-3)解得两特征根为,10 当二次曲线(1)为中心曲线时， .如果 特征方程的判别式,那么 这时的中心曲线为圆(包括点,圆和虚圆)，它的特征根为一对二重根.,把它代入(5.4-1)或(5.4-1)，则得到两个恒等式，,它被任何方向 所满足，所以任何实数方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直径.而且都是圆的主直径.,如果特征方程的判别式,那么特征根为两个不等的非零实根 . 将它们分别
14、代入(5.4-1)得相应的两非渐近主方向为,（7）,（8）,这两个方向相互垂直，它们又互相共轭， 因此,非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而又互相共轭的主直径.,20 当二次曲线(1)为非中心曲线时， ，这 时两特征根为,所以它只有一个非渐近的主方向，即与,相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径.,例 1 求 的主方向 与主直径.,解,曲线为中心曲线，它的特征方程为,解这个方程得两特征根为：,由特征根 确定的主方向为,由特征根 确定的主方向为,又因为,所以曲线的主直径为,与,即,与,例 2 求曲线 的主方向与主直径.,解,曲线为非中心曲线，它的特征方程为：,因此两特征根为,由这两特征根所确定的主方向为：,非渐近主方向,渐近主方向,又因为,所以曲线的唯一主直径为,即,
